Với mỗi số nguyên dương $n$, kí hiệu $S_{n}$ là tổng của $n$ số nguyên tố đầu tiên ($S_{1}=2$; $S_{2}=2+3$; $S_{3}=2+3+5$; ...). Chứng minh trong dãy số: $S_{1};S_{2};S_{3};\cdots ;S_{n}$ không tồn tại 2 số hạng liên tiếp đều là số chính phương.

Chứng minh không tồn tại 2 số hạng liên tiếp đều là số chính phương
#2
Đã gửi 15-02-2020 - 01:54
Với mỗi số nguyên dương $n$, kí hiệu $S_{n}$ là tổng của $n$ số nguyên tố đầu tiên ($S_{1}=2$; $S_{2}=2+3$; $S_{3}=2+3+5$; ...). Chứng minh trong dãy số: $S_{1};S_{2};S_{3};\cdots ;S_{n}$ không tồn tại 2 số hạng liên tiếp đều là số chính phương.
Giải sử tồn tại 2 số hạng liên tiếp là số chính phương là $S_{k} và S_{k+1}$ và $S_{k}=a^2$ và $S_{k+1}=b^2$
-Với b=a+1 ta có $S_{k}=a$ và $S_{k+1}=(a+1)^2$, điều này vô lý do giữa $S_{k}$ và $S_{k+1}$ luôn tồn tại 1 số chính phương ( bạn xem các chứng minh tại đây https://diendantoanh...dụ-s-1-2-s-2-5/ )
-Với b>a và b > a+1. Khi đó $p_{k+1}=S_{k+1}-S_{k}=b^2-a^2=(b-a)(b+a)$ ( với $p_{k+1}$ là số nguyên tố thứ k+1) điều này số lý do vì $p_{k+1}$ là số nguyên tố nên không thể phân tích thành tích 2 số nguyên dương khác 1
Vậy điều ta giả sử là sai. Suy ra điều cần chứng minh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yaya: 15-02-2020 - 01:55
- Peteroldar yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số chính phương, số nguyên tố
![]() |
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Luyện tậpBắt đầu bởi ShinichiRan, 31-01-2021 ![]() |
|
![]() |
|
![]() |
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Ôn tậpBắt đầu bởi ShinichiRan, 25-01-2021 ![]() |
|
![]() |
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Tìm tất cả các số nguyên tố p,q sao cho $2p-1,2q-1,2pq-1$ đều là các số chính phươngBắt đầu bởi quanjunior, 17-01-2021 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh 5x-1 là số chính phươngBắt đầu bởi quanjunior, 02-01-2021 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh $(2a - 1)$ là số chính phương khi $a,b$ nguyên dương và $a^2 = 3b^2 + 3b + 1.$Bắt đầu bởi ShinichiRan, 10-09-2020 ![]() |
|
![]() |
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh