Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $(a+b+c)(a+b+c-abc) \geq 2(a^2b+b^2c+c^2a)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
piluv

piluv

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện $a^2 + b^2 + c^2 \leq 3$. Chứng minh rằng

\[(a+b+c)(a+b+c-abc) \geq 2(a^2b+b^2c+c^2a)\]



#2
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện $a^2 + b^2 + c^2 \leq 3$. Chứng minh rằng

\[(a+b+c)(a+b+c-abc) \geq 2(a^2b+b^2c+c^2a)\]

Nếu $a=b=c=0$, ta có trường hợp đẳng thức.

Xét trường hợp $a^{2}+b^{2}+c^{2}>0$, ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.

Bất đẳng thức trở thành

$$(a+b+c)\left[(a+b+c)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)-3abc\right]\geq 6\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}\left(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\right).$$

Chuẩn hóa $a+b+c=3$. Khi đó tồn tại $t\in [0;1]$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3+6t^{2}$.

Ta cần chứng minh $$2\sqrt{1+2t^{2}}\left(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\right)+3abc\leq 9(1+2t^{2}).$$

Sử dụng bổ đề $X\left(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\right)+Yabc\leq 3X+Y-3Yt^{2}+2t^{3}\sqrt{9X^{2}-3XY+Y^{2}}$, ta chỉ cần chứng minh

$$2\sqrt{1+2t^{2}}+2t^{3}\sqrt{5+8t^{2}-2\sqrt{1+2t^{2}}}\leq 2+9t^{2}.$$

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn là

$$2\sqrt{1+2t^{2}}+2t^{3}\sqrt{3+8t^{2}}\leq 2+9t^{2}.$$

Bình phương rồi rút gọn, ta chỉ cần chứng minh

$$28+81t^{2}-12t^{4}-32t^{6}\geq 8t\sqrt{\left(1+2t^{2}\right)\left(3+8t^{2}\right)},$$

đúng vì $VT>0$ và $VT^{2}-VP^{2}=1024t^{12}+768t^{10}-5040t^{8}-4760t^{6}+4993t^{4}+4344t^{2}+768>0$ với mọi $t\in [0;1]$.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=0$ hoặc $a=b=c=1$. $\square$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 19-11-2021 - 19:01


#3
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện $a^2 + b^2 + c^2 \leq 3$. Chứng minh rằng

\[(a+b+c)(a+b+c-abc) \geq 2(a^2b+b^2c+c^2a)\]

$BĐT\Leftrightarrow (a+b+c)^2\geq abc(a+b+c)+2(a^2b+b^2c+c^2a)$

Do $a+b+c\leq 3$ nên ta chỉ cần chứng minh $(a+b+c)^2\geq 3abc+2(a^2b+b^2c+c^2a)$.

Ta có bất đẳng thức quen thuộc là $a^2b+b^2c+c^2a\leq \frac{4}{27}(a+b+c)^3$.

Áp dụng bất đẳng thức trên với bất đẳng thức AM - GM ta có $3abc+2(a^2b+b^2c+c^2a)\leq \frac{1}{27}(a+b+c)^3+\frac{8}{27}(a+b+c)^3=\frac{1}{3}(a+b+c)^3\leq (a+b+c)^2$.

Ta có điều phải chứng minh.






3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh