Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm min: $A=\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}$

bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 supreme king

supreme king

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Thích gì làm đấy

Đã gửi 14-02-2020 - 10:15

Cho $a,b,c$ là ba số thực không âm và thõa mãn $a+b+c=1$. TÌm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$A=\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}$


All will be well if you use your mind for your decision, and mind only your decision

                                                                                                                 -Presh Talwalkar-


#2 HPhatMessi

HPhatMessi

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 11 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sóc Trăng

Đã gửi 14-02-2020 - 10:42

Ta có: A= $\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}$ = $\sqrt{5a+4(a+b+c)}+\sqrt{5b+4(a+b+c)}+\sqrt{5c+4(a+b+c)}$ = $\sqrt{9a+4b+4c}+\sqrt{9b+4c+4a}+\sqrt{9c+4b+4a}$

 

Áp dụng Bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có: $(9a+4b+4c)(a+b+c)\geq (3a+2b+2c)^{2} \Leftrightarrow \sqrt{9a+4b+4c}\geq 3a+2b+2c$

 

Tương tự ta cũng có:  $(9b+4c+4a)(a+b+c)\geq (3b+2c+2a)^{2} \Leftrightarrow \sqrt{9b+4c+4a}\geq 3b+2c+2a$;

                                    $(9c+4a+4b)(a+b+c)\geq (3c+2a+2b)^{2} \Leftrightarrow \sqrt{9c+4a+4b}\geq 3c+2a+2b$.

 

Do đó: A= $\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}$ $\geq$ 7a+7b+7c=7. Dấu đẳng thức xảy ra khi: a=1; b=c=0 và các hoán vị tương ứng


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HPhatMessi: 14-02-2020 - 10:42


#3 Sin99

Sin99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 518 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \text {Tp.HCM} $
  • Sở thích:$ \textbf{ Loyalty } $

Đã gửi 14-02-2020 - 11:31

Cách 2 : Nhận xét $ 1 = a + b + c \geq a + 0 + 0 = a  \geq 0 $ 

Suy ra $ a \geq a^2 $. Tương tự $ b \geq b^2 , c \geq c^2 $ 

Áp dụng $ VT \geq \sum \sqrt{a^2 + 4a + 4 } = \sum ( a + 2 ) = 7 $

Dấu "=" khi $ (a,b,c)=(1,0,0)  $ và các hoán vị.


๐·°(৹˃̵﹏˂̵৹)°·๐


#4 baoson07092005

baoson07092005

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 12 Bài viết

Đã gửi 14-02-2020 - 11:51

Các số không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện:a+b+c=5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=√a+1 + √2b+1 + √3c+1

#5 spirit1234

spirit1234

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 08-03-2020 - 21:50

Mấy bài này sử dụng UCT là ra ngay mà


No pressure, no diamond    -_-  :icon11:  ;) 


#6 Peteroldar

Peteroldar

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 186 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PUBG
  • Sở thích:PUBG, maths, and so on....

Đã gửi 09-03-2020 - 08:46

Các số không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện:a+b+c=5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=√a+1 + √2b+1 + √3c+1

CM $\sqrt{a+1}\geq \frac{\sqrt{6}-1}{5}a+1$

$\sqrt{2b+1}\geq \frac{\sqrt{6}-1}{5}b+1$

$\sqrt{3c+1}\geq \frac{\sqrt{6}-1}{5}c+1$

Rồi cộng theo vế ta được $P\geq \sqrt{6}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Peteroldar: 09-03-2020 - 08:52


#7 BlackZither

BlackZither

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Đã gửi 09-03-2020 - 09:45

CM $\sqrt{a+1}\geq \frac{\sqrt{6}-1}{5}a+1$

$\sqrt{2b+1}\geq \frac{\sqrt{6}-1}{5}b+1$

$\sqrt{3c+1}\geq \frac{\sqrt{6}-1}{5}c+1$

Rồi cộng theo vế ta được $P\geq \sqrt{6}$

Bạn có thể giải thích kĩ hơn phần $\sqrt{a+1}\geq \frac{\sqrt{6}-1}{5}a+1$ được không ạ? 



#8 spirit1234

spirit1234

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 09-03-2020 - 19:38

Bạn có thể giải thích kĩ hơn phần $\sqrt{a+1}\geq \frac{\sqrt{6}-1}{5}a+1$ được không ạ? 

sử dụng UCT là ra mà bạn


No pressure, no diamond    -_-  :icon11:  ;) 


#9 baoson07092005

baoson07092005

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 12 Bài viết

Đã gửi 15-03-2020 - 10:37

https://diendantoanh...t_return=729997





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh