Cho ba số dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=abc$. CMR:
$$(a+b-c-1)(b+c-a-1)(c+a-b-1)\le 8$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 22-11-2021 - 14:28
Tiêu đề + LaTeX
Cho ba số dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=abc$. CMR:
$$(a+b-c-1)(b+c-a-1)(c+a-b-1)\le 8$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 22-11-2021 - 14:28
Tiêu đề + LaTeX
Đặt
$(x,y,z)\rightarrow (a-1,b-1,c-1)$
Giả thiết được viết lại thành: $x+y+z+2=xyz$ và ta cần chứng minh:
$(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\leqslant 8$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được:
$xyz=x+y+z+2\geqslant 3\sqrt[3]{xyz}+2\Rightarrow xyz\geqslant 8\Rightarrow x+y+z\geqslant 3\sqrt[3]{xyz}\geqslant 6$
$\Rightarrow xyz=x+y+z+2\leqslant \frac{4(x+y+z)}{3}\Rightarrow \frac{xyz}{x+y+z}\leqslant \frac{4}{3}\Rightarrow \frac{xyz}{x+y+z}\sqrt{\frac{27xyz}{x+y+z}}\leqslant 8$
Như vậy ta cần chứng minh: $(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\leqslant\frac{xyz}{x+y+z}\sqrt{\frac{27xyz}{x+y+z}}$
$\Leftrightarrow 27x^3y^3z^3\geqslant (x+y+z)^3(x+y-z)^2(y+z-x)^2(z+x-y)^2$
Bất đẳng thức cuối là một bất đẳng thức đúng và quen thuộc nên ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=3$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Đặt
$(x,y,z)\rightarrow (a-1,b-1,c-1)$
Giả thiết được viết lại thành: $x+y+z+2=xyz$ và ta cần chứng minh:
$(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\leqslant 8$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được:
$xyz=x+y+z+2\geqslant 3\sqrt[3]{xyz}+2\Rightarrow xyz\geqslant 8\Rightarrow x+y+z\geqslant 3\sqrt[3]{xyz}\geqslant 6$
$\Rightarrow xyz=x+y+z+2\leqslant \frac{4(x+y+z)}{3}\Rightarrow \frac{xyz}{x+y+z}\leqslant \frac{4}{3}\Rightarrow \frac{xyz}{x+y+z}\sqrt{\frac{27xyz}{x+y+z}}\leqslant 8$
Như vậy ta cần chứng minh: $(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\leqslant\frac{xyz}{x+y+z}\sqrt{\frac{27xyz}{x+y+z}}$
$\Leftrightarrow 27x^3y^3z^3\geqslant (x+y+z)^3(x+y-z)^2(y+z-x)^2(z+x-y)^2$
Bất đẳng thức cuối là một bất đẳng thức đúng và quen thuộc nên ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=3$
Lời giải này vẫn còn thiếu sót vì khi đổi biến như vậy, ta mới chỉ có $x,y,z>-1$ chứ chưa có $x,y,z>0$ để sử dụng BĐT AM-GM
Cho ba số dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=abc$. CMR:
$$(a+b-c-1)(b+c-a-1)(c+a-b-1)\le 8$$
Cách này ổn không nhỉ?
Đặt $(a+b-c-1,b+c-a-1,c+a-b-1)\rightarrow (2x^3,2y^3,2z^3)$ thì $a+b+c=2x^3+2y^3+2z^3+3$
Đến đây giải hệ phương trình tham số tìm ra: $\left\{\begin{matrix}c=y^3+z^3+1 & \\ a=z^3+x^3+1 & \\ b=x^3+y^3+1 & \end{matrix}\right.$
Lúc này ta có: $\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}=1$
Giả sử $xyz>1$ thì ta có: $\frac{1}{x^3+y^3+1}\leqslant \frac{1}{xy(x+y)+1}=\frac{z}{xyz(x+y)+z}<\frac{z}{x+y+z}$
Tương tự rồi cộng lại, ta có: $\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}<1$ (vô lí)
Vậy $xyz\leqslant 1\Rightarrow (a+b-c-1)(b+c-a-1)(c+a-b-1)\leqslant 8$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 02-12-2021 - 08:15
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Lời giải này vẫn còn thiếu sót vì khi đổi biến như vậy, ta mới chỉ có $x,y,z>-1$ chứ chưa có $x,y,z>0$ để sử dụng BĐT AM-GM
Nhưng em thấy $a,b,c>1$ thì $x,y,z>0$ rồi mà anh?
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Cho a,b,c la các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3CMR....Bắt đầu bởi Thanh Nguyen NB, 28-02-2016 cm bất đẳng thức, bất đẳng thức và . |
|
0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh