Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Mục các bài toán bất đẳng thức ( phần 2 )

bất đẳng thức gtln gtnn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 23 trả lời

#1 Yaya

Yaya

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP. Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Làm toán và đá banh

Đã gửi 15-02-2020 - 06:39

Mục này mình xin giới thiệu các bài toán bất đẳng thức do mình sưu tầm mong các bạn cùng tham gia đóng góp lời giải ( khuyến khích giải bằng nhiều cách ).

Bài 1:Cho 3 số a,b,c dương thỏa mãn: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

                                            $P=\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yaya: 15-02-2020 - 06:39


#2 Yaya

Yaya

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP. Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Làm toán và đá banh

Đã gửi 15-02-2020 - 06:42

Bài 2: Cho các số thực a,b,c thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=6$ và $ab+bc+ca=-3$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

                                                           $P=a^6+b^6+c^6$



#3 Yaya

Yaya

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP. Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Làm toán và đá banh

Đã gửi 15-02-2020 - 06:45

Bài 3: Cho a,b,c là ba số thực không đồng thời bằng 0, thỏa mãn:

                                                                $(a+b+c)^2=2(a^2+b^2+c^2)$

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $P=\frac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}$



#4 Yaya

Yaya

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP. Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Làm toán và đá banh

Đã gửi 15-02-2020 - 06:48

Bài 4: Cho tam giác ABC có diện tích S, BC=a, CA=b, AB=c.

Chứng minh rằng: $\frac{(b+c-a)a^2}{b+c}+\frac{(c+a-b)b^2}{c+a}+\frac{(a+b-c)c^2}{a+b} \geq 2\sqrt{3} S$



#5 Yaya

Yaya

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP. Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Làm toán và đá banh

Đã gửi 15-02-2020 - 06:52

Bài 5: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn:

                                                                $9(a^4+b^4+c^4)-25(a^2+b^2+c^2)+48=0$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

                                                $F=\frac{a^2}{b+2c}+\frac{b^2}{c+2a}+\frac{c^2}{a+2b}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yaya: 15-02-2020 - 06:52


#6 Yaya

Yaya

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP. Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Làm toán và đá banh

Đã gửi 15-02-2020 - 06:55

Bài 6: Xét $x,y\in R$ thỏa mãn điều kiện: $3x-6\sqrt{2x+4}=4\sqrt{3y+18}-y$

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{x}{2}+\frac{y}{3}-1$



#7 Yaya

Yaya

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP. Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Làm toán và đá banh

Đã gửi 15-02-2020 - 06:59

Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A=2x^2-xy+2y^2$ với x,y là các số thực thỏa mãn: $x^2-xy+y^2=3$



#8 Yaya

Yaya

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP. Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Làm toán và đá banh

Đã gửi 15-02-2020 - 07:02

Bài 8: Cho 2 số thực x,y thỏa mãn: $x^2+y^2\leq \pi$. Chứng minh rằng: $cosx+cosy\leq 1+cos(xy)$



#9 Yaya

Yaya

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP. Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Làm toán và đá banh

Đã gửi 15-02-2020 - 07:04

Bài 9: Cho $x,y,z\in [0,1]$. Chứng minh rằng: $(2^x+2^y+2^z)(2^{-x}+2^{-y}+2^{-z})\leq \frac{81}{8}$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yaya: 15-02-2020 - 07:05


#10 Yaya

Yaya

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP. Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Làm toán và đá banh

Đã gửi 15-02-2020 - 07:09

Bài 10: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=2020.$ Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

                                                   $A=\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}+\frac{y^3}{y^2+yz+z^2}+\frac{z^3}{z^2+zx+x^2}$



#11 WaduPunch

WaduPunch

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 277 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An

Đã gửi 15-02-2020 - 12:24

Mục này mình xin giới thiệu các bài toán bất đẳng thức do mình sưu tầm mong các bạn cùng tham gia đóng góp lời giải ( khuyến khích giải bằng nhiều cách ).

Bài 1:Cho 3 số a,b,c dương thỏa mãn: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

                                            $P=\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}$

Mình xin đưa ra lời giải cho Bài 1

$P=\sum\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}=\sum\frac{1}{\sqrt{4a^2+(a+b)^2+b^2}}=\sum\frac{3}{\sqrt{(4a^2+(a+b)^2+b^2)(4+4+1)}}\leq\sum\frac{3}{4a+2a+2a+b}=\sum\frac{3}{8a+b}$

Đến đây thì khá là dễ r



#12 Yaya

Yaya

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP. Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Làm toán và đá banh

Đã gửi 15-02-2020 - 16:30

Mình xin đưa ra lời giải cho Bài 1

$P=\sum\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}=\sum\frac{1}{\sqrt{4a^2+(a+b)^2+b^2}}=\sum\frac{3}{\sqrt{(4a^2+(a+b)^2+b^2)(4+4+1)}}\leq\sum\frac{3}{4a+2a+2a+b}=\sum\frac{3}{8a+b}$

Đến đây thì khá là dễ r

Mình xin được bổ sung thêm phần còn thiếu của bạn và sửa lại lỗi sai trong quá trình đánh giá bất đẳng thức của bạn để lời giải hoàn chỉnh:

$\sum \frac{3}{6a+3b}=\sum\frac{1}{2a+b}\leq \sum \frac{1}{9}(\frac{2}{a}+\frac{1}{b})=\frac{1}{3}\sum\frac{1}{a}\leq \frac{\sqrt{3}}{3}$ ( do từ $\sum\frac{1}{a^2} \geq \frac{1}{3} (\sum\frac{1}{a})^ 2$ suy ra $\sum\frac{1}{a}\leq \sqrt{3}$). Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$

Mong bạn tiếp tục tham gia đóng góp lời giải cho các bài còn lại.  :like


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yaya: 15-02-2020 - 16:33


#13 WaduPunch

WaduPunch

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 277 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An

Đã gửi 15-02-2020 - 20:41

Mình xin được bổ sung thêm phần còn thiếu của bạn và sửa lại lỗi sai trong quá trình đánh giá bất đẳng thức của bạn để lời giải hoàn chỉnh:

$\sum \frac{3}{6a+3b}=\sum\frac{1}{2a+b}\leq \sum \frac{1}{9}(\frac{2}{a}+\frac{1}{b})=\frac{1}{3}\sum\frac{1}{a}\leq \frac{\sqrt{3}}{3}$ ( do từ $\sum\frac{1}{a^2} \geq \frac{1}{3} (\sum\frac{1}{a})^ 2$ suy ra $\sum\frac{1}{a}\leq \sqrt{3}$). Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$

Mong bạn tiếp tục tham gia đóng góp lời giải cho các bài còn lại.  :like

Cảm ơn bạn  :D  :D  :D Mình đánh vội quá nên lộn.



#14 Yaya

Yaya

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP. Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Làm toán và đá banh

Đã gửi 15-02-2020 - 20:55

Cảm ơn bạn  :D  :D  :D Mình đánh vội quá nên lộn.

Đánh sai là chuyện bình thường thôi bạn  :D . Hi vọng bạn và mọi người vẫn tiếp tục đóng góp cho chuyên mục này.



#15 WaduPunch

WaduPunch

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 277 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An

Đã gửi 15-02-2020 - 21:10

Bài 10: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=2020.$ Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

                                                   $A=\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}+\frac{y^3}{y^2+yz+z^2}+\frac{z^3}{z^2+zx+x^2}$

Mình xin đưa ra lời giải cho Bài 10

$A=\sum\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}=\sum\frac{x(x^2+xy+y^2)-xy(x+y))}{x^2+xy+y^2}=2020-\sum \frac{xy(x+y)}{x^2+xy+y^2}$

Mà $x^2+xy+y^2\geq \frac{3}{4}(x+y)^2$

Nên $\sum\frac{xy(x+y)}{x^2+xy+y^2}\leq\sum\frac{xy(x+y)}{\frac{3}{4}(x+y)^2}=\sum\frac{4}{3}.\frac{xy}{x+y}\leq \sum\frac{xy}{3}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=\sum\frac{1}{3}(x+y)$

$\Rightarrow A\geq \frac{2020}{3}$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2020}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WaduPunch: 15-02-2020 - 21:11


#16 Yaya

Yaya

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP. Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Làm toán và đá banh

Đã gửi 15-02-2020 - 21:38

Mình xin đưa ra lời giải cho Bài 10

$A=\sum\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}=\sum\frac{x(x^2+xy+y^2)-xy(x+y))}{x^2+xy+y^2}=2020-\sum \frac{xy(x+y)}{x^2+xy+y^2}$

Mà $x^2+xy+y^2\geq \frac{3}{4}(x+y)^2$

Nên $\sum\frac{xy(x+y)}{x^2+xy+y^2}\leq\sum\frac{xy(x+y)}{\frac{3}{4}(x+y)^2}=\sum\frac{4}{3}.\frac{xy}{x+y}\leq \sum\frac{xy}{3}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=\sum\frac{1}{3}(x+y)$

$\Rightarrow A\geq \frac{2020}{3}$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2020}{3}$

Bạn đánh giá hay quá  :like

Mình cũng xin trình bày 1 cách khác cho bài toán:

$A=\frac{x^4}{x(x^+xy+y^2)}+\frac{y^4}{y(y^2+yz+z^2)}+\frac{z^4}{z(z^2+zx+x^2)}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x(x^2+xy+y^2)+y(y^2+yz+z^2)+z(z^2+zx+x^2)}$

Ta có $x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=2020(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=2020(x^2+y^2+z^2)-2020(xy+yz+zx)$

Vậy $x(x^2+xy+y^2)+y(y^2+yz+z^2)+z(z^2+zx+x^2)=x^3+y^3+z^3+xy(x+y)+yz(z+y)+zx(z+x)=x^3+y^3+z^3+xy(2020-z)+yz(2020-x)+zx(2020-y)=2020(x^2+y^2+z^2)$

Từ đó ta suy ra $A\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{2020(x^2+y^2+z^2)}\geq \frac{(x+y+z)^2}{3.2020}=\frac{2020}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{2020}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yaya: 15-02-2020 - 21:39


#17 WaduPunch

WaduPunch

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 277 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An

Đã gửi 15-02-2020 - 21:44

Bài 9: Cho $x,y,z\in [0,1]$. Chứng minh rằng: $(2^x+2^y+2^z)(2^{-x}+2^{-y}+2^{-z})\leq \frac{81}{8}$ 

Mình nghĩ đề bài này bị sai r bạn a.. Khi mình thay $x=y=z=1$ thì $L.H.S=9\geq\frac{81}{8}$



#18 Yaya

Yaya

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP. Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Làm toán và đá banh

Đã gửi 15-02-2020 - 21:55

Mình nghĩ đề bài này bị sai r bạn a.. Khi mình thay $x=y=z=1$ thì $L.H.S=9\geq\frac{81}{8}$

Theo mình thì có thể dấu bằng không xảy ra ngay tại x=y=z=1 nên vấn đề bạn nói chưa chắc đề sai



#19 WaduPunch

WaduPunch

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 277 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An

Đã gửi 15-02-2020 - 22:00

Bài 9: Cho $x,y,z\in [0,1]$. Chứng minh rằng: $(2^x+2^y+2^z)(2^{-x}+2^{-y}+2^{-z})\leq \frac{81}{8}$ 

Nhưng đây đề của bạn là $\forall x,y,z \in \left [ 0,1\right ]$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WaduPunch: 15-02-2020 - 22:09


#20 Yaya

Yaya

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP. Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Làm toán và đá banh

Đã gửi 15-02-2020 - 22:07

Mình nghĩ đề bài này bị sai r bạn a.. Khi mình thay $x=y=z=1$ thì $L.H.S=9\geq\frac{81}{8}$

Bạn nhầm ấy $9 \leq \frac{81}{8}$ mà nên mình mới nói chưa chắc dấu bằng khi max xảy ra khi x=y=z=1 







1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh