Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a+b+c=2021$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a+b+c=2021$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 22-11-2021 - 15:47

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#2
GiveMeATest

GiveMeATest

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

Sao không sử dụng được latext nhỉ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi GiveMeATest: 23-11-2021 - 12:45
LaTeX


#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Dấu bằng xảy ra khi nào vậy bạn? :( 


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#4
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a+b+c=2021$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

Ta có $$\frac{1}{3k+2-a}\geq \frac{a+k+1}{2(k+1)(2k+1)}\iff \frac{(a-k)(a-k-1)}{2(3k+2-a)(k+1)(2k+1)}\geq 0,$$

đúng với mọi số nguyên dương $a<3k+2$.

Do đó bất đẳng thức $$\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\geq \frac{6k+5}{2(k+1)(2k+1)}$$

sẽ đúng với mọi $a,b,c$ nguyên dương có tổng bằng $3k+2$.

Từ đó $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{6k^{2}+9k+4}{2(k+1)(2k+1)}.$$

Đẳng thức xảy ra khi trong $a,b,c$ có hai số bằng $k+1$, số còn lại bằng $k$.

Cho $k=673$ ta có GTNN cần tìm là $\frac{2723635}{1815756}$. $\square$



#5
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Ta sẽ đi tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}$.

Trong ba số $a,b,c$ tồn tại một số lẻ. Không mất tính tổng quát giả sử $c$ lẻ.

Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có $\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{4}{2021+c}$.

Do đó $P\geq \frac{1}{2021-c}+\frac{4}{2021+c}$.

Xét $f(c)=\frac{1}{2021-c}+\frac{4}{2021+c}$.

$f'(c)=\frac{1}{(2021-c)^2}-\frac{4}{(2021+c)^2}$.

+) Nếu $1\leq c\leq 673$ thì $f'(c)<0\Rightarrow f(c)$ nghịch biến. Do đó $f(c)>f(673)$.

+) Nếu $675\leq c\leq 2019$ thì $f'(c)>0\Rightarrow f(c)$ đồng biến. Do đó $f(c)>f(675)$.

So sánh $f(673)$ và $f(675)$ ta có $f(c)\geq f(673),\forall c\in\mathbb N; c\leq 2019; c \text{ lẻ}$.

Từ đó ta tìm được $Min \sum\frac{a}{b+c}=2021P-3=\frac{2723635}{1815756}$.

P/s: Đã fix vì lần trước hơi lú lẫn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 22-11-2021 - 19:31


#6
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

Ta sẽ đi tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}$.

Trong ba số $a,b,c$ tồn tại một số lẻ. Không mất tính tổng quát giả sử $c$ lẻ.

Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có $\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{4}{2021+c}$.

Do đó $P\geq \frac{1}{2021-c}+\frac{4}{2021+c}$.

Xét $f(c)=\frac{1}{c}+\frac{4}{2021-c}$.

$f'(c)=\frac{1}{(2021-c)^2}-\frac{4}{(2021+c)^2}$.

+) Nếu $1\leq c\leq 673$ thì $f'(c)<0\Rightarrow f(c)$ nghịch biến. Do đó $f(c)>f(673)$.

+) Nếu $675\leq c\leq 2019$ thì $f'(c)>0\Rightarrow f(c)$ đồng biến. Do đó $f(c)>f(675)$.

So sánh $f(673)$ và $f(675)$ ta có $f(c)\geq f(673),\forall c\in\mathbb N; c\leq 2019; c \text{ lẻ}$.

Từ đó ta tìm được $Min \sum\frac{a}{b+c}=2021P-3=\frac{2723635}{1815756}$.

P/s: Đã fix vì lần trước hơi lú lẫn

Chỗ $f(c)$ sửa lại thành $\frac{1}{2021-c}+\frac{4}{2021+c}$ nhé.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 22-11-2021 - 19:32


#7
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Đặt

$P(a,b,c)=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

Giả sử $P(a_0,b_0,c_0)$ là giá trị nhỏ nhất của $P(a,b,c)$ và $a_0\leqslant b_0\leqslant c_0$

Ta đi chứng minh:

$c_0\leqslant a_0+1$

Thật vậy, nếu $c_0\geqslant a_0+2$:

Xét bộ số: $(a_1,b_1,c_1)=(a_0+1,b_0,c_0-1)$.

Ta có:

$P_1-P_0=(a_0+b_0+c_0)\left [\frac{1}{(b_0+c_0)(b_0+c_0-1)}-\frac{1}{(a_0+b_0)(a_0+b_0+1)} \right ]<0\Rightarrow P_1<P_0(\text{vô lí})$

Như vậy, phải có: $a_0\leqslant b_0\leqslant c_0\leqslant a_0+1$

Kết hợp với điều kiện $a_0+b_0+c_0=2021$ suy ra $(a_0,b_0,c_0)=(673,674,674)$

Từ đó ta có giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ là $\frac{2723635}{1815756}$ đạt được khi có 1 số bằng 673 và 2 số bằng 674

                      ---------------------------------------------------------------------------------------------------

Note: Cho em hỏi Hoàng và anh PDF: Mối quan hệ giữa $P$ với $\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}$ là gì ạ? Em chưa thông lắm?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 22-11-2021 - 20:11

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#8
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

Đặt

$P(a,b,c)=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

Giả sử $P(a_0,b_0,c_0)$ là giá trị nhỏ nhất của $P(a,b,c)$ và $a_0\leqslant b_0\leqslant c_0$

Ta đi chứng minh:

$c_0\leqslant a_0+1$

Thật vậy, nếu $c_0\geqslant a_0+2$:

Xét bộ số: $(a_1,b_1,c_1)=(a_0+1,b_0,c_0-1)$.

Ta có:

$P_1-P_0=(a_0+b_0+c_0)\left [\frac{1}{(b_0+c_0)(b_0+c_0-1)}-\frac{1}{(a_0+b_0)(a_0+b_0+1)} \right ]<0\Rightarrow P_1<P_0(\text{vô lí})$

Như vậy, phải có: $a_0\leqslant b_0\leqslant c_0\leqslant a_0+1$

Kết hợp với điều kiện $a_0+b_0+c_0=2021$ suy ra $(a_0,b_0,c_0)=(673,674,674)$

Từ đó ta có giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ là $\frac{2723635}{1815756}$ đạt được khi có 1 số bằng 673 và 2 số bằng 674

                      ---------------------------------------------------------------------------------------------------

Note: Cho em hỏi Hoàng và anh PDF: Mối quan hệ giữa $P$ với $\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}$ là gì ạ? Em chưa thông lắm?

 

$$(a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b})=3+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}.$$

 

PS: Cách em trình bày ở trên sử dụng phương pháp đã có trong nhiều tài liệu, khá phổ biến và áp dụng được cho nhiều tình huống, tuy nhiên cũng khá phức tạp nên anh không dùng.

Về mặt ý tưởng thì cả 2 cách đều giống nhau: Cực trị xảy ra khi các biến "ở gần nhau". Nếu đã có được dự đoán này thì việc tìm ra đánh giá mà anh dùng ở trên cũng khá dễ và phù hợp với mức THCS.

Một chú ý khác khi sử dụng cách của KietLW9: Do số bộ nguyên dương thỏa mãn đề bài là hữu hạn nên mới tồn tại một bộ số để $P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$ đạt GTNN. Nếu không có dòng này khi đi thi khả năng sẽ bị trừ điểm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 22-11-2021 - 20:57





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh