Chủ đề này có 3 trả lời

[thh2]

Tìm tất cả hàm số: $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(x+y)=f(x)\times f(y)\forall x,y\in \mathbb{R}$

[thuvitoanhoc]

mình không biết giải nhưng mình biết một hàm số thõa mãn đề bài của bạn là f(x) = $a^{x}$. (0 <a ) Khi đó

$f(x+y)=a^{x+y}=a^{x}a^{y}=f(x)\times f(y)$

Hy vong bạn nào đó đưa ra được lời giải.

[pcoVietnam02]

Đặt $f(x)=e^{g(x)}$. Suy ra $e^{g(x+y)}=e^{g(x)}.e^{g(y)}\Rightarrow g(x+y)=g(x)+g(y)$

Mà $f$ liên tục nên $g$ liên tục. Do đó $g(x)$ là hàm Cauchy tuyến tính. Suy ra $g(x)=cx, \forall x\in\mathbb R$, $c$ là hằng số bất kì. 

Vậy $f(x)=e^{cx}, \forall x\in\mathbb R$, $c$ là hằng số bất kì. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 04-09-2021 - 08:13

[huykinhcan99]

Tìm tất cả hàm số: $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(x+y)=f(x)\times f(y)\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

\begin{equation} \label{eq:1} f(x+y)=f(x)f(y) \end{equation}

Cho $x=0$, $y=0$ vào \eqref{eq:1} ta được $f(0)=\left[f(0)\right]^2 \iff \left[\begin{array}{l} f(0)=0 \\ f(0)=1 \end{array} \right.$

Nếu $f(0)=0$, cho $y=0$ vào \eqref{eq:1} ta được $f(x)=0, \quad \forall x\in \mathbb{R}$.

Nếu $f(0)=1$, cho $y=x$ vào \eqref{eq:1} ta có $f\left(2x\right)=\left[f(x)\right]^2, \quad \forall x\in \mathbb{R}$.

Cho $y=2x$ vào \eqref{eq:1} ta có $f(3x)=f(x)f(2x)=\left[f(x)\right]^3, \quad \forall x\in \mathbb{R}$.

Giả sử ta có $f(nx)=\left[f(x)\right]^n, \quad \text{với } n\in \mathbb{N}$.

Khi đó, cho $y=nx$ vào \eqref{eq:1} ta có $f\left((n+1)x\right)=f(x)f(nx)=\left[f(x)\right]^{n+1}$.

Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học, ta có

\begin{equation} \label{eq:2} f(nx)=\left[f(x)\right]^n, \quad \forall x\in \mathbb{R}, n\in \mathbb{N} \end{equation}

Cho $x=1$ vào \eqref{eq:2} ta được $f(n)=\left[f(1)\right]^n, \quad \forall n\in \mathbb{N}$. Đặt $f(1)=a$ ta được $f(n)=a^n, \quad \forall n\in \mathbb{N}$.

Cho $y=-x$ vào \eqref{eq:1} ta được $1=f(0)=f(x)f(-x), \quad \forall n\in \mathbb{N}$. Khi đó ta có $f(-n) = \dfrac{1}{f(n)}=\dfrac{1}{a^n}=a^{-n}, \quad \forall n\in \mathbb{N}$.

Vậy $f(n)=a^n, \quad \forall n\in \mathbb{Z}$.

Cho $x=\dfrac1n$ vào \eqref{eq:2} ta được $f(1)=\left[f\left(\dfrac{1}{n}\right)\right]^n\implies f\left(\dfrac{1}{n}\right)=a^\tfrac{1}n, \quad \forall n\in \mathbb{Z}$.

Cho $x=\dfrac{m}{n}, m, n \in \mathbb{Z}$ vào \eqref{eq:2} ta được $f\left(n\cdot\dfrac{m}{n}\right)=\left[f\left(\dfrac{m}{n}\right)\right]^n, \quad \forall m, n \in \mathbb{Z}$.

Mặt khác, theo \eqref{eq:2} ta có $f\left(n\cdot\dfrac{m}{n}\right)=f(m)=a^m, \quad \forall m\in \mathbb{Z}$.

Vậy $\left[f\left(\dfrac{m}{n}\right)\right]^n=a^m$, hay là $f\left(\dfrac{m}{n}\right)=a^\tfrac{m}{n},\quad \forall m,n \in \mathbb{Z}$.

Vậy $f(q)=a^q, \quad \forall q\in \mathbb{Q}$.

Do hàm số $f$ là liên tục nên chuyển qua giới hạn ta được $f(x)=a^x, \quad \forall x\in \mathbb{R}$.

 

Thử lại thoả mãn, vậy $f(x)=a^x, \quad \forall x\in \mathbb{R}$ ($a$ là hằng số bất kỳ)

 

P.S: Phương trình hàm nên đăng vào box Olympic chứ nhỉ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykinhcan99: 04-09-2021 - 20:52