Tìm tất cả các số nguyên n để $n^4 + 3n^3 + 3n^2$ là số chính phương
Tìm tất cả các số nguyên n để $n^4 + 3n^3 + 3n^2$ là số chính phương
Bắt đầu bởi Khongonroi, 26-11-2021 - 16:39
#1
Đã gửi 26-11-2021 - 16:39
#2
Đã gửi 01-03-2022 - 21:07
Ta có : $C=x^{4}+3x^{3}+3x^{2}=x^{2}(x^{2}+3x+3)$
Với n = 0 thì C = 0 ( thỏa mãn )
Với n $\neq$ 0thì C là số chĩnh phương khi và chỉ khi $n^{2}+3n+3$ là số chính phương .
Khi đó $n^{2}+3n+3 =k^{2}$ ( $k\in N$ )
Suy ra : $4(n^{2}+3n+3)=4k^{2}\Rightarrow (2n+3)-4k^{2}=-3\Rightarrow (2n+3-2k)(2n+3+2k)=-3$
Vì $n+3-2k \leq n+3+2k,\forall n\in \mathbb{Z},k\in \mathbb{N}$ nên
TH1: $\left\{\begin{matrix} n+3-2k=-3 & \\ n+3+2k=1 & \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow n=-2$ ( thỏa mãn)
TH2: $\left\{\begin{matrix} x+3-2k=-1 & \\ x+3+2k=3 & \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow n=-1$ (thỏa mãn )
Dư Hấu
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh