KĨ THUẬT PHÂN TÍCH BÌNH PHƯƠNG CỰC NGẮN CHO MỌI BẤT ĐẲNG THỨC
I/ Lời nói đầu.
Bất đẳng thức luôn là những bài toán rất đẹp, và hay vì chúng luôn cần sự suy nghĩ! Tuy nhiên, việc giải chúng thì ngược lại, việc tìm một lời giải cho chúng vô cùng vất vả và khó khăn. Và đối với những bài toán có 2 đẳng thức trở lên thì mọi việc lại càng trở nên khó khăn hơn. Sau một thời gian học hỏi kinh nghiệm và tìm tòi, chúng tôi đã tìm được một kĩ thuật để đánh giá cho những bất đẳng thức dạng đơn giản, đẹp. Do độ khó của các bài toán nên đôi khi một số lời giải có đôi chút dài, nhưng bù lại là là vẻ đẹp của phương pháp và chúng ta không cần Maple.
Tác giả.
tthnew
II/ Cơ sở kĩ thuật
Giả sử A là biểu thức cần chứng minh. (Ta sẽ chứng minh $A\geq0$)
Cơ sở kĩ thuật của [DRIVE!sos] hết sức đơn giản, chỉ là dựa trên việc xác định hai hệ số ($k>0$và $k<0$). Sao cho:
+) $A=kP + Q$ ($k>0;P,Q\geqslant 0$)
+) $A=kM+N$ ($k<0;M,N\geqslant 0$)
Khi đó: $$A=\frac{\text{QM+PN}}{\text{P+M}}\geqslant 0$$
Cơ sở kĩ thuật chỉ đơn giản có thế, miễn ta xác định được hệ số k thỏa mãn như trên là bài toán được chứng minh xong.
Xin mách nhỏ với bạn đọc, khi kết hợp kĩ thuật này với Buffalo Way thì bài toán hết sức ảo diệu đó! Ngoài ra khi kết hợp với BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel thì ta tìm được vô số kiểu SOS!
Chúng ta cùng đến với phần III: Ứng dụng.
III/ Ứng dụng
Bài 1. (Korean MO Final,2016):
Với $x,y,z$ là ba số thực bất kì. Chứng minh rằng: $$(x^2-yz)(y^2-zx)(z^2-xy) \leqslant 8(x^2+y^2+z^2)^3$$
Lời giải.
Trước hết, ta có công thức (thực ra ở trên đã nêu rồi, ở đây nêu hơi khác một chút!)
Từ đó ta có: $$F=(x+y+z)^2(x^2+y^2+z^2)(x+y-z)^2+(z^2-xy).4(x^2-xy+y^2)(x+y+z)^2$$
và $$F=(x^2+y^2+z^2)^3-(z^2-xy).8(x^2-yz)(y^2-zx)$$
Do đó: $$F=\dfrac{\Big[(x^2-xy+y^2)(x^2+y^2+z^2)^2 +2(x^2-yz)(y^2-zx)(x+y-z)^2)\Big](x+y+z)^2}{x^2+xy+y^2}$$
Quá tuyệt vời đúng không? Hãy cùng đến với bài 2, một bài toán rất quen thuộc.
Bài 2. Chứng minh rằng $a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ca$ với mọi a,b,c
Lời giải.
Ta có: $$\text{Vế trái - Vế phải}=(a-b)^2+(a-c)(b-c)$$
Và: $$\text{Vế trái - Vế phải}=(a+b-2c)^2-3(a-c)(b-c)$$
Áp dụng công thức ở phần II ta có: $$\text{Vế trái - Vế phải}=\frac{3}{4}(a-b)^2 +\frac{1}{4}(a+b-2c)^2 \geqslant 0$$
Bài 3. (BĐT Schur bậc $3$)
Cho $a,b,c\geqslant 0$. Chứng minh rằng:
$$a(a-b)(a-c) +b(b-c)(b-a) +c(c-a)(c-b)\geqslant 0$$
Lời giải.
Kiểu 1. (tthnew)
$$\text{Vế trái}=\dfrac{[2c(a+b-c)^2+abc](a-b)^2 +(a+b-c)(a^2+b^2-2ab+ac+bc-2c^2)^2}{(a-b)^2+4c(a+b-c)} \geqslant 0$$
Với $c=\text{mid} \{a,b,c\}$. (Cần xét các trường hợp để mẫu thức luôn $>0$, nhưng ở đây chỉ trình bày về SOS nên xin phép không nêu)
Kiểu 2. (DOTOANNANG)
$$a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)=\frac{(a-b)^2ab+(a-c)^2ac +(b-c)^2(a-b-c)^2}{b+c} \geqslant 0$$
Bài 4. (Kết hợp với Buffalo-Way)
Cho $a,b,c\geqslant 0$. Chứng minh rằng: $$4(a+b+c)^3-27(a^2b+b^2c+c^2a+abc)\geqslant 0$$
Lời giải.
Không mất tính tổng quát, giả sử $c=\min\{a,b,c\}$. Đặt $a=c+x;b=c+y$ thì $x,y\geqslant 0$
Thay vào và bất đẳng trở thành: $$\text{Vế trái}=9c(x^2-xy+y^2)+(4x+y)(x-2y)^2 \geqslant 0$$
Ta thế ngược lại và thu được: $$\text{Vế trái}=9c(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) +(4a+b-5c)(a+c-2b)^2\geqslant 0$$
Đây cũng là cách phân tích theo kiểu Ji Chen.
Bài 5. (IMO 1983)
Cho a,b,c là độ dài $3$ cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
$$a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a) \geqslant 0$$
Lời giải.
Kiểu 1. (tthnew) Giả sử $c=\max\{a,b,c\}.$ Ta có$:$
$$\sum\limits_{cyc} a^2 b(a-b) = \dfrac{[3ab+b(c-b)+4a(c-a)](b-c)^2+b(a+b-c)(b+c-2a)^2}{4}$$
Kiểu 2. (DOTOANNANG)
Xem tại đây: IMO 1983 - Haidangel
Kiểu 3. (Theo Bernhard Leeb)
Giả sử $a=\max\{a,b,c\}.$ Ta có$:$ $$\text{Vế trái}=a(b+c-a)(b-c)^2+b(a+b-c)(a-b)(a-c) \geqslant 0.$$
Cũng xin nói thêm rằng, SOS dao lam có vô số kiểu SOS, không nhất thiết phải cứng nhắc là tìm $2$ hệ số $k$ như ở phần II. Kiểu $3$ này minh chứng cho điều đó.
Phần tiếp theo sẽ nói về sự kết hợp tuyệt vời giữa BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel và SOS dao lam [DRIVE!sos].
Đây chỉ là một kĩ thuật nho nhỏ mà em học được từ anh DOTOANNANG, hiện tại kĩ thuật này vẫn chỉ ở mức độ mẹo, mong mọi người cùng phát triển nó để nó trở thành một phương pháp SOS cực mạnh 
Tài liệu tham khảo.
- Hệ thức dao lam$,$ DOTOANNANG. https://diendantoanh...qqit0/?p=721176
- Diễn đàn Toán học VMF$:$ https://diendantoanhoc.net/
- Art Of Problem Solving$:$ https://artofproblemsolving.com/
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 09-09-2020 - 13:20
