Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh số đó là $n$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
KieranWilson

KieranWilson

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 32 Bài viết

Cho dãy số $\frac{1}{1};\frac{1}{2};\frac{1}{3};..;\frac{1}{n}$, tiến hành xóa các số trong dãy và sau khi xóa hai số $a,b$ bất kì thì lại thêm số $a+b+ab$ vào dãy, sau một số lần như vậy thì trong dãy còn lại $1$ số. Chứng minh số đó là $n$



#2
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Có được:

$$a\ast b= a+ b+ ab= \left ( 1+ a \right )\left ( 1+ b \right )- 1\Rightarrow a\ast b\ast c\ldots\ast n= \left ( 1+ a \right )\left ( 1+ b \right )\ldots\left ( 1+ n \right )- 1$$

$$\Rightarrow\frac{1}{1}\ast\frac{1}{2}\ast\frac{1}{3}\ldots\ast\frac{1}{n}= \frac{2}{1}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\ldots\cdot\frac{n+ 1}{n}- 1= n$$



#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Dễ dàng nhận xét rằng cứ xóa đi hai số và thêm 1 số và chỉ còn lại 1 số trong dãy thì sẽ có $n-1$ lần xóa và thêm như thế.

Ta có: $(a+1)(b+1)=(ab+a+b)+1$

Như vậy tích thêm $(\frac{1}{1}+1)(\frac{1}{2}+1)(1+\frac{1}{3})...(1+\frac{1}{n})=n+1$ sẽ không thay đổi với mọi dãy thu được

Sau $n-1$ lần biến đổi như vậy thì dãy cuối là $s + 1$ có giá trị $n+1$ nên $s = n$ tức số cuối sẽ là n (đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 29-11-2021 - 18:52

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh