Chủ đề này có 4 trả lời

[Trungkiendo]

Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^4+2x^2=y^3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 30-11-2021 - 12:12

[Khoinguyen2007]

 Ta có

$$x^4+2x^2=y^3 \Leftrightarrow (x^2+1)^2=(y+1)(y^2-y+1).$$

Đặt $d=gcd(y+1, y^2-y+1)=gcd(y+1, (y+1)(y-2)+3)=gcd(y+1, 3) \Rightarrow d|3 \Rightarrow d \in \{1, 3\}.$

Do $d|x^2+1$ mà không tồn tại $x$ để $x^2+1$ chia hết cho $3$ nên $d=1$

Từ đó ta có$\begin{cases} y+1=m^2\\ y^2-y+1=n^2 \end{cases}$

Mặt khác, ta có $y+1>0$ nên $y \ge 0$.

+) Với $y=0$, ta có $x=0$

+) Với $y>0$, ta có

$$(m^2-2)^2=(y-1)^2<y^2-y+1=n^2<(y+1)^2=m^4$$

Suy ra $n=m^2-1=y \Rightarrow y^2-y+1=y^2 \Rightarrow y=1$ (Ko thỏa mãn).

Vậy $x=0$, $y=0$ thỏa mãn phương trình

[Mathlegend]

 Ta có

$$x^4+2x^2=y^3 \Leftrightarrow (x^2+1)^2=(y+1)(y^2-y+1).$$

Đặt $d=gcd(y+1, y^2-y+1)=gcd(y+1, (y+1)(y-2)+3)=gcd(y+1, 3) \Rightarrow d|3 \Rightarrow d \in \{1, 3\}.$

Do $d|x^2+1$ mà không tồn tại $x$ để $x^2+1$ chia hết cho $3$ nên $d=1$

Từ đó ta có$\begin{cases} y+1=m^2\\ y^2-y+1=n^2 \end{cases}$

Mặt khác, ta có $y+1>0$ nên $y \ge 0$.

+) Với $y=0$, ta có $x=0$

+) Với $y>0$, ta có

$$(m^2-2)^2=(y-1)^2<y^2-y+1=n^2<(y+1)^2=m^4$$

Suy ra $n=m^2-1=y \Rightarrow y^2-y+1=y^2 \Rightarrow y=1$ (Ko thỏa mãn).

Vậy $x=0$, $y=0$ thỏa mãn phương trình

Cho mình hỏi gcd là gì vậy bạn?

[DOTOANNANG]

GCD – Greatest Common Divisor: Ước số chung lớn nhất

[Mathlegend]

GCD – Greatest Common Divisor: Ước số chung lớn nhất

OK cảm ơn bạn nha!