Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN VÀ HSG TỈNH}}$ NĂM HỌC 2019-2020


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 825 trả lời

#341 Daniel18

Daniel18

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 135 Bài viết

Đã gửi 15-03-2020 - 09:27

$\boxed{\text{Bài 188}}$ Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+2y+3z=\frac{1}{4}$. Tìm giá trị nhỏ nhất

$$M=\frac{232.y^{3}-x^{3}}{2xy+24y^{2}}+\frac{783.z^{3}-8.y^{3}}{6yz+54.z^{2}}+\frac{29.x^{3}-27.z^{3}}{3xz+6.x^{2}}$$

Mình nghĩ bài này tìm max

Đặt
$(x,2y,3z) \rightarrow (a,b,c) \Rightarrow a+b+c=\frac{1}{4}$
$$=> M=\sum \frac{29b^3-a^3}{ab+6b^2}$$
Có $$ \frac{29b^3-a^3}{ab+6b^2}=\frac{30b^3-ab(a+b)-(a-b)^2(a+b)}{ab+6b^2} \leq \frac{30b^2-a^2-ab}{a+6b}=\frac{36b^2-a^2-b(a+6b)}{a+6b}=6b-a-b $$
Tương tự
$$ M \leq 4(a+b+c)=1 $$

 

*Em nhớ trích dẫn đầu đề nhé!!!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 15-03-2020 - 09:39


#342 Pizscontrol9

Pizscontrol9

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:làm việc mình thích

Đã gửi 15-03-2020 - 13:11

Xin phép góp thêm mấy bài:

$\boxed{\text{Bài 189}}$ Cho $x^{2}+y^{2}=1$.Tìm GTLN của

$$A=2x+y^{5}$$

$\boxed{\text{Bài 190}}$ Cho $a,b,c\geq d$.Chứng minh rằng

$$(ab-d^{2})(bc-d^{2})(ca-d^{2})\geq (a^{2}-d^{2})(b^{2}-d^{2})(c^{2}-d^{2})$$

$\boxed{\text{Bài 191}}$ Cho x,y,z>0 thỏa mãn: $3x+3y+3x+4\leq \frac{27}{4}xyz$.Tìm GTNN của

$$P=x+y+z$$

$\boxed{\text{Bài 192}}$ Cho a,b,c>0.Chứng minh rằng

$$(\frac{3}{2}+\frac{a}{b+c})(\frac{3}{2}+\frac{b}{c+a})(\frac{3}{2}+\frac{c}{a+b})\geq 8$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 16-03-2020 - 17:57


#343 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 556 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 15-03-2020 - 15:03

$\boxed{\text{Bài 189}}$: Cho $x^{2}+y^{2}=1$.Tìm GTLN: A=$2x+y^{5}$

Bài 189 Ta có: Vì $x^{2}\geq 0=>y^{2}\leq 1=>y\leq 1$ và $y^{5}\leq y^{2}$

=>$S\leq 2x+y^{2}=2x+1-x^{2}=2-(x-1)^{2}\leq 2$

=>maxS=2<=>x=1;y=0.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 16-03-2020 - 17:57


#344 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 556 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 15-03-2020 - 16:00

Mời mọi người thử sức với 3 bài nữa:

$\boxed{\text{Bài 193}}$ Cho a,b,c>0.Chứng minh rằng 

$$\sum \frac{ab}{a^{2}+b^{2}+3c^{2}}\leq \frac{3}{5}$$

$\boxed{\text{Bài 194}}$ Cho $x,y\geq 0$ thỏa mãn $17x^{2}-72xy+90y^{2}-9=0$. Tìm GTLN của

$$A=3\sqrt{x}+8\sqrt{y}$$

$\boxed{\text{Bài 195}}$ Cho $x>y\geq 0$. Chứng minh rằng

$$x+\frac{4}{(x-y)(y+1)^{2}}\geq 3$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 18-03-2020 - 08:02


#345 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Wakanda

Đã gửi 15-03-2020 - 16:03

 

$\boxed{\text{Bài 192}}$: Cho a,b,c>0.CMR: $(\frac{3}{2}+\frac{a}{b+c})(\frac{3}{2}+\frac{b}{c+a})(\frac{3}{2}+\frac{c}{a+b})\geq 8$

Bài 192: BĐT tương đương với: $(3+\frac{2a}{b+c})(3+\frac{2b}{c+a})(3+\frac{2c}{a+b})\geq 64$

Đặt $x=\frac{2a}{b+c};y=\frac{2b}{c+a};z=\frac{2c}{a+b}$

$\Rightarrow yz+zx+xy+xyz=4$. Ta cần c/m: $(3+x)(3+y)(3+z)\geq 64$

$\Leftrightarrow 2(yz+zx+xy)+9(x+y+z)\geq 33$     (Đúng do $xyz\leq 1;yz+zx+xy\geq 3;x+y+z\geq 3$)

Dấu bằng xảy ra chỉ khi $a=b=c$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 16-03-2020 - 17:53


#346 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 556 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 15-03-2020 - 16:14

$\boxed{\text{Bài 190}}$: Cho $a,b,c\geq d$.CMR:$(ab-d^{2})(bc-d^{2})(ca-d^{2})\geq (a^{2}-d^{2})(b^{2}-d^{2})(c^{2}-d^{2})$

Bài 190:

Ta có: $(ab-d^{2})^{2}-\left ( a^{2}-d^{2} \right )\left ( b^{2}-d^{2} \right )=d^{2}\left ( a-b \right )^{2}\geq 0=>(ab-d^{2})^{2}\geq \left ( a^{2}-d^{2} \right )\left ( b^{2}-d^{2} \right )$

Tương tự rồi nhân các vế BDT vừa thu đc ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra <=>d=0 hoặc a=b=c hoặc trong 3 số a,b,c có 2 số bằng d


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 16-03-2020 - 17:53


#347 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 556 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 15-03-2020 - 16:23

$\boxed{\text{Bài 192}}$: Cho a,b,c>0.CMR: $(\frac{3}{2}+\frac{a}{b+c})(\frac{3}{2}+\frac{b}{c+a})(\frac{3}{2}+\frac{c}{a+b})\geq 8$

Cách 2 

Ta có: $\frac{3}{2}+\frac{a}{b+c}=\frac{3b+3c+2a}{2b+2c}$

Ta có:$3b+3c+2a\geq 2\sqrt{\left ( c+a \right )\left ( c+b \right )}+2\left ( b+c \right )\geq 4\sqrt[4]{\left ( c+a \right )\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )^{2}}$

Tương tự rồi nhân các vế BĐT vừa nhận đc ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra <=>a=b=c.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 16-03-2020 - 17:52


#348 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Wakanda

Đã gửi 15-03-2020 - 16:27

Mình xin đưa ra lời giải khác cho Bài 32.

Phức tạp hơn nhiều so với lời giải thứ nhất, tuy nhiên với tinh thần học hỏi, chúng ta hãy xem xét hướng tiếp cận mới sẽ như thế nào  :icon6:

Bổ đề 1

Với $ a,b,c \geq 0 $, không có 2 số nào bằng 0, khi đó:

$$ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} + \frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 2 $$

$$ \Leftrightarrow a(a+b)(a+c) +b(b+c)(b+a) + c(c+a)(c+b) + 4abc \geq 2(a+b)(b+c)(c+a) $$

$$ \Leftrightarrow a^3  + b^3 + c^3 +\sum ab(a+b)  + 7abc \geq 2 \sum ab(a+b)  + 4abc $$

$$ \Leftrightarrow a^3 + b^3 +c^3 +3abc \geq ab(a+b) + bc(b+c) + ac(a+c) $$

Đây chính là BĐT Schur bậc 3.

Bổ đề 2

Với $ a,b,c \geq 0 $, không có 2 số nào bằng 0, khi đó:

$$ \sqrt{\frac{a}{b+c}} + \sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}} \geq 2\sqrt{ 1 + \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} } $$

$$ \Leftrightarrow  \sqrt{a(a+b)(a+c)} +  \sqrt{b(b+c)(b+a)} + \sqrt{c(c+a)(c+b)} \geq 2\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a) + abc} $$

$$ \Leftrightarrow \sqrt{a^2(a+b+c) + abc} + \sqrt{b^2(a+b+c) + abc} + \sqrt{c^2(a+b+c) + abc} \geq 2\sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ac)} $$

Áp dụng BĐT Minkowski:

$$ VT \geq \sqrt{(\sqrt{a+b+c}(a+b+c))^2 + (3\sqrt{abc})^2} = \sqrt{(a+b+c)^3 + 9abc } $$

Cần chứng minh $$ \sqrt{(a+b+c)^3 + 9abc } \geq 2\sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ac)} $$

$$  \Leftrightarrow a^3 + b^3 +c^3 +3abc \geq ab(a+b) + bc(b+c) + ac(a+c)  $$

BĐT Schur bậc 3.

Đặt $ \sqrt{2(1+\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)})} = X \Rightarrow X \leq \frac{3}{2} $

Áp dụng bổ đề, ta có :

$$ VT \geq 2 -  \frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} + \sqrt{ 2(1 + \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}) } $$

$$ = 6 - 4(1+\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}) + \sqrt{ 2(1 + \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} )} $$

Suy ra $$ VT \geq 6 - 2X^2 + X $$.

Hoàn tất chứng minh nếu chỉ ra $$  6 - 2X^2 + X \geq 3 $$

$$ \Leftrightarrow (X+1)(3-2X) \geq 0 $$

( Đúng với $ 0 < X \leq \frac{3}{2} $ )

Dấu "=" xảy ra khi $ a=b=c. $

Rõ ràng đây không phải là lời giải tốt, chỉ nên tham khảo nhưng qua đó các bạn cũng đã biết thêm các bổ đề, hướng đánh giá mới, sử dụng Schur, Minkowski và biến đổi tương đương.

Lời giải khác cho bài toán: BĐT tương đương với: $\sum \frac{2a}{b+c}+\sum \sqrt{\frac{2a}{b+c}}\geq 6$

Đặt $x=\frac{2a}{b+c};y=\frac{2b}{c+a};z=\frac{2c}{a+b} \Rightarrow yz+zx+xy+xyz=4$. Cần c/m: $x+y+z+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq 6$

Áp dụng BĐT AM-GM: $VT\geq 2\sqrt{(x+y+z)(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})}$

Cần c/m: $(x+y+z)(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\geq 9$

Dễ thấy $yz+zx+xy\geq 3$ nên ta c/m k/quả mạnh hơn sau: $[(x+y+z)(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})]^{4}\geq 243(yz+zx+xy)^{3}$

Do đây là BĐT thuần nhất nên ta chuẩn hoá $x+y+z=3 \Rightarrow yz+zx+xy\leq 3$.

Cần c/m: $(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{4}\geq 3(yz+zx+xy)^{3}$

$\Rightarrow \sum x^{2}+2\sum \sqrt{x}\geq 3\sum x=(\sum x)^{2}=\sum x^{2}+2\sum yz \Rightarrow \sum \sqrt{x}\geq \sum yz$

Kết hợp với $yz+zx+xy\leq 3$ ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra chỉ khi $a=b=c$

PS: Đây là cách đặt ẩn phụ rất thông dụng. Từ đây ta thấy BĐT đúng với mọi $a,b,c>0$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 15-03-2020 - 16:52


#349 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Wakanda

Đã gửi 15-03-2020 - 16:38

 

$\boxed{\text{Bài 195}}$: Cho $x>y\geq 0$.CMR: $x+\frac{4}{(x-y)(y+1)^{2}}\geq 3$

Bài 195: Áp dụng BĐT AM-GM:

$VT=x+\frac{8}{(2x-2y)(y+1)(y+1)}\geq x+\frac{27}{(x+1)^{3}}=3.\frac{x+1}{3}+\frac{27}{(x+1)^{3}}-1\geq 3$ (đpcm)

Dấu bằng xảy ra chỉ khi $x=2;y=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 16-03-2020 - 17:52


#350 supreme king

supreme king

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 148 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Thích gì làm đấy

Đã gửi 15-03-2020 - 16:41

$\boxed{\text{Bài 195}}$: Cho $x>y\geq 0$.CMR: $x+\frac{4}{(x-y)(y+1)^{2}}\geq 3$

Cách 2:

Ta có: $VT=\frac{4}{(x-y)(y+1)^2}+x-y+\frac{y+1}{2}+\frac{y+1}{2}-1\geq4-1=3$ (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=2$; $y=1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 16-03-2020 - 17:51

All will be well if you use your mind for your decision, and mind only your decision

                                                                                                                 -Presh Talwalkar-


#351 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Wakanda

Đã gửi 15-03-2020 - 16:49

 

$\boxed{\text{Bài 189}}$: Cho $x^{2}+y^{2}=1$.Tìm GTLN: A=$2x+y^{5}$

Bài 191 Từ GT suy ra: $(\sum x)^{3}\geq 27xyz\geq 12(\sum x)+16 \Rightarrow P\geq 4$

Vậy $minP=4$ khi $x=y=z=\frac{4}{3}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 16-03-2020 - 17:51


#352 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Wakanda

Đã gửi 15-03-2020 - 17:08

Mời mọi người thử sức với 3 bài nữa:

$\boxed{\text{Bài 194}}$: Cho $x,y\geq 0$ thỏa mãn $17x^{2}-72xy+90y^{2}-9=0$. Tìm GTLN của A=$3\sqrt{x}+8\sqrt{y}$

Bài 194. Từ GT suy ra: $x^{2}+9y^{2}\leq 9$. Áp dụng BĐT C-S:

$A^{2}\leq (x+4y)(9+16)=25(x+4y)$; $81(x+4y)^{2}=(9x+36y)^{2}\leq (81+144)(x^{2}+9y^{2})=2025 \Rightarrow x+4y\leq 5$

$\Rightarrow A\leq 5\sqrt {5}$.

Vậy $maxA=5\sqrt {5}$ khi $x=\frac{9}{5};y=\frac{4}{5}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 16-03-2020 - 17:51


#353 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Wakanda

Đã gửi 15-03-2020 - 17:50

$\boxed{\text{Bài 196}}$ Cho $a,b,c,r>0$. Chứng minh rằng

$$\sum \sqrt[r]{\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}}\geq 3$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 16-03-2020 - 18:01


#354 WaduPunch

WaduPunch

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47-THPT chuyên PBC

Đã gửi 15-03-2020 - 19:58

Chào tất cả mọi người, mình là WaduPunch :D .Các bạn học sinh lớp 9 đang chuẩn bị cho kì thi HSG Tỉnh, kì thi THPT và khó khăn nhất chính là kì thi chuyên Toán. Chúng ta cần ôn tập và nâng cao kiến thức để có một hành trang thật tốt trước khi "ra trận".

Sau khi thảo luận với Sin99 , mình quyết định lập topic về bất đẳng thức này.

 

Nội quy của TOPIC như sau: 

++ Không spam, làm loãng TOPIC.
++ Sau khi đề xuất các bài toán, nếu sau 1 ngày mà không có ai trả lời, người đề xuất bài toán cần phải đưa ra lời giải.

++ Mình mong các bạn giải bài Toán sẽ trình bày bài toán đầy đủ một chút, thuận tiện cho việc hiểu bài.
++ Nếu như một bài toán nào đó được đề xuất mà đã có lời giải ở trang khác, mình mong mọi người hãy trình bày đầy đủ tại trang này luôn, không dẫn link đến các trang khác.

++ Lời giải ưu tiên gọn nhẹ, sáng tạo phù hợp với THCS (Hạn chế sử dụng các công cụ của bậc THPT như đạo hàm,...).
++ Các anh chị lớp trên nên hạn chế giải bài, thay vào đó đề xuất một bài toán mới hoặc lời giải thứ 2 của một bài toán nào đó.

++ Sau khi lời giải của một bài toán nào đó được đưa ra thì bất kì lời giải nào giống với lời giải trước đều sẽ bị xóa, tránh làm loãng TOPIC.

++ Các bài giài đều phải trích dẫn đề bài để mọi người dễ đọc dễ hiểu 

 

Các bài toán đã được giải sẽ được tô màu đỏ. Các bạn chú ý nhé  :D 

Mong các bạn chấp hành đúng nội quy của TOPIC. Mình mong sẽ nhận được sự ủng hộ nhiệt tình của các bạn  :D 

-WaduPunch-

Mong các bạn đọc rõ Nội quy của TOPIC  :excl:  :excl:  :excl: 

Các bạn không nên đưa ra đánh giá cho lời giải của người khác như kiểu:" Bài này sao lại dùng cái này"; "Sao bài kia lại dùng cái nọ"; "Có cách khác hay hơn mà";.....thay vào đó các bạn có thể đưa ra lời giải khác của bài toán đó. Mong các bạn chú ý hơn!!!

 

-WaduPunch-



#355 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Wakanda

Đã gửi 15-03-2020 - 20:41

Giả sử $c=\min\{a,b,c\}$

$VT-VP=\frac{4[(a+b-c)(a-b)^2 +c(a-c)(b-c)]}{(a+b)(b+c)(c+a)} +\frac{16abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 0$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b, c = 0$ và các hoán vị.

Lời giải khác cho bài toán: Đặt $x=\frac{2a}{b+c};y=\frac{2b}{c+a};z=\frac{2c}{a+b} \Rightarrow yz+zx+xy+xyz=4$

Cần c/m $(1+2x)(1+2y)(1+2z)\geq 25$

$\Leftrightarrow xyz+2(x+y+z)\geq 2(yz+zx+xy)$

Ta c/m k/quả mạnh hơn: $x+y+z\geq yz+zx+xy$

Từ gt suy ra: $1=\sum \frac{x}{x+2}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{\sum x^{2}+2\sum x}$

Khai triển và rút gọn ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 15-03-2020 - 21:11


#356 phan duy quang lh

phan duy quang lh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà tĩnh
  • Sở thích:toán học
    anime
    "truyện tranh" =.=

Đã gửi 16-03-2020 - 20:45

$\boxed{\text{{\color{baì 197} }}}$

cho x,y,z t/m $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

tìm max A=xy+yz+xz+$\frac{1}{2}(\sum x^{2}(y-z)^{2})$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phan duy quang lh: 17-03-2020 - 19:48

trứng gà , đập vỡ từ bên ngoài là thức ăn 

đập vỡ từ bên trong là sinh mạng 

đời người cũng vậy 

đập vỡ từ bên ngoài là áp lực 

đập vỡ từ bên trong là trưởng thành  :icon10:  :icon10:  :icon10:  :icon10:  :icon10:  :icon10:  :icon10:  :icon10:  :icon10:  :icon10:  :icon10:  ~O)  :ph34r: 

                                       TÁC giả giấu tên 


#357 tthnew

tthnew

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 279 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 17-03-2020 - 08:23

$\boxed{\text{Bài 197}}$

cho x,y,z t/m $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

tìm max A=xy+yz+xz+$\frac{1}{2}(\sum x^{2}(y-z)^{2})$

Dễ đoán được $Max_A = 1$. Ta có:

$1-A = \frac{1}{2} \sum (x^2+y^2)(x-y)^2 \geq 0$ 

Done!



#358 Sin99

Sin99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 531 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \text {Tp.HCM} $
  • Sở thích:$ \textbf{ Loyalty } $

Đã gửi 17-03-2020 - 11:25

Mình xin đặt cột mốc bài thứ 200 !

$ \boxed{\text{Bài 198}} $ Cho $ x,y,z > 0 $ thỏa $ xy+yz+xz = 1$. Chứng minh 

$$ \frac{x}{1-x^2} + \frac{y}{1-y^2} + \frac{z}{1-z^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2} $$

$ \boxed{\text{Bài 199}} $ Cho $ a >b>c>0 $. Chứng minh rằng

$$ 2a + \frac{1}{(a-b)(b-c)(b+c)} > 4 $$

$ \boxed{\text{Bài 200}} $ Cho $ a,b,c > 0 $ thỏa $ a^3+ b^3+c^3 = 3$. Chứng minh rằng

$$ \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ac} \geq abc(a+b+c) $$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 18-03-2020 - 08:03

๐·°(৹˃̵﹏˂̵৹)°·๐


#359 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 556 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 17-03-2020 - 12:50

 

$ \boxed{\text{Bài 198}} $ Cho $ x,y,z > 0 $ thỏa $ xy+yz+xz = 1$. Chứng minh 

$$ \frac{x}{1-x^2} + \frac{y}{1-y^2} + \frac{z}{1-z^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2} $$

 

Xin phép làm ngay bài 198 bằng phương pháp em thích nhất: UCT:

Từ giả thiết,ta có: $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 1$ [1]

Sử dụng UCT, ta đưa về chứng minh:$\frac{x}{1-x^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}x^{2}<=>2+3\sqrt{3}x^{2}\geq 3\sqrt{3}x$[luôn đúng theo AM-GM]

Tương tự, ta nhận được 2 BĐT với y,z 

Cộng vế với vế các BĐT vừa nhân được rồi sử dụng [1] ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 18-03-2020 - 08:03


#360 tthnew

tthnew

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 279 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 17-03-2020 - 13:41

$ \boxed{\text{Bài 199}} $ Cho $ a >b>c>0 $. Chứng minh rằng

$$ 2a + \frac{1}{(a-b)(b-c)(b+c)} > 4 $$

Nếu $b\le 2^\frac{3}{4} +\sqrt[4]{2}$ :

Ta chứng minh BĐT mạnh hơn: $2a+\frac{1}{(a-b)(b-c)(b+c)}\geq 4\sqrt[4]{2}$ (*)

Hay là:

${\frac {{c}^{2}}{ \left( a-b \right) \left( b-c \right) \left( b+c \right) {b}^{2}}} +\frac{\frac{1}{8}\,{b}^{2} \left( 4\,a-2\,b-4\,\sqrt [4]{2} \right) ^{2}+\frac{1}{2}\, \left( {2}^{3/4}+\sqrt [4]{2}-b \right) \left( {2}^{3/4}-\sqrt [4]{2}+b \right) \left( -b+\sqrt [4]{2} \right) ^{2}}{ \left( a-b \right) {b}^{2}} \geq 0$

BĐT đúng hiển nhiên.

Nếu $b> 2^\frac{3}{4} +\sqrt[4]{2}$, lúc này:

$2a+\frac{1}{(a-b)(b-c)(b+c)} \geq 2a +\frac{27}{(a-b+b-c+b+c)^3}$

$>\frac{2}{3}a+\frac{2}{3}a+\frac{2}{3}a+\frac{27}{8a^3} \geq 4$ (Theo AM-GM)

Cay bài này quá  :icon6:  :closedeyes:

Sửa đổi:

$2a+\frac{1}{(a-b)(b-c)(b+c)} \geq 2a +\frac{27}{(a-b+b-c+b+c)^3}$

$>\frac{2}{3}a+\frac{2}{3}a+\frac{2}{3}a+\frac{27}{8a^3} \geq 4$ (Theo AM-GM)

Lúc nãy nhìn không kỹ nên em chia $2$ trường hợp một cách dư thừa. Nhưng dù sao em xin đề xuất BĐT (*) làm Bài 201: (em chỉ mới giải được $1$ trường hợp như trên thôi, mong mọi người tìm lời giải cho trường hợp còn lại!)

Cho $a > b > c \geq 0$. Chứng minh rằng: $2a+\frac{1}{(a-b)(b-c)(b+c)}\geq 4\sqrt[4]{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 18-03-2020 - 08:03





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh