Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN VÀ HSG TỈNH}}$ NĂM HỌC 2019-2020


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 681 trả lời

#481 Daniel18

Daniel18

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết

Đã gửi 06-04-2020 - 12:29

Topic vắng lặng quá, em góp bài dễ vô:
$\boxed{\text{Bài 248}}$ Cho $a,b,c \geqq 0$. Chứng minh: $a^3 +b^3 +c^3 -3abc \geqq 2(b/2 +c/2 -a)^3$


$LHS-RHS=6a(c-a)^2+6a(a-b)^2+(b-c)^2(3b+3c) \geq 0 $
$ \text{dấu = khi a=b=c hoặc b=c và a=0} $
Không biết đúng không

#482 AutoWin

AutoWin

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Đã gửi 06-04-2020 - 14:45


$LHS-RHS=6a(c-a)^2+6a(a-b)^2+(b-c)^2(3b+3c) \geq 0 $
$ \text{dấu = khi a=b=c hoặc b=c và a=0} $
Không biết đúng không

Mình nghĩ bài này xét TH cũng dc 



#483 WaduPunch

WaduPunch

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47-THPT chuyên PBC

Đã gửi 08-04-2020 - 18:33

Anh xin góp cho TOPIC vài bài 

$\boxed{\text{Bài 250}}$ Cho $a,b,c,x,y,z>0$ thỏa mãn $(a+b+c)(x+y+z)=(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=4$. Chứng minh:

$$abcxyz<\frac{1}{36}$$

$\boxed{\text{Bài 251}}$ Cho $a, b, c>0$ thỏa mãn $abc=1$ Chứng minh rằng:

$$a+b+c\geq \frac{1+a}{1+b}+\frac{1+b}{1+c}+\frac{1+c}{1+a}$$

$\boxed{\text{Bài 252}}$ Cho $a, b$ là hai số không âm thỏa mãn $a^3+b^3=2$. Chứng minh:

$$3(a^4+b^4)+2a^4b^4\leq 8$$

$\boxed{\text{Bài 253}}$ Cho các số thực dương $a, b, c$. Chứng minh:

$$\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{8}{{{c^2}}} \ge \frac{{64}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}$$

$\boxed{\text{Bài 254}}$ Cho $\left\{\begin{matrix} x, y ,z >0 & & \\ xyz=1 & & \end{matrix}\right.$. Chứng minh rằng:

$$P= \frac{\sqrt{m+x^{3}+y^{3}}}{xy}+\frac{\sqrt{m+x^{3}+y^{3}}}{yz}+\frac{\sqrt{m+z^{3}+z^{3}}}{zx}\geq 3\sqrt{3} \text{ với } m\epsilon N^{*}$$

$\boxed{\text{Bài 255}}$ Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng

$$\frac{a}{b^2(1+ac)}+\frac{b}{c^2(1+ab)}+\frac{c}{a^2(1+bc)} \geq \frac{9}{(1+abc)(ab+bc+ca)}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WaduPunch: 08-04-2020 - 18:51


#484 tthnew

tthnew

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 08-04-2020 - 19:34

$\boxed{\text{Bài 254}}$ Cho $\left\{\begin{matrix} x, y ,z >0 & & \\ xyz=1 & & \end{matrix}\right.$. Chứng minh rằng:

$$P= \frac{\sqrt{m+x^{3}+y^{3}}}{xy}+\frac{\sqrt{m+x^{3}+y^{3}}}{yz}+\frac{\sqrt{m+z^{3}+z^{3}}}{zx}\geq 3\sqrt{3} \text{ với } m\epsilon N^{*}$$

Em nghĩ chẳng qua đổi hình thức ra đề.

$$P = \sum \frac{\sqrt{m+x^3+y^3}}{xy} \geqq \sum \frac{\sqrt{xyz+xy(x+y)}}{xy}$$ Việc còn lại là AM-GM. Done.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 08-04-2020 - 19:34


#485 tthnew

tthnew

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 08-04-2020 - 19:41

$\boxed{\text{Bài 253}}$ Cho các số thực dương $a, b, c$. Chứng minh:

$$\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{8}{{{c^2}}} \ge \frac{{64}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}$$

Dễ thấy đẳng thức xảy ra khi $2a=2b=c$ nên ta tiến hành lời giải ngay lập tức.

296ec392cfebd5aad2a22ce1e9ba4c2bb1556ba9

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 08-04-2020 - 20:55


#486 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 540 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 08-04-2020 - 19:43

Nãy viết nhầm; mong các bạn thông cảm; giờ mình xin góp mấy bài để đền bù:

$\boxed{\text{Bài 256}}$: Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xyz=8$. CMR: $\sum \frac{x^{2}}{\sqrt{(x^{3}+1)(y^{3}+1)}}\geq \frac{4}{3}$

 

$\boxed{\text{Bài 257}}$: Cho 4 số $a,b,c,d\epsilon (0;\frac{1}{2}]$.CMR:$(\frac{a+b+c+d}{4-a-b-c-d})^{4}\geq \frac{abcd}{(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 08-04-2020 - 21:00


#487 Peteroldar

Peteroldar

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PUBG
  • Sở thích:PUBG, maths, and so on....

Đã gửi 08-04-2020 - 20:44

$\boxed{\text{Bài 253}}$ Cho các số thực dương $a, b, c$. Chứng minh:

$$\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{8}{{{c^2}}} \ge \frac{{64}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}$$

 

Đổi biến $(a,b,c)\rightarrow (x,y,2z)$ thì BĐT cần CM trở thành $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{z^2}\ge \frac{64}{(x+y+2z)^2}$

 

Áp dụng BĐT Holder 

$$(1+1+1+1)(x+y+z+z)(x+y+z+z)\left (\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^2}\right)\ge (1+1+1+1)^4$$

$$\implies (x+y+2z)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{z^2}\right)\ge 64\implies \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{z^2}\ge \frac{64}{(x+y+2z)^2}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Peteroldar: 08-04-2020 - 20:47


#488 Daniel18

Daniel18

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết

Đã gửi 08-04-2020 - 20:47

[quote name="WaduPunch" post="733172" timestamp="1586345590"]

Anh xin góp cho TOPIC vài bài
251}}$ Cho $a, b, c>0$ thỏa mãn $abc=1$ Chứng minh rằng:

$$a+b+c\geq \frac{1+a}{1+b}+\frac{1+b}{1+c}+\frac{1+c}{1+a}$$

Bất đẳng thức tượng đương
$$ a^2b+b^2c+c^2a \geq a+b+c $$
Đặt $ (a,b,c)—> (\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x}) $
Cần cm
$ x^3+y^3+z^3 \geq xy^2+yz^2+zx^2 $
Giả sử $ \text{x=min{x,y,z}} $
Bđt
$<=> (x-z)(x-y)(x+y)+(z-x)^2(z+x)\geq 0$
Không biết đung k??

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Daniel18: 08-04-2020 - 20:48


#489 Peteroldar

Peteroldar

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PUBG
  • Sở thích:PUBG, maths, and so on....

Đã gửi 09-04-2020 - 10:26

$\boxed{\text{Bài 246}}$ Cho $a,b,c$ là số đo ba cạnh tam giác bất kì. Chứng minh rằng

$$a^3+b^3+c^3<(a+b)(b+c)(c+a)$$

 

Cách khác:

$$(a+b)(b+c)(c+a)=\sum a^2(b+c)+2abc>\sum a^3+2abc>\sum a^3$$



#490 Minh2082005

Minh2082005

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết

Đã gửi 09-04-2020 - 12:53

Mình xin góp thêm 1 bài 

$\boxed{\text{Bài 238}}$: Cho 3 số dương a,b,c.CMR

$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{a+b+c}$

(sưu tầm)

Qua mấy ngày chưa có lời giải, sau đây là lời giải của e: 

Có :

$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}} =\sum \frac{a^{4}}{ab^{2}-abc+ac^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a-3abc} = \frac{((a+b+c)^{2}-2(ab+bc+ca))^{2}}{(a+b+c)(ab+bc+ca)-6abc}$
đặt a+b+c=p
      ab+bc+ca=q
      abc=r 
Thì BĐT cần CM tương đương với: 
$\frac{(p^{2}-2q)^{2}}{pq-6r}\geq\frac{3q}{p}$
<=>$(p^{2}-2q)^{2}p\geq 3q(pq-6r)$
<=>$p^{5}-4p^{3}q+4pq^{2}\geq 3pq^{2}-18qr$
 <=>$p^{5}+pq^{2}+18qr\geq 4p^{3}q$ (*)
Mặt khác theo BĐT Schur ta có $r\geq \frac{p(4q-p^2)}{9}$
Từ đó có $18qr\geq 8pq^{2}-2p^{3}q$
Nên theo (*) ta cần CM :
$p^{5}+9pq^{2}\geq 6p^{3}q$( Luôn đúng Theo BĐT Cô-si)
Dấu = xảy ra khi a=b=c
Vậy $\sum \frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{a+b+c}$ (đpcm)


#491 Peteroldar

Peteroldar

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PUBG
  • Sở thích:PUBG, maths, and so on....

Đã gửi 09-04-2020 - 16:39

$\boxed{\text{Bài 258}}$ Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$. CMR $$\sum_{cyc} \frac{4a-1}{(2b+1)^2}\ge 1$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Peteroldar: 09-04-2020 - 16:46


#492 leo1905

leo1905

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 35 Bài viết

Đã gửi 09-04-2020 - 21:45

Anh xin góp cho TOPIC vài bài 

$\boxed{\text{Bài 250}}$ Cho $a,b,c,x,y,z>0$ thỏa mãn $(a+b+c)(x+y+z)=(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=4$. Chứng minh:

$$abcxyz<\frac{1}{36}$$

$\boxed{\text{Bài 251}}$ Cho $a, b, c>0$ thỏa mãn $abc=1$ Chứng minh rằng:

$$a+b+c\geq \frac{1+a}{1+b}+\frac{1+b}{1+c}+\frac{1+c}{1+a}$$

$\boxed{\text{Bài 252}}$ Cho $a, b$ là hai số không âm thỏa mãn $a^3+b^3=2$. Chứng minh:

$$3(a^4+b^4)+2a^4b^4\leq 8$$

$\boxed{\text{Bài 253}}$ Cho các số thực dương $a, b, c$. Chứng minh:

$$\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{8}{{{c^2}}} \ge \frac{{64}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}$$

 

Bài 253:

Cách của bạn tthnew thì quá là perfect rồi!!! Ở đây mình xin giải = 1 cách đơn giản hơn:

Bổ đề: $\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}\geq \frac{8}{(m+n)^2}$ ta có:

$LHS=(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{(\frac{c}{2})^2})+(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{(\frac{c}{2})^2})\geq \frac{8}{(a+\frac{c}{2})^2}+\frac{8}{(b+\frac{c}{2})^2}\geq 8.\frac{8}{(a+\frac{c}{2}+b+\frac{c}{2})^2}=RHS$ (đpcm).

Một cách phân tích khác: Đặt $x=a;y=b;z=\frac{c}{2}$ 

Khi đó: $LHS-RHS=\frac{[(yz)^2+(zx)^2+2(xy)^2](x+y-2z)^2+8z^3(x-y)^2(x+y)+16xy^2z(x-z)^2+16x^2yz(y-z)^2}{x^2y^2z^2(x+y+2z)^2}\geq 0$ (Đúng)

Đẳng thức xảy ra $a=b=\frac{c}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leo1905: 10-04-2020 - 09:16


#493 Peteroldar

Peteroldar

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PUBG
  • Sở thích:PUBG, maths, and so on....

Đã gửi 09-04-2020 - 22:12

$\boxed{\text{Bài 259}}$ Cho $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=3$. CMR

$$a^2+b^2+c^2+3abc\ge 6$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 09-05-2020 - 10:39


#494 AutoWin

AutoWin

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Đã gửi 09-04-2020 - 22:40

Anh xin góp cho TOPIC vài bài 

$\boxed{\text{Bài 250}}$ Cho $a,b,c,x,y,z>0$ thỏa mãn $(a+b+c)(x+y+z)=(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=4$. Chứng minh:

$$abcxyz<\frac{1}{36}$$

$\boxed{\text{Bài 251}}$ Cho $a, b, c>0$ thỏa mãn $abc=1$ Chứng minh rằng:

$$a+b+c\geq \frac{1+a}{1+b}+\frac{1+b}{1+c}+\frac{1+c}{1+a}$$

$\boxed{\text{Bài 252}}$ Cho $a, b$ là hai số không âm thỏa mãn $a^3+b^3=2$. Chứng minh:

$$3(a^4+b^4)+2a^4b^4\leq 8$$

$\boxed{\text{Bài 253}}$ Cho các số thực dương $a, b, c$. Chứng minh:

$$\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{8}{{{c^2}}} \ge \frac{{64}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}$$

$\boxed{\text{Bài 254}}$ Cho $\left\{\begin{matrix} x, y ,z >0 & & \\ xyz=1 & & \end{matrix}\right.$. Chứng minh rằng:

$$P= \frac{\sqrt{m+x^{3}+y^{3}}}{xy}+\frac{\sqrt{m+x^{3}+y^{3}}}{yz}+\frac{\sqrt{m+z^{3}+z^{3}}}{zx}\geq 3\sqrt{3} \text{ với } m\epsilon N^{*}$$

$\boxed{\text{Bài 255}}$ Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng

$$\frac{a}{b^2(1+ac)}+\frac{b}{c^2(1+ab)}+\frac{c}{a^2(1+bc)} \geq \frac{9}{(1+abc)(ab+bc+ca)}$$

Em xin phép được giải bài 255

Theo Holder thì

$LHS =\sum \frac{a}{b^2(1+ac)}(ab+bc+ca)(\sum ab(1+ca) \geq (a+b+c)^3 =27$

Đi CM

$\frac{27}{(ab+bc+ca)(3abc+ab+bc+ca)} \geq \frac{9}{(ab+bc+ca)(1+abc)}$

hay $3+3abc \geq 3abc+ab+bc+ca$

hay $ab+bc+ca \leq 3 (Đúng)$



#495 Lovesha

Lovesha

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

Đã gửi 09-04-2020 - 23:03

$\boxed{\text{Bài 259}}$ Cho $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=3$. CMR $a^2+b^2+c^2+3abc\ge 6$

Em nghĩ là $a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge 6$ chứ anh

Như vậy mới dùng Shur được

Còn nếu tách ra để đưa về như của em thì lại ngược dấu

Đó là ý kiến của em nha  :lol:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lovesha: 09-04-2020 - 23:09


#496 NewMrDat

NewMrDat

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 48 Bài viết

Đã gửi 10-04-2020 - 05:58

Bài 253:
Cách của bạn tthnew thì quá là perfect rồi!!! Ở đây mình xin giải = 1 cách đơn giản hơn:
Bổ đề: $\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}\geq \frac{8}{(m+n)^2}$ ta có:
$LHS=(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{(\frac{c}{2})^2})+(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{(\frac{c}{2})^2})\geq \frac{8}{(a+\frac{c}{2})^2}+\frac{8}{(b+\frac{c}{2})^2}\geq 8.\frac{8}{(a+\frac{c}{2}+a+\frac{c}{2})^2}=RHS$ (đpcm).
Một cách phân tích khác: Đặt $x=a;y=b;z=2c$
Khi đó: $LHS-RHS=\frac{[(yz)^2+(zx)^2+2(xy)^2](x+y-2z)^2+8z^3(x-y)^2(x+y)+16xy^2z(x-z)^2+16x^2yz(y-z)^2}{x^2y^2z^2(x+y+2z)^2}\geq 0$ (Đúng)
Đẳng thức xảy ra $a=b=\frac{c}{2}$

Bạn ơi khi x=z là a=2c đó bạn mong bạn xem lại cách đặt

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NewMrDat: 10-04-2020 - 05:59


#497 Peteroldar

Peteroldar

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PUBG
  • Sở thích:PUBG, maths, and so on....

Đã gửi 10-04-2020 - 08:22

Em nghĩ là $a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge 6$ chứ anh

Như vậy mới dùng Shur được

Còn nếu tách ra để đưa về như của em thì lại ngược dấu

Đó là ý kiến của em nha  :lol:

 

Bạn tham khảo ở đây nha 

Lúc đầu mình cũng làm như bạn :) và cũng bị ngược dấu :(



#498 leo1905

leo1905

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 35 Bài viết

Đã gửi 10-04-2020 - 08:37

Bạn ơi khi x=z là a=2c đó bạn mong bạn xem lại cách đặt

Thanks nha!! Mình sửa rồi đó!!



#499 WaduPunch

WaduPunch

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47-THPT chuyên PBC

Đã gửi 10-04-2020 - 22:48

Anh xin góp vui 1 bài

$\boxed{\text{Bài 260}}$ Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$$P=\frac{a+b+1}{a^2+b^2+1}+\frac{b+c+1}{b^2+c^2+1}+\frac{c+a+1}{c^2+a^2+1}$$



#500 tthnew

tthnew

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 11-04-2020 - 15:25

Sao topic bỗng nhiên vắng lặng hơn lúc đầu thế$?$

$\boxed{\text{Bài 261}}$. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng: 

1c6689a3c61bc05ed267fa39bf8eeec326afcaa3

Đưa căn thức vào cho đẹp thôi chứ nhẹ không ấy mà  :D Lần tới em sẽ ra đề với căn lồng căn :icon6:






1 người đang xem chủ đề

1 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh