Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN VÀ HSG TỈNH}}$ NĂM HỌC 2019-2020


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 680 trả lời

#641 Daniel18

Daniel18

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết

Đã gửi 21-05-2020 - 21:05

Bài 311: cho x,y,z >0 thõa $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$.Chứng minh rằng:
$\frac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}+\frac{y^2+zx}{\sqrt{2y^2(z+x)}}+\frac{z^2+xy}{\sqrt{2z^2(x+y)}}\geq 1$

Chỉ cần AM-GM ta có
$ \sum \frac{x^2}{\sqrt{2x^2(y+z)}} \geqq \frac{(x+y+z)^2}{\sum \sqrt{2x(xy+xz)}} $
Kết hợp$ \sum \sqrt{2x(xy+xz)} \leqq \sqrt{4(x+y+z)(xy+yz+zx)} $ và $3(xy+yz+zx)\leqq (x+y+z)^2 $
Lại có$ \sum \frac{y^2z^2}{xyz\sqrt{2(z+y}} \geqq \frac{(xy+yz+zx)^2}{xyz\sum \sqrt {2(x+y)}} $
Áp dụng $(xy+yz+zx)^2\geqq 3xyz(x+y+z) $ và $\sum \sqrt {2(x+y)} \leqq \sqrt {4(x+y+z)} $
Từ đó đã đưa biểu thức về $k=\sqrt{x+y+z}\geqq \frac{1}{\sqrt{3} } $ từ đó có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Daniel18: 21-05-2020 - 21:06


#642 mailinh2k4

mailinh2k4

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 34 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:nghe nhạc, xem phim , đi du lịch...

Đã gửi 21-05-2020 - 21:15

cho a ,b , c dương tm abc = 1

chứng minh 

 99136416_240677277385830_513515033174684



#643 Syndycate

Syndycate

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 232 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ʟucκʏ ʟᴀɴᴅ
  • Sở thích:ɴᴏᴛʜɪɴɢ

Đã gửi 21-05-2020 - 22:08

cho a ,b , c dương tm abc = 1

chứng minh 

 99136416_240677277385830_513515033174684

$\boxed{312}$

Đặt $\frac{x}{y}=a, \frac{y}{z}=b,\frac{z}{x}=c$

Điều kiện : $x,y,z>0$

$\rightarrow A= \sum \frac{\frac{x}{y}}{(\frac{x}{y}.\frac{y}{z}+\frac{x}{y}+1)^2}=\frac{\sum x^2yz}{(xy+yz+zx)^2}\geq \frac{1}{\sum \frac{x}{y}}$

Chứng minh bất đẳng thức cuối này thì đơn giản rồi:

$\rightarrow xyz(\sum x)(\sum \frac{x}{y})\geq (\sum xy)^2\rightarrow (\sum xy^2)(\sum x)\geq (\sum xy)^2\rightarrow \sum xy^3 \geq \sum xy^2z$

$\rightarrow \sum \frac{y^2}{z}\geq \sum y$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Syndycate: 21-05-2020 - 22:09

" Khi ta đã quyết định con đường cho mình, kẻ được nói ta ngu ngốc chỉ có bản thân ta mà thôi. " - Roronoa Zoro.

 


#644 Syndycate

Syndycate

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 232 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ʟucκʏ ʟᴀɴᴅ
  • Sở thích:ɴᴏᴛʜɪɴɢ

Đã gửi 21-05-2020 - 22:40

$\boxed{313}$ : Cho $a,b,c>0:a+b+c=3$. Tìm Min ?

$D=\sum \frac{bc(b+c)}{a^2+bc}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Syndycate: Hôm qua, 17:57

" Khi ta đã quyết định con đường cho mình, kẻ được nói ta ngu ngốc chỉ có bản thân ta mà thôi. " - Roronoa Zoro.

 


#645 Daniel18

Daniel18

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết

Đã gửi 22-05-2020 - 06:16

$\boxed{313}$ : Cho $a,b,c>0:a+b+c=3$. Tìm Min ?
$D=\sum \frac{bc(b+c)}{a^2+bc}$

Cần cm
$$ \sum \frac{a^2(b+c)}{a^2+bc} \leq a+b+c (*)$$

$$(a^2+bc)(b+c)=b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)$$

$$ => LHS=\sum \frac{(ab+ac)^2}{b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)} \leq \sum( \frac{ba^2}{a^2+c^2} +\frac{ca^2}{a^2+b^2} )=a+b+c $$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Daniel18: 22-05-2020 - 12:14


#646 Daniel18

Daniel18

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết

Đã gửi 22-05-2020 - 06:18

$\boxed{313}$ : Cho $a,b,c>0:a+b+c=3$. Tìm Min ?
$D=\sum \frac{bc(b+c)}{a^2+bc}$

Cách khác CM $(*)$
$ RHS-LHS=\frac{(a-b)^2(2abc+c(a^2+b^2)-c^2a-c^2b)}{(a^2+bc)(b^2+ca)} +\frac{c(c-a)(c-b)}{c^2+ab} \geqq 0 $
Với $c=min${$a,b,c$}

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Daniel18: 22-05-2020 - 12:21


#647 Ngoc Tho 2005

Ngoc Tho 2005

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 58 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Tâm lí học

Đã gửi 22-05-2020 - 20:29

Bài 314: cho a, b, c>0,abc=1:CMRIMG_20200522_202320.jpg

Cái giá của việc giữ kỷ luật luôn luôn thấp hơn nỗi đau của niềm hối tiếc  :B)  :B)  :B)

                                                             


#648 mailinh2k4

mailinh2k4

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 34 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:nghe nhạc, xem phim , đi du lịch...

Đã gửi 22-05-2020 - 20:35

Bài 314: cho a, b, c>0,abc=1:CMRattachicon.gifIMG_20200522_202320.jpg

lời giải của mik, ko biết có sai sót ở đâu không, mn xem xét

100093132_693122701473289_77682412487285



#649 quocthai0974767675

quocthai0974767675

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Vĩnh Yên ,Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Hình học,Bất đẳng thức và Tuyển thẳng

Đã gửi 22-05-2020 - 21:42

Bài 312 có đề gốc như sau:
CÂU 315:Cho các số thực dương a,b,c sao cho a+b+c=abc.CMR
$\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}<=\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quocthai0974767675: 22-05-2020 - 21:44

"Đừng tìm kiếm lỗi sai, hãy tìm kiếm giải pháp''


#650 Ngoc Tho 2005

Ngoc Tho 2005

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 58 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Tâm lí học

Đã gửi 22-05-2020 - 21:51

lời giải của mik, ko biết có sai sót ở đâu không, mn xem xét
100093132_693122701473289_77682412487285

Cách khác của mk nè LinhIMG_20200522_214457.jpg

Cái giá của việc giữ kỷ luật luôn luôn thấp hơn nỗi đau của niềm hối tiếc  :B)  :B)  :B)

                                                             


#651 Syndycate

Syndycate

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 232 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ʟucκʏ ʟᴀɴᴅ
  • Sở thích:ɴᴏᴛʜɪɴɢ

Đã gửi 22-05-2020 - 22:46

$\boxed{316}$ Cho $a+b+c=1$. Chứng minh rằng : 

$\frac{1}{ab+2c^{2}+2c}+\frac{1}{bc+2a^{2}+2a}+\frac{1}{ca+2b^{2}+2b}\geq \frac{1}{\sum ab}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Syndycate: Hôm qua, 17:57

" Khi ta đã quyết định con đường cho mình, kẻ được nói ta ngu ngốc chỉ có bản thân ta mà thôi. " - Roronoa Zoro.

 


#652 Daniel18

Daniel18

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết

Đã gửi 22-05-2020 - 23:12

$\boxed{316}$ Cho $a+b+c=1$. Chứng minh rằng :
$\frac{1}{ab+2c^{2}+2c}+\frac{1}{bc+2a^{2}+2a}+\frac{1}{ca+2b^{2}+2b}\geq \frac{1}{\sum ab}$

$ LHS-RHS=\sum \frac{(a-b)^2(c^2+4ab+2ca+2cb)}{3(ab+bc+ca)(ac+2b^2+2b)(bc+2a^2+2a)} \geqq 0 $

#653 Daniel18

Daniel18

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết

Đã gửi 22-05-2020 - 23:26

$\boxed{316}$ Cho $a+b+c=1$. Chứng minh rằng :
$\frac{1}{ab+2c^{2}+2c}+\frac{1}{bc+2a^{2}+2a}+\frac{1}{ca+2b^{2}+2b}\geq \frac{1}{\sum ab}$

Cách khác
Cần cm $\sum \frac{4c^2-ab}{4c^2+2ca+2cb+ab} \leqq 1 $
Lại có
$ 4c^2+2ca+2cb+ab=(ab+2c^2)+(ca+cb+c^2)+(ca+cb+c^2) $
Nên áp dụng AM-GM
Thì $ \frac{4c^2}{4c^2+2cb+2ca+ab} \leqq (4/9).(\frac{c^2}{2c^2+ab}+\frac{2c}{a+b+c} ) $
Tương tự và kết hợp với bài toán quen thuộc
$ \sum \frac{x^2}{2x^2+yz} \leqq 1 $ (Cm bằng đặt $(x,y,z)—>(1/a,1/b,1/c) $
Cái còn lại thì áp dụng luôn Am-Gm có đpcm

#654 Syndycate

Syndycate

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 232 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ʟucκʏ ʟᴀɴᴅ
  • Sở thích:ɴᴏᴛʜɪɴɢ

Đã gửi 22-05-2020 - 23:46

$\boxed{316}$

$\frac{1}{ab+2c^{2}+2c}+\frac{1}{bc+2a^{2}+2a}+\frac{1}{ca+2b^{2}+2b}\geq \frac{1}{\sum ab}$

Hướng của mình :

$ab+2c^2+2c=ab+2c^2+2c(a+b+c)=ab+4c^2+2ca+2bc=2c(2c+a)+b(a+2c)=(2c+b)(2c+a)\rightarrow L.H.S=\sum \frac{1}{(2c+b)(2c+a)}=\sum \frac{ab}{(2ca+ab)(2bc+ab)}\geq \sum \frac{ab}{\frac{(2\sum ab)^2}{4}}=\frac{4(\sum ab)}{4(ab)^2}=\frac{1}{\sum ab}$

Dấu bàng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Syndycate: 22-05-2020 - 23:59

" Khi ta đã quyết định con đường cho mình, kẻ được nói ta ngu ngốc chỉ có bản thân ta mà thôi. " - Roronoa Zoro.

 


#655 tthnew

tthnew

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 23-05-2020 - 07:35

$\boxed{316}$ Cho $a+b+c=1$. Chứng minh rằng : 

$\frac{1}{ab+2c^{2}+2c}+\frac{1}{bc+2a^{2}+2a}+\frac{1}{ca+2b^{2}+2b}\geq \frac{1}{\sum ab}$

Vừa nhận ra bài này khá là yếu$:$

$$\text{VT}-\text{VP}=\frac{3\Big[\sum\limits_{cyc} (ab+bc-2ca)^2 + (ab+bc+ca) \sum\limits_{cyc} (a-b)^2 \Big]}{2 \prod (ab+2c^2 +2c)}+\frac{\prod (a-b)^2}{(ab+bc+ca) \prod (ab+2c^2 +2c)} \geqq 0$$



#656 tthnew

tthnew

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 24-05-2020 - 08:00

$\boxed{\text{Bài 317}}$ Cho $a,b,c$ là các số thực$.$ Chứng minh rằng$:$

\[(a^2-a+1)(b^2-b+1)(c^2-c+1) \geqq a + b + c-2.\]

Spoiler

PS: Bên MathLinks canh dòng đẹp lắm mà sao qua bên đây gõ Latex y hệt nhưng xấu :(



#657 Minh2082005

Minh2082005

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết

Đã gửi 25-05-2020 - 11:10

$\boxed{318}$ (sưu tầm) cho a,b,c dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

 

 CMR $\sum \frac{a^{2}+3b^{2}}{a+3b}\geq 3$

(Bài này bị trôi nên e viết lại )



#658 tthnew

tthnew

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 25-05-2020 - 19:34

Ta sẽ chứng minh $$2P=2(x+y+z) \geqq 15 \sqrt{\frac{2xyz}{2x+4y+7z}}$$

Hay là: $$4(x+y+z)^2 (2x+4y+7z) \geqq 15^2 \cdot 2xyz$$

Ta có: $$\text{VT-VP}=\frac{5}{2} \,z \left( 5\,x-6\,y \right) ^{2}+\frac{1}{8} \, \left( 20\,x+8\,y+5\,z \right)  \left( 4\,y-5\,z \right) ^{2}+\frac{1}{8}\, \left( 16\,x+64\,y+11\,z \right)  \left( -3\,z+2\,x \right) ^{2}\geqq 0$$

Từ đó $$P \geqq \frac{15}{2}$$

Đẳng thức xảy ra khi $\frac{x}{3} =\frac{2y}{5} =\frac{z}{2}$ và $2x+4y+7z=2xyz$

Giải ra ta được $x=3,\,y=\frac{5}{2},\,z=2$

Tổng quát$,$ ta còn tìm được$:$ $$\text{VT}-\text{VP}=\Big[ m_{{2}}y+ \left( \frac{5}{2}-\frac{5}{4}\,m_{{2}} \right) z \Big]  \left( 5 \,x-6\,y \right) ^{2}+ \Big[  \left( \frac{5}{2}+{\frac {15\,m_{{2}}}{4}} \right) x+ \left( -\frac{9}{4} \,m_{{2}}+1 \right) y+ \left( \frac{5}{8}-{\frac {45\,m _{{2}}}{16}} \right) z \Big]  \left( 4\,y-5\,z \right) ^{2}+ \Big[ 2\,x+ \left( 8-{\frac {25\,m_{{2}}}{4}} \right) y+ \left( {\frac{11}{8 }}+{\frac {125\,m_{{2}}}{16}} \right) z \Big] \left( 3\,z-2\,x \right) ^{2}$$

Chọn $m_2$ bất kì thỏa mãn $0 \leqq m_2 \leqq \frac{2}{9}$ thì ta được điều hiển nhiên$.$ ;)



#659 hienprogamin

hienprogamin

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 26 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Bất Đẳng Thức và Hình Học

Đã gửi 25-05-2020 - 22:59

cho a,b,c là các số thực dương thõa mãn điều kiện $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq a^2b^2c^2$
Tìm MIN của P=$\frac{a^2b^2}{c^3(a^2+b^2)}+\frac{b^2c^2}{a^3(b^2+c^2)}+\frac{c^2a^2}{b^3(c^2+a^2)}$ 
(Các bạn đừng làm tắt bước nhé  :D )



#660 KidChamHoc

KidChamHoc

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-05-2020 - 11:12

Cho a b c dương và thoả :a +b + c =1

$\dfrac{ \sqrt{3a} + 2\sqrt{bc} }{1 + \sqrt{bc} + 3\sqrt{a+bc} }$ + $\dfrac{ \sqrt{3b} + 2\sqrt{ac} }{1 + \sqrt{ac} + 3\sqrt{b+ac} }$ +$\dfrac{\sqrt{3c} + 2\sqrt{ab} }{1 + \sqrt{ab} + 3\sqrt{c+ab} }$




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh