Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN VÀ HSG TỈNH}}$ NĂM HỌC 2019-2020


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 858 trả lời

#821 Minh2082005

Minh2082005

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 18 Bài viết

Đã gửi 03-07-2020 - 00:10

Em góp thêm 1 bài nữa. Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z=xyz và x,y,z>1.Tìm GTNN của

P=$\sum \frac{x-1}{y^{2}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minh2082005: 03-07-2020 - 00:10


#822 normalguy

normalguy

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HÀ NỘI
  • Sở thích:THÍCH LÀM BẤT ĐẲNG THỨC

Đã gửi 03-07-2020 - 18:11

 BÀI HAY VÀ KHÓ

 

cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=\frac{1}{3}$

Chứng minh rằng $\frac{a}{2(a^2-bc)+1}+\frac{b}{2(b^2-ca)+1}+\frac{c}{2(c^2-ab)+1}\leq \frac{1}{a+b+c}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi normalguy: 03-07-2020 - 18:13

:ukliam2:  :ukliam2: Trong tâm hồn cao thượng tất cả đều cao thượng. ( Pascal ) :ukliam2:  :ukliam2: 

 

#823 Daniel18

Daniel18

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Đã gửi 03-07-2020 - 22:12

BÀI HAY VÀ KHÓ

cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=\frac{1}{3}$
Chứng minh rằng $\frac{a}{2(a^2-bc)+1}+\frac{b}{2(b^2-ca)+1}+\frac{c}{2(c^2-ab)+1}\leq \frac{1}{a+b+c}$

Bđt $<=> \sum \frac{2a^2+2ab+2ac}{2a^2+bc+3ac+3ab}\leqq 2$ hay$\sum \frac{ab+bc+ac}{2a^2+bc+3ca+3ab}\geqq 1$
Đặt $(ab,bc,ca)—>(x,y,z)$
Khi ấy $LHS=\sum \frac{x(x+y+z)}{x^2+2yz+3zx+3xy}\geqq \frac{(x+y+z)^3}{x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+x)(z+x)}=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Daniel18: 04-07-2020 - 05:49


#824 Daniel18

Daniel18

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Đã gửi 03-07-2020 - 22:19

BÀI HAY VÀ KHÓ

cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=\frac{1}{3}$
Chứng minh rằng $\frac{a}{2(a^2-bc)+1}+\frac{b}{2(b^2-ca)+1}+\frac{c}{2(c^2-ab)+1}\leq \frac{1}{a+b+c}$

Hoặc đặt $(ab,bc,ac)—>(x,y,z)$
Khi ấy
$3(LHS-RHS)(ab+bc+ca)=\frac{(x-y)^2(2xy+yz+zx-z^2)}{y^2+2xz+3xy+3zy)(x^2+2yz+3zx+3xy)}+\frac{(z-y)^2(2yz+zx)}{y^2+2xz+3xy+3zy)(z^2+2yx+3zx+3zy)}+\frac{(x-z)^2(yz+2zx)}{z^2+2xy+3xz+3zy)(x^2+2yz+3zx+3xy)}+\frac{(x-y)^2(z(2xy-zx-yz)(x+y+z)+2(xy+yz+zx)(xy-z^2)}{y^2+2xz+3xy+3zy)(x^2+2yz+3zx+3xy)(z^2+2xy+3zx+2zy)}\geqq 0$
Với $z=min${$x,y,z$}

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Daniel18: 04-07-2020 - 05:50


#825 minhchuxuan

minhchuxuan

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-07-2020 - 22:20

 BÀI HAY VÀ KHÓ

 

cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=\frac{1}{3}$

Chứng minh rằng $\frac{a}{2(a^2-bc)+1}+\frac{b}{2(b^2-ca)+1}+\frac{c}{2(c^2-ab)+1}\leq \frac{1}{a+b+c}$

 

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
$\sum \frac{a(a+b+c)}{2a^2-2bc+1}\le 1 \\ \Leftrightarrow \sum \frac{2a^2+2ab+2ac}{2a^2-2bc+1}\le 2 \\ \Leftrightarrow \sum \frac{2a^2-2bc+1+2\sum ab-1}{2a^2-2bc+1}\le 2 \\ \Leftrightarrow 3-\sum \frac{1}{3(2a^2-2bc+1)}\le 2 \\ \Leftrightarrow \sum \frac{1}{2a^2-2bc+1}\ge 3 (1)$

Ta nhận thấy:
$\sum \frac{1}{2a^2-2bc+1}=\sum (1-\frac{2a^2-2bc}{2a^2-2bc+1})=3-2\sum \frac{a^2-bc}{2a^2-2bc+1}$

nên $(1) \Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{2a^2-2bc+1}\le \sum \frac{bc}{2a^2-2bc+1}$

Ta có:
$VT=\sum \frac{bc}{2a^2-2bc+1}=\sum \frac{(bc)^2}{2a^2bc-2(bc)^2+bc} \ge \frac{(\sum ab)^2}{2abc\sum a-2\sum(ab)^2+\sum ab}\ge \frac{(\sum ab)^2}{6abc\sum a-2(\sum ab)^2+\sum ab} \ge \frac{(\sum ab)^2}{6\frac{(\sum ab)^2}{3}-2(\sum ab)^2+\sum ab}\ge \frac{1}{3}$
ta sẽ cm $VP \le \frac{1}{3}$
$VP= \sum \frac{a^2}{2a^2-2bc+1}=\sum \frac{a^2}{2a^2-2bc+3\sum ab}=\sum \frac{a^2}{2a^2+3ac+3ab+bc}= \sum \frac{1}{2+3\frac{c}{a}+3\frac{b}{a}+\frac{bc}{a^2}}$

Đổi biến

$(\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a})\rightarrow (x,y,z) => xyz=1$

$\sum \frac{1}{2+3z+3\frac{1}{x}+\frac{z}{x}}=\sum \frac{x}{2x+3xz+3+z} (2)$

Ta tách $2x+3xz+3+z=(x+xz+1)+(x+xz+1)+(z+xz+1)$
$\rightarrow VP \le \sum \frac{x}{9} (\frac{2}{x+xz+1}+\frac{1}{z+xz+1})(3)$
Bổ đề $\sum \frac{1}{xy+x+1}=1$ với xyz=1
nên $(3)\le \frac{1}{3} \Rightarrow VT\ge VP$ (đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhchuxuan: 03-07-2020 - 23:44


#826 minhchuxuan

minhchuxuan

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-07-2020 - 22:30


$\frac{a}{2(a^2-bc)+1}=\frac{a}{2a^2+3ac+3ab+cb}=\frac{a}{2a(a+b+c)+ab+bc+ca}\leqq (1/9)[\frac{2}{a+b+c}+\frac{a}{ab+bc+ca}] $
Tương tự kết hợp $(a+b+c)^2\geqq 3(ab+bc+ca)$

Chỗ bôi đỏ bị ngược :'(



#827 leo1905

leo1905

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 37 Bài viết

Đã gửi 07-07-2020 - 22:56

Góp 1 bài khá ok: Cho $x,y,z>1$ thỏa mãn $x+y+z=xyz$ 

Tìm GTNN $P=\frac{x-2}{y^2}+\frac{y-2}{z^2}+\frac{z-2}{x^2}$



#828 Syndycate

Syndycate

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 391 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textbf{C.Toán-CNT}}$
  • Sở thích:$Manchester-United$

Đã gửi 08-07-2020 - 02:30

Góp 1 bài khá ok: Cho $x,y,z>1$ thỏa mãn $x+y+z=xyz$ 

Tìm GTNN $P=\frac{x-2}{y^2}+\frac{y-2}{z^2}+\frac{z-2}{x^2}$

$\sum \frac{x-1+y-1}{y^2}-\sum \frac{1}{y}=\sum (\frac{x-1}{y^2}+\frac{y-1}{y^2})-\sum \frac{1}{y}=\sum (\frac{x-1}{y^2}+\frac{x-1}{x^2})-\sum \frac{1}{y}\geq \sum \frac{2(x-1)}{xy}-\sum \frac{1}{y}=\sum \frac{1}{x}-\sum \frac{2}{xy}\geq \sqrt{3.\sum \frac{1}{xy}}-\frac{2(\sum x)}{xyz}=\sqrt{3.\frac{\sum x}{xyz}}-\frac{2(\sum x)}{xyz}=\sqrt{3}-2$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{3}$


"Nếu bạn lên kế hoạch xây dựng một ngôi nhà phẩm hạnh thật cao, trước tiên bạn phải đặt nền móng sâu bằng sự khiêm nhường." 

(Augustine)


#829 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 08-07-2020 - 09:48

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=\frac{1}{3}$

Chứng minh rằng $\frac{a}{2(a^2-bc)+1}+\frac{b}{2(b^2-ca)+1}+\frac{c}{2(c^2-ab)+1}\leq \frac{1}{a+b+c}$

 

Ta có$:$ $$\text{VP - VT} =\frac{9}{2(a+b+c)} \sum \,{\frac {{a}^{2} \left( b-c \right) ^{2}}{ \left( 6\,ab+6\,{b}^{2}+6 \,bc+1 \right)  \left( 6\,ca+6\,bc+6\,{c}^{2}+1 \right) }} \geqslant 0$$

PS$:$ Dạo này không ai đánh số thứ tự bài nhỉ$?$ Đánh $\textrm{LaTex}$ cũng không đẹp như lúc trước$..$



#830 Sakaido

Sakaido

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-07-2020 - 10:10

 ta có $a+b+c\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

lại có ${\color{red}\frac{1}{2}\left ( a^3 +b^3+1+1+1+1 \right )\geq 3\sqrt{ab}}$

$\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq 3(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} ) -6\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} + 6\sqrt[6]{a^{4}b^{4}c^{4}}-6=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \Rightarrow a^3+b^3+c^3+a+b+c\geq 2 (\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$

bất đẳng thức này có tên không senpoi  :ukliam2:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sakaido: 08-07-2020 - 10:21


#831 ngo089120

ngo089120

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

Đã gửi 08-07-2020 - 15:40

cho các số không âm a,b,c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2$  tìm giá trị lớn nhất của

$P=\frac{a}{2+bc}+\frac{b}{2+ca}+\frac{c}{2+ab}$

 

 

cho 3 số không âm x,y,z chứng minh

$\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\geq 2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngo089120: 08-07-2020 - 15:45


#832 normalguy

normalguy

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HÀ NỘI
  • Sở thích:THÍCH LÀM BẤT ĐẲNG THỨC

Đã gửi 10-07-2020 - 19:08

cho các số không âm a,b,c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2$  tìm giá trị lớn nhất của

$P=\frac{a}{2+bc}+\frac{b}{2+ca}+\frac{c}{2+ab}$

 

 

cho 3 số không âm x,y,z chứng minh

$\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\geq 2$

$(2+ab)^2\geq (a+b+c)^2\leftrightarrow (a+b-c)^2+(ab)^2\geq 0\rightarrow 2+ab\geq a+b-c$

$P\leq \sum \frac{a}{a+b+c}=1$


:ukliam2:  :ukliam2: Trong tâm hồn cao thượng tất cả đều cao thượng. ( Pascal ) :ukliam2:  :ukliam2: 

 

#833 phan duy quang lh

phan duy quang lh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà tĩnh
  • Sở thích:toán học
    anime
    "truyện tranh" =.=

Đã gửi 10-07-2020 - 20:17

cho các số không âm a,b,c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2$  tìm giá trị lớn nhất của

$P=\frac{a}{2+bc}+\frac{b}{2+ca}+\frac{c}{2+ab}$

 

 

cho 3 số không âm x,y,z chứng minh

$\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\geq 2$

$\sum \sqrt{\frac{x}{y+z}} =\sum \frac{x}{\sqrt{x\left ( y+z \right )}} \geq \sum \frac{2x}{x+y+z}=2$

= ko xảy ra


trứng gà , đập vỡ từ bên ngoài là thức ăn 

đập vỡ từ bên trong là sinh mạng 

đời người cũng vậy 

đập vỡ từ bên ngoài là áp lực 

đập vỡ từ bên trong là trưởng thành  :icon10:  :icon10:  :icon10:  :icon10:  :icon10:  :icon10:  :icon10:  :icon10:  :icon10:  :icon10:  :icon10:  ~O)  :ph34r: 

                                cre: stolen 


#834 normalguy

normalguy

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HÀ NỘI
  • Sở thích:THÍCH LÀM BẤT ĐẲNG THỨC

Đã gửi 11-07-2020 - 20:36

Ta có$:$ $$\text{VP - VT} =\frac{9}{2(a+b+c)} \sum \,{\frac {{a}^{2} \left( b-c \right) ^{2}}{ \left( 6\,ab+6\,{b}^{2}+6 \,bc+1 \right)  \left( 6\,ca+6\,bc+6\,{c}^{2}+1 \right) }} \geqslant 0$$

PS$:$ Dạo này không ai đánh số thứ tự bài nhỉ$?$ Đánh $\textrm{LaTex}$ cũng không đẹp như lúc trước$..$

Làm thế nào để biến đổi tương đương hay như vậy ạ


:ukliam2:  :ukliam2: Trong tâm hồn cao thượng tất cả đều cao thượng. ( Pascal ) :ukliam2:  :ukliam2: 

 

#835 Luc giac than ki

Luc giac than ki

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Nam-Đà Nẵng

Đã gửi 11-07-2020 - 23:16

Bài 402: Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: $\frac{a-b}{2b^{2}+bc}+\frac{b-c}{2c^{2}+ca}+\frac{c-a}{2a^{2}+ab}\geq0.$

Bài 403: Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh rằng:

$\sum a\sqrt{b^{2}+14bc+c^{2}}+2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 6(ab+bc+ca)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Luc giac than ki: 11-07-2020 - 23:17


#836 Peteroldar

Peteroldar

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 253 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PUBG
  • Sở thích:PUBG, maths, and so on....

Đã gửi 12-07-2020 - 07:25

Bài 402: Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: $\frac{a-b}{2b^{2}+bc}+\frac{b-c}{2c^{2}+ca}+\frac{c-a}{2a^{2}+ab}\geq0.$

 

$$LHS=\frac{ac(4a+3b+8c)(a-b)^2+ab(8a+4b+3c)(b-c)^2+bc(3a+8b+4c)(c-a)^2}{2abc(2a+b)(2b+c)(2c+a)}\ge 0$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Peteroldar: 12-07-2020 - 07:26


#837 Daniel18

Daniel18

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Đã gửi 12-07-2020 - 09:44

Bài 402: Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: $\frac{a-b}{2b^{2}+bc}+\frac{b-c}{2c^{2}+ca}+\frac{c-a}{2a^{2}+ab}\geq0.$

$LHS=\frac{(c-a)^2(abc+2b(c^2+ca+a^2)+4b^2(c+a))+(a-b)(c-b)(abc+2a(b^2+ba+a^2)+4a^2(c+b))}{2abc(2a+b)(2b+c)(2c+a)}\geqq 0$
Với $b\neq mid ${$a,b,c$}

#838 Daniel18

Daniel18

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Đã gửi 12-07-2020 - 09:51

Bài 402: Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: $\frac{a-b}{2b^{2}+bc}+\frac{b-c}{2c^{2}+ca}+\frac{c-a}{2a^{2}+ab}\geq0.$
Bài 403: Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh rằng:
$\sum a\sqrt{b^{2}+14bc+c^{2}}+2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 6(ab+bc+ca)$

$LHS-RHS=\sum \frac{a(c-b)^2(\sqrt{b^2+14bc+c^2}-b-c)}{(b+c)(2b+2c+\sqrt{b^2+14bc+c^2}}+\frac{(a-b)^2(a+b-c)}{b+a}+\frac{c(b-c)^2}{b+c}+\frac{c(c-a)^2}{c+a}+\frac{(a-b)^2(c(a+b-2c)+(ab-c^2))}{(b+c)(c+a)}\geqq 0$
Với $c=min${$a,b,c$}

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Daniel18: 12-07-2020 - 09:52


#839 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 18-07-2020 - 16:18

Xin lỗi các bạn, đây là đề chính xác : 

$ \boxed{\text{Bài 108}} $ Cho $ a,b,c $ là các số thực. Chứng minh rằng 

$$ a(a+b)^3 + b(b+c)^3 + c(c+a)^3 \geq 0 $$ 

Lười đánh máy quá... :(

ZRIn7NB.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 18-07-2020 - 16:49


#840 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 03-08-2020 - 08:50

$\boxed{\text{Bài 343}}$ Với $a,b,c>0.$ $$(a+b+c)^6 \geqq 81abc(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) +108(a-b)^2 (b-c)^2 (c-a)^2$$

Spoiler

$$\text{VT}-\text{VP}=f(a,b,c)=f(a,a+s,a+t)= \left( 81\,{s}^{2}-81\,st+81\,{t}^{2} \right) {a}^{4}+27\, \left( s+t \right)  \left( 2\,{s}^{2}+st+2\,{t}^{2} \right) {a}^{3}$$

$$+ \left( 54\, {s}^{4}-27\,{s}^{3}t+324\,{s}^{2}{t}^{2}-27\,s{t}^{3}+54\,{t}^{4} \right) {a}^{2}+9\, \left( s+t \right)  \left( 2\,{s}^{4}-{s}^{3}t+12 \,{s}^{2}{t}^{2}-s{t}^{3}+2\,{t}^{4} \right) a$$

$$+ \left( {s}^{2}+14\,st+ {t}^{2} \right)  \left( {s}^{2}-4\,st+{t}^{2} \right) ^{2} \geqslant 0$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 03-08-2020 - 12:57





6 người đang xem chủ đề

1 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh