Tìm số thực $k$ bé nhất sao cho với mọi bộ ba số thực không âm $a,b,c$, ta luôn có:
$$abc+k\bigg[\big(a-b\big)^2+\big(b-c\big)^2+\big(c-a\big)^2\bigg]+2\geq a+b+c$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DBS: 05-12-2021 - 10:48
Tìm số thực $k$ bé nhất sao cho với mọi bộ ba số thực không âm $a,b,c$, ta luôn có:
$$abc+k\bigg[\big(a-b\big)^2+\big(b-c\big)^2+\big(c-a\big)^2\bigg]+2\geq a+b+c$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DBS: 05-12-2021 - 10:48
Dễ thấy $k\geq 0$ vì nếu $k<0$ thì ta chỉ cần chọn $a,b,c$ sao cho $abc+2<a+b+c$ thì ta có ngay điều vô lí.
Thay $a=0;b=c$ ta có $2kb^2+2\geq 2b,\forall b\geq 0$.
Cho $b=2$ thì $k\geq \frac{1}{4}$.
Ta sẽ chứng minh nếu $k=\frac{1}{4}$ thì bất đẳng thức đúng với mọi $a,b,c\geq 0$.
Đặt $f(a,b,c)=2abc+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+4-2(a+b+c)$.
Xét 2 trường hợp:
+) $a,b,c\geq 3$: Dễ dàng chứng minh được $abc+2\geq a+b+c$.
+) Tồn tại một số trong ba số $a,b,c$ nhỏ hơn 3: Giả sử $a\leq 3$.
Ta có $f(a,b,c)-f\left(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2}\right)=\frac{3}{2}(b-c)^2-\frac{a(b-c)^2}{2}\geq 0$.
Đặt $\frac{b+c}{2}=t$ thì ta chỉ cần chứng minh $f(a,t,t)\geq 0\Leftrightarrow t^2(2a+1)-t(a+2)+(a^2-2a+4)\geq 0$.
Xét VT là tam thức bậc hai đối với $t$. Ta có $\Delta' =-2a(a-1)^2\leq 0,\forall a\geq 0\Rightarrow t^2(2a+1)-2t(a+2)+(a^2-2a+4)\geq 0,\forall a,t\geq 0$.
Từ đó $f(a,b,c)\geq f(a,t,t)\geq 0$ nên bất đẳng thức đúng với $k=\frac{1}{4}$.
Vậy $k_{min}=\frac{1}{4}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 05-12-2021 - 16:27
Dễ thấy $k\geq 0$ vì nếu $k<0$ thì ta chỉ cần chọn $a,b,c$ sao cho $abc+2<a+b+c$ thì ta có ngay điều vô lí.
Thay $a=0;b=c$ ta có $2kb^2+2\geq 2b,\forall b\geq 0$.
Cho $b=2$ thì $k\geq \frac{1}{4}$.
Ta sẽ chứng minh nếu $k=\frac{1}{4}$ thì bất đẳng thức đúng với mọi $a,b,c\geq 0$.
Đặt $f(a,b,c)=2abc+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+4-2(a+b+c)$.
Xét 2 trường hợp:
+) $a,b,c\geq 3$: Dễ dàng chứng minh được $abc+2\geq a+b+c$.
+) Tồn tại một số trong ba số $a,b,c$ nhỏ hơn 3: Giả sử $a\leq 3$.
Ta có $f(a,b,c)-f\left(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2}\right)=\frac{3}{2}(b-c)^2-\frac{a(b-c)^2}{2}\geq 0$.
Đặt $\frac{b+c}{2}=t$ thì ta chỉ cần chứng minh $f(a,t,t)\geq 0\Leftrightarrow t^2(2a+1)-t(a+2)+(a^2-2a+4)\geq 0$.
Xét VT là tam thức bậc hai đối với $t$. Ta có $\Delta' =-2a(a-1)^2\leq 0,\forall a\geq 0\Rightarrow t^2(2a+1)-2t(a+2)+(a^2-2a+4)\geq 0,\forall a,t\geq 0$.
Từ đó $f(a,b,c)\geq f(a,t,t)\geq 0$ nên bất đẳng thức đúng với $k=\frac{1}{4}$.
Vậy $k_{min}=\frac{1}{4}$.
Nếu mình nhìn không nhầm thì hình như bạn chưa chứng minh giá trị $k=\frac{1}{4}$ đó là nhỏ nhất đúng ko?
Nếu mình nhìn không nhầm thì hình như bạn chưa chứng minh giá trị $k=\frac{1}{4}$ đó là nhỏ nhất đúng ko?
Hình như mình chứng minh $k\geq \frac{1}{4}$ rồi bạn (Thay $a=0;b=c=2$)
Có thể mở rộng ra không nhỉ?
Tìm $k,l$ nhỏ nhất để bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi $n$ số thực không âm $a_1, a_2, \ldots, a_n$:
\[\prod\limits_{i = 1}^n {{a_i}} + k\sum\limits_{1 \le i < j \le n}^{} {{{\left( {{a_i} - {a_j}} \right)}^2}} + l \ge \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} \]
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh