Chủ đề này có 3 trả lời

[Mathlegend]

Tìm các số x,y nguyên dương thỏa mãn : $3^x + 29 = 2^y$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 11-12-2021 - 16:36
Tiêu đề + LaTeX

[KietLW9]

Vì $x$ nguyên dương nên ta xét:

+) $x = 1$ thì $y = 5$

+) $x\geqslant 2\Rightarrow 3^x+29\equiv 2(\text {mod 9}) \Rightarrow 2^y\equiv 2(\text {mod 9})\Rightarrow y\equiv 1(\text {mod 6})\Rightarrow 2^y\equiv 2(\text {mod 7})\Rightarrow 3^x\equiv 1(\text {mod 7})\Rightarrow x=6m\Rightarrow 3^x=729^m\equiv 1(\text {mod 4})\Rightarrow 2^y\equiv 2(\text {mod 4})\Rightarrow y=1$

Vô lí vì $y\geqslant 5$. Vậy có 1 cặp nghiệm duy nhất là $(x,y)=(1,5)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 10-12-2021 - 21:05

[Mathlegend]

Vì $x$ nguyên dương nên ta xét:

+) $x = 1$ thì $y = 5$

+) $x\geqslant 2\Rightarrow 3^x+29\equiv 2(\text {mod 9}) \Rightarrow 2^y\equiv 2(\text {mod 9})\Rightarrow y\equiv 1(\text {mod 6})\Rightarrow 2^y\equiv 2(\text {mod 7})\Rightarrow 3^x\equiv 1(\text {mod 7})\Rightarrow x=6m\Rightarrow 3^x=729^m\equiv 1(\text {mod 4})\Rightarrow 2^y\equiv 2(\text {mod 4})\Rightarrow y=1$

Vô lí vì $y\geqslant 5$. Vậy có 1 cặp nghiệm duy nhất là $(x,y)=(1,5)$

Thanks you so much!!!

[KhoiNguyen213]

Tìm các số x,y nguyên dương thỏa mãn : 3^x + 29 = 2^y

Một cách khác của mình

Dễ thấy $x=1 \Rightarrow y=5$. Ta xét $x \geqslant 2$ và $y \geqslant 6$.

Ta có $3^x+29 \equiv 2 \pmod{9}$. Suy ra $2^y \equiv 2 \pmod{9}$ hay $2^{y-1} \equiv 1 \pmod{9}$

Mà $2^6 \equiv 1 \pmod{9}$ suy ra $y-1$ chia hết cho $6$. Đặt $y=6k+1 (k \in \mathbb{N^*})$.

Ta có  $2^y=2^{6k+1}=64^k \cdot 2 \equiv  \{2, -2\} \pmod{13}.$

Ta xét trường hợp $x=3n$,  $x=3n+1$ và $x=3n+2$

*  Với $x=3n$,  $3^x+29=3^{3n}+29=27^n+29 \equiv 4 \pmod{13}$.

*   Với $x=3n+1$,  $3^x+29=3\cdot 27^n +29 \equiv 6 \pmod{13}$.

*  Với  $x=3n+2$,  $3^x+29= 9\cdot 27^n+29 \equiv -1 \pmod{13}$.

Tất cả trường hợp đều mâu thuẫn

Vậy chỉ tồn tại duy nhất cặp số nguyên dương $x=1, y=5$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KhoiNguyen213: 11-12-2021 - 08:52