Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn x2+y2+z2=1. CMR:
$1\leq \frac{x}{1-yz}+\frac{y}{1-zx}+\frac{z}{1-xy}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn x2+y2+z2=1. CMR:
$1\leq \frac{x}{1-yz}+\frac{y}{1-zx}+\frac{z}{1-xy}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Dư Hấu
$\because \frac{x}{1-yz}+\frac{y}{1-zx}+\frac{z}{1-xy}\geqslant 1$
Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta được: $\frac{x}{1-yz}+\frac{y}{1-zx}+\frac{z}{1-xy}=\frac{x^2}{x-xyz}+\frac{y^2}{y-xyz}+\frac{z^2}{z-xyz}\geqslant \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)-3xyz}\geqslant x+y+z\geqslant \sqrt{x^2+y^2+z^2}=1$ (Vì $x,y,z$ không âm)
Đẳng thức xảy ra khi trong 3 số $x,y,z$ có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1.
$\because \frac{x}{1-yz}+\frac{y}{1-zx}+\frac{z}{1-xy}\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Ta có: $\frac{x}{1-yz}\leqslant \frac{x}{1-\frac{y^2+z^2}{2}}=\frac{2x}{1+x^2}\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{8}x^2+\frac{3\sqrt{3}}{8} \text{ (UCT)}$
Tương tự rồi cộng lại, ta được $\frac{x}{1-yz}+\frac{y}{1-zx}+\frac{z}{1-xy}\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 11-12-2021 - 20:12
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có $\sum \frac{x}{1-yz}=\sum\frac{x}{x^2+y^2+z^2-yz}\leq \sum\frac{2x}{2x^2+y^2+z^2}=\sum\frac{2x}{x^2+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}\leq \sum\frac{2x}{4\sqrt[4]{x^2.\frac{1}{27}}}=\frac{\sqrt[4]{27}}{2}\sum\sqrt{x}\leq \frac{\sqrt[4]{27}}{2}\sqrt{3(x+y+z)}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Còn $\sum\frac{x}{1-yz}\geq x+y+z\geq \sqrt{x^2+y^2+z^2}=1$.
P/s: Cách ông Kiệt đoạn Min nhân thêm $x,y,z$ vô mẫu nên hình như phải xét riêng trường hợp.
Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có $\sum \frac{x}{1-yz}=\sum\frac{x}{x^2+y^2+z^2-yz}\leq \sum\frac{2x}{2x^2+y^2+z^2}=\sum\frac{2x}{x^2+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}\leq \sum\frac{2x}{4\sqrt[4]{x^2.\frac{1}{27}}}=\frac{\sqrt[4]{27}}{2}\sum\sqrt{x}\leq \frac{\sqrt[4]{27}}{2}\sqrt{3(x+y+z)}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Còn $\sum\frac{x}{1-yz}\geq x+y+z\geq \sqrt{x^2+y^2+z^2}=1$.
P/s: Cách ông Kiệt đoạn Min nhân thêm $x,y,z$ vô mẫu nên hình như phải xét riêng trường hợp.
Là sao nhỉ?
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Là sao nhỉ?
Tui nghĩ nếu $x=0$ thì $\frac{x^2}{x-xyz}$ không tồn tại.
Nhưng đoạn đó Cauchy - Schwarz thì vẫn ổn :v: $\sum\frac{x}{1-yz} . (x(1-yz)+y(1-zx)+z(1-xy))\geq (x+y+z)^2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 12-12-2021 - 20:24
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh