Đến nội dung

Hình ảnh

$1\leq \frac{x}{1-yz}+\frac{y}{1-zx}+\frac{z}{1-xy}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết

Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn x2+y2+z2=1. CMR:

$1\leq \frac{x}{1-yz}+\frac{y}{1-zx}+\frac{z}{1-xy}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$


Dư :unsure: Hấu   


#2
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

$\because \frac{x}{1-yz}+\frac{y}{1-zx}+\frac{z}{1-xy}\geqslant 1$

Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta được: $\frac{x}{1-yz}+\frac{y}{1-zx}+\frac{z}{1-xy}=\frac{x^2}{x-xyz}+\frac{y^2}{y-xyz}+\frac{z^2}{z-xyz}\geqslant \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)-3xyz}\geqslant x+y+z\geqslant \sqrt{x^2+y^2+z^2}=1$ (Vì $x,y,z$ không âm)

Đẳng thức xảy ra khi trong 3 số $x,y,z$ có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1.

$\because \frac{x}{1-yz}+\frac{y}{1-zx}+\frac{z}{1-xy}\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Ta có: $\frac{x}{1-yz}\leqslant \frac{x}{1-\frac{y^2+z^2}{2}}=\frac{2x}{1+x^2}\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{8}x^2+\frac{3\sqrt{3}}{8} \text{ (UCT)}$

Tương tự rồi cộng lại, ta được $\frac{x}{1-yz}+\frac{y}{1-zx}+\frac{z}{1-xy}\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 11-12-2021 - 20:12

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#3
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có $\sum \frac{x}{1-yz}=\sum\frac{x}{x^2+y^2+z^2-yz}\leq \sum\frac{2x}{2x^2+y^2+z^2}=\sum\frac{2x}{x^2+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}\leq \sum\frac{2x}{4\sqrt[4]{x^2.\frac{1}{27}}}=\frac{\sqrt[4]{27}}{2}\sum\sqrt{x}\leq \frac{\sqrt[4]{27}}{2}\sqrt{3(x+y+z)}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Còn $\sum\frac{x}{1-yz}\geq x+y+z\geq \sqrt{x^2+y^2+z^2}=1$.

P/s: Cách ông Kiệt đoạn Min nhân thêm $x,y,z$ vô mẫu nên hình như phải xét riêng trường hợp.



#4
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có $\sum \frac{x}{1-yz}=\sum\frac{x}{x^2+y^2+z^2-yz}\leq \sum\frac{2x}{2x^2+y^2+z^2}=\sum\frac{2x}{x^2+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}\leq \sum\frac{2x}{4\sqrt[4]{x^2.\frac{1}{27}}}=\frac{\sqrt[4]{27}}{2}\sum\sqrt{x}\leq \frac{\sqrt[4]{27}}{2}\sqrt{3(x+y+z)}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Còn $\sum\frac{x}{1-yz}\geq x+y+z\geq \sqrt{x^2+y^2+z^2}=1$.

P/s: Cách ông Kiệt đoạn Min nhân thêm $x,y,z$ vô mẫu nên hình như phải xét riêng trường hợp.

Là sao nhỉ?  :(


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#5
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Là sao nhỉ?  :(

Tui nghĩ nếu $x=0$ thì $\frac{x^2}{x-xyz}$ không tồn tại.

Nhưng đoạn đó Cauchy - Schwarz thì vẫn ổn :v: $\sum\frac{x}{1-yz} . (x(1-yz)+y(1-zx)+z(1-xy))\geq (x+y+z)^2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 12-12-2021 - 20:24





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh