Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm tất cả các hàm số f: $R\rightarrow R$ thoả mãn : $ f(y.f(x)+2x)=f(x).f(y)+x $ với mọi x, y thuộc R

* * * * - 1 Bình chọn phương trình hàm

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
gnoud22

gnoud22

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Tìm tất cả các hàm số f: $R\rightarrow R$ thoả mãn :

$ f(y.f(x)+2x)=f(x).f(y)+x $ với mọi x, y thuộc R

 



#2
pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Bước đầu (Chưa xong trường hợp $f(0)=1$)

Thay $x=y=0$ ta được $f(0)=f(0)^2$ suy ra $f(0)=0$ hoặc $f(0)=1$
Nếu $f(0)=0$ thì thay $x=0$ ta được $f(2x)=x$ hay $f(x)=\frac 12$ với mọi $x\in\mathbb R$



#3
pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Tìm tất cả các hàm số f: $R\rightarrow R$ thoả mãn :

$ f(yf(x)+2x)=f(x).f(y)+x $ với mọi $x, y$ thuộc $\Bbb R$ (1)

 

Trường hợp $f(0)=1$: 

Ta cần dựng phép thể khởi đầu để phần trong 2 hàm $f(yf(x)+2x)$ và $f(y)$ là như nhau ($f(x)$ cũng được); hay ta sẽ có $yf(x)+2x=y\Rightarrow y=\frac{2x}{1-f(x)}$

Kiểm tra thêm hàm $f(x)=1$ thì dễ dàng thấy hàm đấy không thỏa cho nên $\frac{2x}{1-f(x)}$ xác định.

Như vậy, thay $y$ bởi $\frac{2x}{1-f(x)}$ ta được $f(\frac{2x}{1-f(x)})=f(x)f(\frac{2x}{1-f(x)})+x \Rightarrow f(\frac{2x}{1-f(x)})=\frac{x}{1-f(x)}$

Như vậy $f(2k)=k$, với $k=\frac{2x}{1-f(x)}$ (2)

Tiếp theo sử dụng phép thể để liên tục xuất hiện (2), hiển nhiên sẽ thay $x$ bởi $a$ thì khi đó VT sẽ là $f((y+4).\frac{x}{1-f(x)})=f(y).\frac{x}{1-f(x)}+\frac{2x}{1-f(x)}$.

Từ đây dễ dàng chọn được $y$ để thế phụ thuộc vào những dữ kiện mình đã có, ở đây có thể $y=-2$ để sử dụng (2) thêm 1 lần nữa, tuy nhiên thì mình sẽ ra $a=f(-2)a+2a\Rightarrow f(-2)=-1$, dẫn đến bị bí. Do đó đưa về $y=-4$ để có $f(0)=const$.

Thay $x$ bởi $a$ và $y=-4$ ta được $f(0)=f(-4).\frac{x}{1-f(x)}+\frac{2x}{1-f(x)}\Rightarrow f(x)=ax+1$ (3) ($a=\frac{f(-4)+2}{f(0)}$)

Thay (3) vào (1) ta được $a=1$. 

Chốt lại, ta được các hàm là $f(x)=\frac{x}{2},\forall x\in\mathbb R$ và $f(x)=x+1,\forall x\in\mathbb R$

Thử lại thấy thỏa mãn. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 21-09-2021 - 10:35


#4
pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Trường hợp $f(0)=1$: 

Ta cần dựng phép thể khởi đầu để phần trong 2 hàm $f(yf(x)+2x)$ và $f(y)$ là như nhau ($f(x)$ cũng được); hay ta sẽ có $yf(x)+2x=y\Rightarrow y=\frac{2x}{1-f(x)}$

Kiểm tra thêm hàm $f(x)=1$ thì dễ dàng thấy hàm đấy không thỏa cho nên $\frac{2x}{1-f(x)}$ xác định.

Như vậy, thay $y$ bởi $\frac{2x}{1-f(x)}$ ta được $f(\frac{2x}{1-f(x)})=f(x)f(\frac{2x}{1-f(x)})+x \Rightarrow f(\frac{2x}{1-f(x)})=\frac{x}{1-f(x)}$

Như vậy $f(2k)=k$, với $k=\frac{2x}{1-f(x)}$ (2)

Tiếp theo sử dụng phép thể để liên tục xuất hiện (2), hiển nhiên sẽ thay $x$ bởi $a$ thì khi đó VT sẽ là $f((y+4).\frac{x}{1-f(x)})=f(y).\frac{x}{1-f(x)}+\frac{2x}{1-f(x)}$.

Từ đây dễ dàng chọn được $y$ để thế phụ thuộc vào những dữ kiện mình đã có, ở đây có thể $y=-2$ để sử dụng (2) thêm 1 lần nữa, tuy nhiên thì mình sẽ ra $a=f(-2)a+2a\Rightarrow f(-2)=-1$, dẫn đến bị bí. Do đó đưa về $y=-4$ để có $f(0)=const$.

Thay $x$ bởi $a$ và $y=-4$ ta được $f(0)=f(-4).\frac{x}{1-f(x)}+\frac{2x}{1-f(x)}\Rightarrow f(x)=ax+1$ (3) ($a=\frac{f(-4)+2}{f(0)}$)

Thay (3) vào (1) ta được $a=1$. 

Chốt lại, ta được các hàm là $f(x)=\frac{x}{2},\forall x\in\mathbb R$ và $f(x)=x+1,\forall x\in\mathbb R$

Thử lại thấy thỏa mãn. 

Mấy cái dòng đỏ là mình giải thích phòng khi các bạn cần ý tưởng (tại máu sư phạm trỗi dậy đấy  :( )


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 21-09-2021 - 10:37


#5
pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Một bài tương tự bạn có thể luyện tập với cách giải tương tự trên: 

Tìm tất cả hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn $$f(yf(x)-x)=f(x)f(y)+2x, \forall x,y\in\mathbb R$$







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: phương trình hàm

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh