Chủ đề này có 1 trả lời

[quochuy50618]

Đề bài: Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. AH cắt BC tại D. Điểm E thuộc đoạn AD sao cho $\measuredangle BEC=90^{o}$.Gọi M là trung điểm EH. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của đường tròn đường kính AM với đường tròn Ơle. CMR P, Q, E thẳng hàng

[pntoi oni10420]

Vẽ các đường cao $BG$, $CI$ của $\Delta ABC$, $J$ trung điểm $AH$, $H'$ đối xứng với $H$ qua $D$
Ta chứng minh $E$ thuộc trục đẳng phương của $(AM)$ và đường tròn $Euler$
$\Leftrightarrow EA.EM=EJ.ED\Leftrightarrow \frac{EA}{EJ}=\frac{ED}{EM}\Leftrightarrow \frac{EA}{AJ}=\frac{ED}{DM}\Leftrightarrow \frac{EA}{\frac{AH}{2}}=\frac{ED}{\frac{H'E}{2}}$$\Leftrightarrow \frac{H'E}{AH}=\frac{ED}{EA}$
Mặt khác: $\Delta CH'E\sim \Delta EHI(g-g), \Delta AHI\sim \Delta CHD(g-g)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{H'E}{CH}=\frac{HI}{HE} & \\ \frac{CH}{AH}=\frac{HD}{HI}& \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \frac{H'E}{AH}=\frac{HD}{HE}$
Hay điều phải chứng minh quy về $\frac{HD}{HE}=\frac{ED}{EA}\Leftrightarrow \frac{HD}{ED}=\frac{ED}{AD}\Leftrightarrow HD.DA=ED^2=DB.DC$ ( hiển nhiên đúng ). Đpcm