Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[TOPIC] ÔN THI HÌNH HỌC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN VÀ HSG TỈNH}}$ NĂM HỌC 2019-2020


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 214 trả lời

#1 WaduPunch

WaduPunch

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 282 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47-THPT chuyên PBC

Đã gửi 21-02-2020 - 16:54

Chào tất cả mọi người, mình là WaduPunch :D. Trong một Đề thì học sinh giỏi tỉnh hay một Đề thì Chuyên thì phần Hình Học là một phần không thể thiếu, đồng thời cũng là một phần rất khó. Để giúp đỡ các bạn trong việc rèn luyện và ôn tập thì mình quyết định lập TOPIC về hình học này

 

Nội quy của TOPIC như sau: 

++ Không spam, làm loãng TOPIC.

++ Sau khi đề xuất các bài toán, nếu sau 1 ngày mà không có ai trả lời, người đề xuất bài toán cần phải đưa ra lời giải.

++ Mình mong các bạn giải bài Toán sẽ trình bày bài toán đầy đủ một chút, thuận tiện cho việc hiểu bài.

++ Nếu như một bài toán nào đó được đề xuất mà đã có lời giải ở trang khác, mình mong mọi người hãy trình bày đầy đủ tại trang này luôn, không dẫn link đến các trang khác.

++ Lời giải ưu tiên gọn nhẹ, sáng tạo phù hợp với THCS (Hạn chế sử dụng các công cụ của bậc THPT như hàng điểm điều hòa, vectơ,...).

++ Các anh chị lớp trên nên hạn chế giải bài, thay vào đó đề xuất một bài toán mới hoặc lời giải thứ 2 của một bài toán nào đó.

++ Sau khi lời giải của một bài toán nào đó được đưa ra thì bất kì lời giải nào giống với lời giải trước đều sẽ bị xóa, tránh làm loãng TOPIC.

 

Các bài toán đã được giải sẽ được tô màu đỏ. Các bạn chú ý nhé   :D 

Mong các bạn chấp hành đúng nội quy của TOPIC. Mình mong sẽ nhận được sự ủng hộ nhiệt tình của các bạn   :D 

-WaduPunch-


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WaduPunch: 21-02-2020 - 17:29


#2 WaduPunch

WaduPunch

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 282 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47-THPT chuyên PBC

Đã gửi 21-02-2020 - 17:28

Sau đây là các bài tập đầu tiên

$\boxed{\text{Bài 1}}$ Gọi $A',B',C'$ lần lượt là trung điểm các cung $BC,CA,AB$ không chứa các điểm $A,B,C$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, $BC$ cắt $A'C'$ và $A'B'$ tại $M$ và $N$; $CA$ cắt $A'B'$ và $B'C'$ tại $P$ và $Q$; $AB$ cắt $B'C'$ và $A'C'$ tại $R$ và $S$.

a) Chứng tỏ rằng $AA',BB',CC'$ đồng quy tại $I$

b) Chứng tỏ rằng $IQAR$ là hình thoi.

c) Tìm điểu kiện của tam giác $ABC$ để $MN=PQ=RS$

 

$\boxed{\text{Bài 2}}$ Cho đường tròn $(O)$ có hai đường kính $AB$ và $CE$ vuông góc với nhau. Gọi $P$ là một điểm di động trên cung nhỏ $AE$($P$ khác $A$ và $E$). $CP$ cắt $OA$ tại $M$ và $BP$ cắt $OE$ tại $N$

a) Chứng minh $\triangle CAM \sim \triangle CPA$ và

$$\frac{OM}{MA}=\frac{PE.OC}{AP.CA}$$

b) Chứng minh $\frac{OM}{MA}\frac{ON}{NE}$ là một hằng số

 

$\boxed{\text{Bài 3}}$ Cho tam giác $ABC$ đều có đường cao $AH$($H$ thuộc $BC$). $M$ là điểm di động trên cạnh $BC$($M$ khác $B$ và $C$). Dựng $MP$ vuông góc với $AB$ tại $P$ và $MQ$ vuông góc với $AC$ tại $Q$, $AM$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $D$($D$ khác $A$).

a) Chứng minh tứ giác $APMQ$ nội tiếp

b) Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $APMQ$, chứng minh $OH$ vuông góc với $PQ$

c) Tìm tập hợp trung điểm $E$ của đoạn $AD$ khi $M$ di động trên cạnh $BC$($M$ khác $B$ và $C$)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 14-03-2020 - 10:54


#3 Eugeo Synthesis 32

Eugeo Synthesis 32

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:surviv io :) đi đu đưa đi :)

Đã gửi 21-02-2020 - 23:09

$\boxed{\text{Bài 1}}$ Gọi $A',B',C'$ lần lượt là trung điểm các cung $BC,CA,AB$ không chứa các điểm $A,B,C$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, $BC$ cắt $A'C'$ và $A'B'$ tại $M$ và $N$; $CA$ cắt $A'B'$ và $B'C'$ tại $P$ và $Q$; $AB$ cắt $B'C'$ và $A'C'$ tại $R$ và $S$.

a) Chứng tỏ rằng $AA',BB',CC'$ đồng quy tại $I$

b) Chứng tỏ rằng $IQAR$ là hình thoi.

c) Tìm điểu kiện của tam giác $ABC$ để $MN=PQ=RS$

Bài 1: 

a) Dễ dàng nhận thấy  $AA',BB',CC'$ là các đường phân giác trong $\Delta ABC$ nên đồng quy

b) Ta có : $\widehat{ARQ}=180-\widehat{C}/2-\widehat{A}-\widehat{B/2}=\widehat{AQR}$ do đó $AR=AQ$

Dễ dàng nhận ra $AI$ vuông góc $RQ$ do $\widehat{RAI}+\widehat{ARQ}=\widehat{A}/2+90-\widehat{A}/2=90$

Ta có : $\widehat{IBR}=\widehat{B}/2=\widehat{CC'B'} => BC'RI$ nội tiếp 

$=> \widehat{QRI}=\widehat{IBC'}=\widehat{B}/2+\widehat{C}/2=\widehat{ARQ} => \widehat{IRQ}=\widehat{QRA}=\widehat{AQR}=\widehat{RQI} $

do $BC'RI$ nội tiếp $=> IQAR$ là hình thoi

c) Chứng minh tương tự như câu b thì $BSIM;CPIN$ là hình thoi

Do $\widehat{MC'C}=\widehat{A}/2=\widehat{SAI} => SC'AI$ nội tiếp

Tương tự ta cũng có $IAB'P$ nội tiếp 

$=> \widehat{AIS}=180-\widehat{A'C'A}=\widehat{AB'A'}=180-PIA => \overline{SIP}$

Tương tự $\overline{RIN};\overline{MIQ}$

Ta có : $BS=BM;SR=MN => BR=BN$

Mà $\widehat{BRN}=180-\widehat{IRA}=180-\widehat{A} => NR//AC => AB=BC$

Chứng minh tương tự các trường hợp còn lại thì suy ra $\Delta ABC$ đều

Hình gửi kèm

  • geogebra-export.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 21-02-2020 - 23:19


#4 spirit1234

spirit1234

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 260 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 22-02-2020 - 22:02

Mình xin góp bài toán bất đẳng thức hình học quen thuộc sau:

$\boxed{\text{Bài 4}}$ Cho điểm $M$ nằm trong tam giác $ABC$ có các cạnh $a,b,c$.Gọi các khoảng cách từ M đến các cạnh a,b,c tương ứng là $x,y,z$. Hãy xác định vị trí của điểm M nằm trong tam giác sao cho biểu thức sau đạt GTNN và tìm GTNN đó

$$P=\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 14-03-2020 - 10:56

No pressure, no diamond    -_-  :icon11:  ;) 


#5 spirit1234

spirit1234

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 260 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 22-02-2020 - 22:19

$\boxed{\text{Bài 3}}$ Cho tam giác $ABC$ đều có đường cao $AH$($H$ thuộc $BC$). $M$ là điểm di động trên cạnh $BC$($M$ khác $B$ và $C$). Dựng $MP$ vuông góc với $AB$ tại $P$ và $MQ$ vuông góc với $AC$ tại $Q$, $AM$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $D$($D$ khác $A$).

a) Chứng minh tứ giác $APMQ$ nội tiếp

b) Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $APMQ$, chứng minh $OH$ vuông góc với $PQ$

c) Tìm tập hợp trung điểm $E$ của đoạn $AD$ khi $M$ di động trên cạnh $BC$($M$ khác $B$ và $C$)

Mình xin giải bài này như sau:

a)Dễ thấy:$\widehat{P}=\widehat{Q}=90^{\circ}$=>tứ giác APMQ nội tiếp.

b)Dễ thấy: 5 điểm A,Q,H,M,P nội tiếp đường tròn (O) là trung điểm AM.

=>$\widehat{POH}=2\widehat{PAH}=60^{\circ}$

và $\widehat{OPQ}=\frac{180^{\circ}-\widehat{POQ}}{2}$

mà $\widehat{POQ}=2\widehat{PAQ}=120^{\circ}$

=>$\widehat{OPQ}=30^{\circ}$

=>$\widehat{OPQ}+\widehat{POH}=90^{\circ}$

=>OH vuông góc với PQ

c)Gọi F là trung điểm AB,G là trung điểm AC=> F,G cố định

Dễ thấy:EF song song với BD,EG song song với CD

=>$\widehat{FEG}=\widehat{BDC}=180^{\circ}-\widehat{BAC}=120^{\circ}$

Vậy ....


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 11-03-2020 - 15:55

No pressure, no diamond    -_-  :icon11:  ;) 


#6 spirit1234

spirit1234

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 260 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 11-03-2020 - 17:00

$\boxed{\text{Bài 2}}$ Cho đường tròn $(O)$ có hai đường kính $AB$ và $CE$ vuông góc với nhau. Gọi $P$ là một điểm di động trên cung nhỏ $AE$($P$ khác $A$ và $E$). $CP$ cắt $OA$ tại $M$ và $BP$ cắt $OE$ tại $N$

a) Chứng minh $\triangle CAM \sim \triangle CPA$ và

$$\frac{OM}{MA}=\frac{PE.OC}{AP.CA}$$

b) Chứng minh $\frac{OM}{MA}\frac{ON}{NE}$ là một hằng số

Mình xin phép đưa ra lời giải cho bài 2 như sau: 

a) Dễ thấy: $\widehat{CAM}=\widehat{APC}$; chung $\widehat{C}$ $\Rightarrow$$\Delta CAM\sim \Delta CPM$ [1]

 Xét $\Delta OCM$ và $\Delta PCE$, ta có: $\widehat{MOC}=\widehat{EPC}=90^{\circ}$,chung $\widehat{C}$ $\Rightarrow$$\Delta OCM\sim \Delta PCE$

=>OM.CP=PE.OC $<=>\frac{OM}{MA}=\frac{PE.OC}{AM.CP}$

Mà từ [1] ta có: AM.CP=AP.CA => $\frac{OM}{MA}=\frac{PE.OC}{AP.CA}$ $\Rightarrow$ ĐPCM

b) Cmtt a), ta có: $\frac{ON}{NE}=\frac{OB.AP}{BE.EP}$

$\Rightarrow \frac{OM.ON}{MA.NE}=\frac{OC.OB}{CA.BE}$ không đổi $\Rightarrow$ ĐPCM

geogebra-export (2).png

 

*P/s: Các bạn hãy ủng hộ topic nhiệt tình nha.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 14-03-2020 - 10:55

No pressure, no diamond    -_-  :icon11:  ;) 


#7 spirit1234

spirit1234

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 260 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 11-03-2020 - 20:32

Mình xin góp tiếp mấy bài sau:

$\boxed{\text{Bài 5}}$: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ đường tròn tâm A cắt đường tròn $(O)$ tại C và D. Kẻ dây cung BN của đường tròn $(O)$ cắt đường tròn $(A)$ tại điểm E. CMR: $NE^{2}=NC.ND$

 

$\boxed{\text{Bài 6}}$ Cho $\Delta ABC$ nhọn.Vẽ về phía ngoài của $\Delta ABC$ nửa đường tròn đường kính AB và nửa đường tròn đường kính AC. Đường thẳng d thay đổi đi qua A, cắt 2 nửa đường tròn vừa vẽ theo thứ tự tại M và N (M và N khác A).CMR:

a)Đường trung trực của đoạn thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định.

b)$MB+MN+NC<\sqrt{2}(AB+AC)$.

 

$\boxed{\text{Bài 7}}$: Trong mặt phẳng, cho 2 điểm cố định A,B(A khác B).Xét 1 điểm C di động trên mặt phẳng sao cho $\widehat{ACB}=a$, trong đó a là 1 góc cho trước (0<a<180).Đường tròn tâm I nội tiếp $\Delta ABC$ tiếp xúc với các cạnh AB,BC và CA tương ứng tại D,E,F. Các đường thẳng AI và BI lần lượt cắt EF tại M và N.CMR:

a)Đường thẳng MN có độ dài không đổi.

b)Đường tròn ngoại tiếp $\Delta DMN$ luôn đi qua 1 điểm cố định.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 14-03-2020 - 11:15

No pressure, no diamond    -_-  :icon11:  ;) 


#8 ThuanTri

ThuanTri

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phan Thiết-Bình Thuận
  • Sở thích:bruh

Đã gửi 11-03-2020 - 21:15

$\boxed{\text{Bài 5}}$: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ đường tròn tâm A cắt đường tròn $(O)$ tại C và D. Kẻ dây cung BN của đường tròn $(O)$ cắt đường tròn $(A)$ tại điểm E. CMR: $NE^{2}=NC.ND$

Gọi giao điểm thứ hai của dây $BN$ với $(A)$ là $F$. Ta thấy $NE=NF$ (do $AN$ vuông góc với $EF$)

Thay vào đó, ta sẽ chứng minh $NF^2=NC.ND$

Ta có $\widehat{CNB} = \widehat{BND} $. Suy ra $\widehat{CNF}=\widehat{FND}$.                                       $(1)$

Ta có $BC$ là tiếp tuyến của $(A)$. Khi đó, ta suy ra được $\widehat{CFE}=\widehat{BCE}$

Mà $\widehat{BCE}=\widehat{CEF}-\widehat{CBE}=\widehat{CDF}-\widehat{CDN}=\widehat{NDF}$                             

Suy ra $\widehat{CFE} = \widehat{NDF}$                                                                                            $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$, ta chứng minh được $\Delta FNC \sim \Delta DNF$

Từ đó suy ra đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 12-03-2020 - 11:38

   Trăm năm Kiều vẫn là Kiều

Sinh viên thi lại là điều tất nhiên.


#9 trambau

trambau

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 543 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Học viện báo chí và tuyên truyền

Đã gửi 11-03-2020 - 21:26

$\boxed{\text{Bài 4}}$ Cho điểm $M$ nằm trong tam giác $ABC$ có các cạnh $a,b,c$.Gọi các khoảng cách từ M đến các cạnh a,b,c tương ứng là $x,y,z$. Hãy xác định vị trí của điểm M nằm trong tam giác sao cho biểu thức sau đạt GTNN và tìm GTNN đó

$$P=\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}$$

Lâu không giải toán

$P=\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z} = \frac{a^2}{ax}+\frac{b^2}{by}+\frac{c^2}{cz} \geq \frac{(a+b+c)^2}{2S} $. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z \Leftrightarrow M $ là tâm nội tiếp $\triangle ABC $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 14-03-2020 - 11:03


#10 ThuanTri

ThuanTri

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phan Thiết-Bình Thuận
  • Sở thích:bruh

Đã gửi 11-03-2020 - 21:43

$\boxed{\text{Bài 6}}$: Cho $\Delta ABC$ nhọn.Vẽ về phía ngoài của $\Delta ABC$ nửa đường tròn đường kính AB và nửa đường tròn đường kính AC. Đường thẳng d thay đổi đi qua A, cắt 2 nửa đường tròn vừa vẽ theo thứ tự tại M và N (M và N khác A).CMR:

 a)Đường trung trực của đoạn thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định.

 b)$MB+MN+NC<\sqrt{2}(AB+AC)$.

a) Dễ thấy rằng BMNC là hình thang vuông. Trung trực của MN chính là đường trung bình của hình thang đi qua trung điểm cạnh BC. Đó là điểm cố định chúng ta cần tìm

b) Ta có:

$(MA + MB)^2= AB^2 + 2MA.MB \leq AB^2+ (MA^2+MB^2) = 2AB^2$ suy ra $MA+MB \leq  AB\sqrt{2}$

$(NA + NC)^2= AC^2 + 2NA.NC  \leq AC^2+ (NA^2+NC^2) = 2AC^2$ suy ra $NA +NC \leq  AC\sqrt{2}$

Dấu bằng xảy ra khi tam giác $ABC$ vuông, vậy dấu bằng không xảy ra và ta có ĐPCM


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 14-03-2020 - 11:04

   Trăm năm Kiều vẫn là Kiều

Sinh viên thi lại là điều tất nhiên.


#11 trambau

trambau

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 543 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Học viện báo chí và tuyên truyền

Đã gửi 11-03-2020 - 22:00

$\boxed{\text{Bài 6}}$: Cho $\Delta ABC$ nhọn.Vẽ về phía ngoài của $\Delta ABC$ nửa đường tròn đường kính AB và nửa đường tròn đường kính AC. Đường thẳng d thay đổi đi qua A, cắt 2 nửa đường tròn vừa vẽ theo thứ tự tại M và N (M và N khác A).CMR:

 a)Đường trung trực của đoạn thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định.

 b)$MB+MN+NC<\sqrt{2}(AB+AC)$.

 

a) Dễ thấy rằng BMNC là hình thang vuông. Trung trực của MN chính là đường trung bình của hình thang đi qua trung điểm cạnh BC. Đó là điểm cố định chúng ta cần tìm

b) Ta có:

$(MA + MB)^2= AB^2 + 2MA.MB \leq AB^2+ (MA^2+MB^2) = 2AB^2$ suy ra $MA+MB \leq  AB\sqrt{2}$

$(NA + NC)^2= AC^2 + 2NA.NC  \leq AC^2+ (NA^2+NC^2) = 2AC^2$ suy ra $NA +NC \leq  AC\sqrt{2}$

Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC vuông, vậy dấu bằng không xảy ra và ta có đpcm

$MB+MA+NA+NC\leq \sqrt{2(MB^2+MA^2)}+\sqrt{2(NA^2+NC^2)}=\sqrt 2 (AB+AC)$
Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $\vartriangle ABC$ vuông

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 14-03-2020 - 11:04


#12 quangboyka7

quangboyka7

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huyện Cẩm Xuyên - Tỉnh Hà Tĩnh
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 11-03-2020 - 22:28

$\boxed{\text{Bài 8}}$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. $H$ là trực tâm. $AH,BH,CH$ cắt $(O)$ tại $D,E,F$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$$\frac{HD}{HA}+\frac{HE}{HB}+\frac{HF}{HC}$$

$\boxed{\text{Bài 9}}$ Cho $P$ cố định nằm ngoài $(O;R)$ vẽ tiếp tuyến $PA$ và cát tuyến $PBC$. $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Chứng minh khi cát tuyến $PBC$ thay đổi thì $H$ di chuyển trên một đường tròn cố định

$\boxed{\text{Bài 10}}$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Biết $\widehat{BAC}=60^{\circ}$. $H$ là trực tâm. $M$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$. Chứng minh $AM$ vuông góc $HO$

 

*Em chú ý đánh số thứ tự bài nhé!!!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 14-03-2020 - 11:02


#13 Peteroldar

Peteroldar

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 139 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PUBG
  • Sở thích:PUBG, maths, and so on....

Đã gửi 12-03-2020 - 09:09

$\boxed{\text{Bài 10}}$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Biết $\widehat{BAC}=60^{\circ}$. $H$ là trực tâm. $M$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$. Chứng minh $AM$ vuông góc $HO$

 

Annotation 2020-03-12 085337.png

Dễ CM $OA\perp FG$ suy ra $\angle BAH=\angle OAG\rightarrow \angle BAO=\angle HAG$

Ta có $\angle CAE=\angle CBE=\angle HAG$ nên $\Delta HAE$ cân tại $A$

$\rightarrow \angle HAG=\angle GAE\rightarrow \angle BAO=\angle GAE\rightarrow \angle BAC=\angle OAE=60^{\circ}\rightarrow \Delta  OAE$ đều suy ra $OA=AE=AH$ nên $\Delta HAO$ cân tại $A$ mà $\angle HAM=\angle MAO$ (do  $\angle BAH=\angle OAG$)

Nên $AM\perp OH$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 14-03-2020 - 11:03


#14 karobirot

karobirot

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Đã gửi 12-03-2020 - 12:16

Giải giúp mình với:

$\boxed{\text{Bài 11}}$ Cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có đường cao $BH$. Trên đoạn $BH$ lấy điểm $D$ $(D \neq B, D \neq H)$. Trên tia $AD$ lấy điểm $M$ sao cho $CM = CB$, trên tia $CD$ lấy điểm $N$ sao cho $AN = AB$, biết cả $M, N$ đều nằm ngoài tam giác $ABC$. Gọi $P$ là chân dường vuông góc hạ từ $A$ trên $CN$, $Q$ là chân đường vuông góc hạ từ $C$ trên $AM$. Hai đường thẳng $AP, CQ$ cắt nhau ở $K$. Chứng minh rằng $KM = KN$

 

$\boxed{\text{Bài 12}}$ Cho $\widehat{ABx}$  cố định, trên tia $Bx$ lấy điểm $C$ sao cho $AB<AC,AB<BC$. Đường tròn tâm $O$ nội tiếp tam giác  $ABC$  tiếp xúc với các cạnh  $AB,BC,AC$  lần lượt tại  $I,J,K$. Tia $BO$ cắt các đường thẳng $JK , AC$ lần lượt tại  $M$ và $D$

a) Chứng minh rằng$\widehat{AOB}=90^{\circ}+\frac{1}{2}\widehat{ACB}$  và năm điểm $A,I,O,M,K$ cùng nằm trên 1 đường tròn.

b) Chứng minh $DK.BM=DM.BJ$ và đường thẳng $JK$ luôn đi qua 1 điểm cố định khi điểm $C$ di động trên tia $Bx$ thỏa mãn giả thiết.

c) Gọi $P$ là giao điểm của đường thẳng $KI$ và đường thẳng $BC$, đường thẳng $AJ$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $N$. Chứng minh rằng $PN$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

 

$\boxed{\text{Bài 13}}$ Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$, trên tiếp tuyến tại $A$ lấy điểm $C$. Vẽ cát tuyến $CDE$ (tia $CD$ nằm giữa tia $CA$ và $CO$; $D$ nằm giữa $C$ và $E$). $M$ là giao điểm của $CO$ và $BD$. $F$ là giao điểm của $AM$ và đường tròn $(O)$. chứng minh $E,O,F$ thẳng hàng\

 

*Em chú ý đánh số thứ tự bài nhé


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 14-03-2020 - 11:16


#15 spirit1234

spirit1234

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 260 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 12-03-2020 - 16:19

Cho P cố định nằm ngoài (O;R) vẽ tiếp tuyến PA và cát tuyến PBC. H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh khi cát tuyến PBC thay đổi thì H di chuyển trên một đường tròn cố định

Xin phép đưa ra lời giải cho Bài 9:

 Gọi L đối xứng với O qua BC. Dễ thấy: AHLO là hình bình hành=> HL//OA và HL=OA. 

Ta có: tam giác POL cân ở P=> PL=PO không đổi.

 Dựng hình bình hành KHLP=>KP//LH và KP=LH=> KP//AO và KP=AO=> KPOA là hình bình hành=> K cố định

=>KH=PL=PO cố định=> H thuộc đường tròn tâm K; bán kính R'=PO

geogebra-export (6).png

***Mọi người đừng để ý đến điểm Z nha, mình thêm vào cho dễ vẽ hình thôi[máy mình sida nặng lắm kkk]


No pressure, no diamond    -_-  :icon11:  ;) 


#16 Pizscontrol9

Pizscontrol9

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:làm việc mình thích

Đã gửi 12-03-2020 - 16:46

Xin góp mấy bài sau:

Bài 13: Cho tam giác ABC với trực tâm H.CMR: tiếp tuyến chung khác AH của 2 đường tròn nội tiếp các tam giác ABH và ACH đi qua trung điểm cạnh BC.

Bài 14: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và I là giao điểm 3 đường phân giác trong.CMR: nếu AB2-AC2=2IB2-2IC2 thì GI//BC.

Bài 15: Cho tam giác ABC. Tia phân giác của góc BAC cắt tia phân giác của góc ABC ở I và cắt cạnh BC ở E. Đường vuông góc với AE tại E cắt cung BIC của đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC ở H.CMR: AH tiếp xúc với cung BIC.

 Mọi người giúp mình nha, mấy bài trên mình đều chưa làm được.



#17 quangboyka7

quangboyka7

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huyện Cẩm Xuyên - Tỉnh Hà Tĩnh
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 12-03-2020 - 17:11

Xin phép đưa ra lời giải cho Bài 9:

 Gọi L đối xứng với O qua BC. Dễ thấy: AHLO là hình bình hành=> HL//OA và HL=OA. 

Ta có: tam giác POL cân ở P=> PL=PO không đổi.

 Dựng hình bình hành KHLP=>KP//LH và KP=LH=> KP//AO và KP=AO=> KPOA là hình bình hành=> K cố định

=>KH=PL=PO cố định=> H thuộc đường tròn tâm K; bán kính R'=PO

attachicon.gifgeogebra-export (6).png

***Mọi người đừng để ý đến điểm Z nha, mình thêm vào cho dễ vẽ hình thôi[máy mình sida nặng lắm kkk]

 

Cái đoạn AHLO là hình bình hành chứng minh thế nào bạn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangboyka7: 12-03-2020 - 17:12


#18 spirit1234

spirit1234

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 260 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 12-03-2020 - 19:25

Cái đoạn AHLO là hình bình hành chứng minh thế nào bạn

Lấy M là trung điểm BC, Kẻ đường kính AN.

Dễ CMinh HBNC là hình bình hành. =>M là trung điểm HN

=>MO là đường trung bình tam giác AHN=> MO//AH và 2MO=AH 

mà OL=2OM=> OL//AH và OL=AH=> AHLO là hình bình hành


No pressure, no diamond    -_-  :icon11:  ;) 


#19 spirit1234

spirit1234

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 260 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 12-03-2020 - 19:55

Cho đường tròn (O) đường kính AB, trên tiếp tuyến tại A lấy điểm C. Vẽ cát tuyến CDE (tia CD nằm giữa tia CA và CO; D nằm giữa C và E). M là giao điểm của CO và BD. F là giao điểm của AM và đường tròn (O). chứng minh E,O,F thẳng hàng

Mình xin phép giải bài 12:

Vẽ CN là tiếp tuyến của đường tròn (O) (N khác A).

Ta có: CA=CN, CO là phân giác $\widehat{CAN}$=> $\widehat{MAC}= \widehat{MNC}$ (Tính chất trục đối xứng) 

Ta có: CO//BN=>  $\widehat{CMD}= \widehat{NBD}$

=> $\widehat{CMD}= \widehat{CND}$=> CMND nội tiếp

=> $\widehat{BDE}= \widehat{MNC}$

=> $\widehat{MAC}= \widehat{BAE}( =\widehat{BDE})$

Ta có:  $\widehat{FAE}= \widehat{BAF}+\widehat{BAE}=\widehat{BAF}+\widehat{CAM}=90^{\circ}$

=>EF là đường kính của đường tròn (O)=>đpcm

geogebra-export.png

***Máy lag quá, không vào được Latex, mình phải gõ theo công thức nhớ được; nếu có sai sót gì mong mọi người thông cảm.


No pressure, no diamond    -_-  :icon11:  ;) 


#20 spirit1234

spirit1234

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 260 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 12-03-2020 - 20:35

Bài 14: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và I là giao điểm 3 đường phân giác trong.CMR: nếu AB2-AC2=2IB2-2IC2 thì GI//BC.

Mình nghĩ bài này cần đưa thêm giả thiết  $\Delta ABC$ không cân tại A. Nếu đúng như vậy thì đây là lời giải của mình:

Gọi E,F,K lần lượt là hình chiếu của I trên 3 cạnh BC,CA,AB.Vì I là tâm đường tròn nội tiếp nên  $AK=AF,CF=CE,BE=BK$

Từ đó:  $IB^{2}-IC^{2}=(IE^{2}+EB^{2})-(IE^{2}+EC^{2})=(EB-EC).(EB+EC)=(KB-FC).BC=(AB-AC).BC$

=> $AB^{2}-AC^{2}=2.(AB-AC).BC=>(AB-AC)(AB+AC-2BC)=0$

Nếu AB=AC thì I,G cùng nằm trên đường trung tuyến cũng là đường cao AM.Khi đó, hoặc I trùng G(nếu $\Delta ABC$ đều) hoặc IG vuông góc với BC (nếu  $\Delta ABC$ cân tại A nhưng không đều). (vì lí do này nên cần bổ sung tam giác ABC không cân tại A)

Nếu AB khác AC thì AB+AC=2BC, lúc này theo tính chất đường phân giác ta có:

 $\frac{AI}{AD}=\frac{BA}{BD}=\frac{AC}{CD}=\frac{AB+AC}{BD+CD}=\frac{AB+AC}{BC}=2$

mà  $\frac{AG}{GM}=2$ => IG//DM hay IG//BC=> đpcm

geogebra-export (1).png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 14-03-2020 - 20:19

No pressure, no diamond    -_-  :icon11:  ;) 





1 người đang xem chủ đề

1 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh