Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[TOPIC] ÔN THI HÌNH HỌC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN VÀ HSG TỈNH}}$ NĂM HỌC 2019-2020


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 375 trả lời

#201 supreme king

supreme king

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Thích gì làm đấy

Đã gửi 03-04-2020 - 08:26

$95$ Cho tam giác ABC nhọn không cân, đường phân giác góc A cắt BC tại D và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại I. Tử D hạ DK,DH vuông góc với các cạnh AB và AC. Chứng minh diện tích tứ giác AKIH= diện tích tam giác ABC.

Lấy $BE\perp AD$ ($E\in AD$)

Do đó $KEDB$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{AFK}=\widehat{ABC}=\widehat{AIC}$

Suy ra $\Delta AKE \sim \Delta ACI$

$\Rightarrow \frac{AK}{AE}=\frac{AC}{AI}$

$\Rightarrow AK.AI=AE.AC$

Ta có $^SABC=^SAKIH$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}.sin\frac{A}{2}.AD.(AB+AC)= \frac{1}{2}.sin\frac{A}{2}.AI.(AK+AH)$

$\Leftrightarrow AD.(AB+AC)=AI.(AK+AH)$

$\Leftrightarrow \frac{2.AB.AC.cos\frac{A}{2}}{AB+AC}.(AB+AC)=2.AI.AK$

$\Leftrightarrow AB.cos\frac{A}{2}.AC=AI.AK$

$\Leftrightarrow AE.AC=AK.AI$ (luôn đúng)

Bài toán dã được cm

Hình gửi kèm

  • Opera Hình chụp_2020-04-03_081305_www.geogebra.org.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supreme king: 04-04-2020 - 08:29

All will be well if you use your mind for your decision, and mind only your decision

                                                                                                                 -Presh Talwalkar-


#202 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 542 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 03-04-2020 - 10:04

$\boxed{\text{Bài 89}}$: Cho đường tròn (O), điểm A cố định nằm ngoài đường tròn (O).BC là đường kính quay quanh O.Tìm tập hợp điểm I-tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Chẳng ai làm thì mình đành đưa ra lời giải vậy  :( 

Gọi D là giao điểm của AO với đường tròn (I).

Dễ CMinh: $\Delta OAB\sim \Delta OCD\Rightarrow \frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}\Rightarrow OA.OD=OB.OC=R^{2}\Rightarrow OD=\frac{R^{2}}{OA}$ cố định

=>D cố định.

Vậy I thuộc đường thẳng (d) cố định là trung trực đoạn thẳng AD.

Spoiler



#203 Syndycate

Syndycate

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 241 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ʟucκʏ ʟᴀɴᴅ
  • Sở thích:ɴᴏᴛʜɪɴɢ

Đã gửi 03-04-2020 - 10:27

Đăng một bài cho topic sôi nổi ^^
$95$ Cho tam giác ABC nhọn không cân, đường phân giác góc A cắt BC tại D và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại I. Tử D hạ DK,DH vuông góc với các cạnh AB và AC. Chứng minh diện tích tứ giác AKIH= diện tích tam giác ABC.

Mình xin trình bày cách hai và đưa ra một bài nữa:
Và mình xin phép ko gửi hình lên do máy mình ko gửi lên đc
Gọi giao của IH với BC là M, IK với BC là N
Dễ đang thấy do $DH$ vuông góc $AC$ và $DK$ vuông góc $DB$
$=>$ Tứ giác $AKDH$ nội tiếp
Gọi $E$ là giao điểm thứ hai của $(AKDH)$ với cạnh $BC$
$=>BCI^=BAI^=HAD^=HED^=>HE//CI$
$=>$ HEIC là hình thang và $Shic=Seic=>Semi=Shmc$
CMTT:$KE//BI=>Seni=Snbk$
TỪ ĐÓ: $Sakih=Saknmh+Snei+Semi=Saknmh+Snbk+Smhc=Sabc$
$=>dfcm$
$96$
cho tam giác $ABC$ vuông tại A có do dai cạnh huyền BC là số hữu tỉ. vẽ ra phía ngoài tam giác đó hình chữ nhật BCDE sao cho $CD=\frac{BC}{\sqrt{2}}$. Gọi M,N theo thứ tự là giao điểm của AD ,AE với BC. C/m $\sqrt{BM^2+CN^2}$ là số hữu tỉ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Syndycate: 03-04-2020 - 10:41

" Khi ta đã quyết định con đường cho mình, kẻ được nói ta ngu ngốc chỉ có bản thân ta mà thôi. " - Roronoa Zoro.

 


#204 Ngoc Tho 2005

Ngoc Tho 2005

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 58 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Tâm lí học

Đã gửi 03-04-2020 - 14:39

Góp một bài nữa ạ:

   

   Bài 97: Cho (O) và S là điểm nằm ngoài (O). Kẻ 2 cát tuyến SAB; SCD (ko qua O). Đường thẳng (d) vuông góc OS tại S cắt BC;AD tại E;F. Cmr: OE=OF


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Tho 2005: 03-04-2020 - 14:55

Cái giá của việc giữ kỷ luật luôn luôn thấp hơn nỗi đau của niềm hối tiếc  :B)  :B)  :B)

                                                             


#205 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 542 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 03-04-2020 - 22:01

$\boxed{\text{Bài 88}}$: Cho tam giác nhọn ABC(AB<AC).Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB,AC tại E,D.BD cắt CE tại H, các tiếp tuyến của (O) tại B,D cắt nhau tại K, AK cắt BC tại M, MH cắt BK tại N. Vẽ tiếp tuyến AS của (O) với S thuộc cung nhỏ CD; KD cắt AH tại I; MH cắt OA tại L. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt AK tại T.CMR: 

a)Các tứ giác TKDB,BELO nội tiếp                                                                      b)N,E,I thẳng hàng

c)M,E,D thẳng hàng                                                                                             d)M,S,H thẳng hàng.

Spoiler

Bạn nào ở đội tuyển toán 9 trường THCS Lý Tự Trọng Vĩnh Phúc năm nay chắc hẳn nhớ bài toán đặc biệt này :icon6: .

Spoiler

$\boxed{\text{Bài 88}}$:

a)Kẻ đường kính AF của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Dễ CMinh: BHCF là hình bình hành và H,O,F thẳng hàng.

Ta có: $\widehat{MTB}=\widehat{ACB}$ (do BTAC nội tiếp)

Mặt khác: $\widehat{KDB}=\widehat{ACB}$

Từ đó suy ta:$\widehat{KDB}=\widehat{KTB}\Rightarrow TKBD$ nội tiếp.

=>5 điểm O,B,K,T,D cùng nằm trên 1 đường tròn đường kính OK hay $\widehat{OTK}=90^{\circ}$

Mặt khác: $\widehat{FTA}=90^{\circ}\Rightarrow F,O,T$ thẳng hàng=>F,O,H,T thẳng hàng.

$\Delta MAO$ có AH,OT là 2 đường cao nên suy ra H là trực tâm, do đó ML vuông góc AO nên 5 điểm A,E,H,L,D cùng nằm trên 1 đường tròn.

$\Rightarrow \widehat{ELA}=\widehat{EDA}=\widehat{EBC}\Rightarrow BELO$ nội tiếp.

b)Ta có: 5 điểm B,N,E,L,O cùng nằm trên đường tròn đường kính NO.

Nên $\widehat{NEO}=\widehat{NLO}=90^{\circ}$ mà $\widehat{KDB}=\widehat{DCB}=\widehat{BHJ}=\widehat{IHD}$

$\Rightarrow IA=IH\Rightarrow IE=ID\Rightarrow \widehat{IEO}=90^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{IEO}+\widehat{NEO}=180^{\circ}\Rightarrow N,E,I$ thẳng hàng.

c)Ta có: $\widehat{MTE}=\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\Rightarrow MTEB$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{MEB}=\widehat{MTB}$

Mà $\widehat{BED}=\widehat{BTA}\Rightarrow \widehat{MEB}+\widehat{BED}=\widehat{MTB}+\widehat{BTA}=180^{\circ}$

=>M,E,D thẳng hàng.

d)Vì OE vuông góc với IE nên OE là tiếp tuyến của đường tròn đi qua các điểm A,E,T,H,D,L tâm I.

$\Rightarrow \widehat{OEL}=\widehat{OAE}\Rightarrow \Delta OEL\sim \Delta OAE\Rightarrow OA.OL=OE^{2}\Leftrightarrow OA.OL=OS^{2}\Rightarrow \Delta OLS\sim \Delta OSA$

Mà $\widehat{OSA}=90^{\circ}\Rightarrow \widehat{OLS}=90^{\circ}\Rightarrow \widehat{MLO}+\widehat{OLS}=180^{\circ}\Leftrightarrow M,L,S$ thẳng hàng.

Mà H,M,N,L thẳng hàng nên M,H,S thẳng hàng.

-_-  :biggrin:  :luoi


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 04-04-2020 - 16:26


#206 Long Sei

Long Sei

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 47 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng
  • Sở thích:Hình học, Bất đẳng thức

Đã gửi 04-04-2020 - 00:10

Góp một bài nữa ạ:

   

   Bài 97: Cho (O) và S là điểm nằm ngoài (O). Kẻ 2 cát tuyến SAB; SCD (ko qua O). Đường thẳng (d) vuông góc OS t

Kẻ $EG \perp EB$ ; $OH \perp AD$
Ta có: $\triangle SBC$ đồng dạng $\triangle SDA$ (G-G)
Mà AD,BC là dây cung (O)
Nên G trung điểm CB, H trung điểm DA
 
Ta có: $\triangle SBC$ đồng dạng $\triangle SDA$ (G-G)
$\Rightarrow \frac{SB}{SD} = \frac{BC}{DA} = \frac{SC}{SA}$
$\Leftrightarrow \frac{SB}{SD} = \frac{CG}{AH} = \frac{SC}{BA}$
$\Rightarrow \triangle SAH$ đồng dạng $\triangle SCG$
$\Rightarrow \angle SHA = \angle SGC$
$\Rightarrow \angle SHF = \angle SGE$
 
Ta có: $\angle FSO = \angle FHO$
$\Rightarrow FSHO$ nội tiếp $\Rightarrow \angle FHS = \angle FOS$
CMTT $\Rightarrow \angle SGE = \angle SOE$
Suy ra $\angle SOE = \angle FOS$
Mà $OS \perp EF$
Nên $\triangle$ FOE cân tại D
$\Rightarrow$ OF = OE


#207 Long Sei

Long Sei

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 47 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng
  • Sở thích:Hình học, Bất đẳng thức

Đã gửi 04-04-2020 - 16:16

Bài 98: 

Cho tam giác ABC, D là điểm nằm trên BC. (ABD) và (ACD) cắt AB, AC ở F,E. BE cắt CF ở K.

Cmr giao điểm của AK và FE nằm trên đoạn thẳng nối tâm (AFE) và D


#208 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 542 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 04-04-2020 - 16:49

$\boxed{\text{BÀi 92}}$: Cho tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp I.CMR:đường thẳng Euler của các tam giác IBC,ICA,IAB đồng quy tại 1 điểm trên đường thẳng Euler của tam giác ABC.

 

Spoiler

 

Spoiler

Ta có bổ đề quen thuộc sau:Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), tâm đường tròn nội tiếp I.IA cắt (O) tại điểm D khác A thì D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC. (Dễ CMinh) (Gọi tạm là bổ đề 1)

Trở lại bài toán:

Gọi O là tâm (ABC); IA giao (ABC) tại X khác A. Gọi G,Y lần lượt là trọng tâm tam giác ABC,IBC. Gọi M là trung điểm của BC; GY cắt OX tại E.

Theo bổ đề 1 và các tính chất cơ bản ta thấy X là trung điểm cung BC không chứa A của (O) do đó OX vuông góc với BC tại M.

Ta có: $\frac{IY}{IM}=\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}\Rightarrow GY//AX\Rightarrow \frac{XE}{XM}=\frac{2}{3}$ (1)

Hơn nữa: $\frac{YE}{YG}=\frac{IX}{IA}=\frac{CX}{IA}$ (2)

Gọi XY(đường thẳng Euler của tam giác IBC) cắt OG(đường thẳng Euler của tam giác ABC) tại S.

Gọi N là hình chiếu của I lên AB. 

Do $\widehat{AIB}=\widehat{BCX}\Rightarrow \Delta IAN\sim \Delta XCM\Rightarrow \frac{IA}{XC}=\frac{IN}{MX}=\frac{r}{MX}\Leftrightarrow r=\frac{CX}{MX.IA}$(3)

Áp dụng định lý Menelaus vào tam giác OGE có cát tuyến S;X;Y ta có:

$1=\frac{SG}{SO}.\frac{XO}{XE}.\frac{YE}{YG}=\frac{SG}{SO}.\frac{R}{\frac{3}{2}XM}.\frac{CX}{IA}=\frac{SG}{SO}.\frac{2R}{2r}\Rightarrow \frac{SG}{SO}=\frac{3r}{2R}$

=>S cố định

Tương tự; các đường thẳng Euler của tam giác IAC;IAB cũng đi qua S nằm trên đường thẳng Euler của tam giác ABC.

Vây ta có đpcm (S chính là điểm Schiffer của tam giác ABC) :icon6: 



#209 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 542 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 04-04-2020 - 17:00

$\boxed{\text{Bài 99}}$: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).CMR: $\frac{AC}{BD}=\frac{BC.CD+AB.BD}{BC.BA+DC.DA}$

 

Và xin phép đặt cột mốc 100 bài cho topic  :lol: :

$\boxed{\text{Bài 100}}$: Cho đường tròn tâm I nội tiếp $\Delta ABC$ tiếp xúc với BC,AC,AB lần lượt tại D,E,F. Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại K; gọi M là trung điểm BC; P là giao điểm của ID với EF.CMR:

a)A,P,M thẳng hàng.                                                                   b)MI vuông góc với DK.

 

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 04-04-2020 - 18:05


#210 Syndycate

Syndycate

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 241 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ʟucκʏ ʟᴀɴᴅ
  • Sở thích:ɴᴏᴛʜɪɴɢ

Đã gửi 04-04-2020 - 17:17

$\boxed{\text{Bài 99}}$: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).CMR: $\frac{AC}{BD}=\frac{BC.CD+AB.BD}{BC.BA+DC.DA}$

Áp dụng công thức với tam giác nội tiếp:
$S=\frac{abc}{4R}$
Ta có:
$P=\frac{(dt)ABD+(dt)CBD}{dt(DAB)+dt(BAC)}=1$
Từ đó:
$P=\frac{\frac{AB.AD.BD}{4R}+\frac{CB.CB.BD}{4R}}{\frac{BA.BC.AC}{4R}+\frac{DA.DC.AC}{4R}}=\frac{BD.(AD.AB+CD.CB)}{AC.(BA.BC+DA.DC)}=1$
Từ đó $=> dfcm$

" Khi ta đã quyết định con đường cho mình, kẻ được nói ta ngu ngốc chỉ có bản thân ta mà thôi. " - Roronoa Zoro.

 


#211 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 542 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 04-04-2020 - 21:35

$96$
cho tam giác $ABC$ vuông tại A có do dai cạnh huyền BC là số hữu tỉ. vẽ ra phía ngoài tam giác đó hình chữ nhật BCDE sao cho $CD=\frac{BC}{\sqrt{2}}$. Gọi M,N theo thứ tự là giao điểm của AD ,AE với BC. C/m $\sqrt{BM^2+CN^2}$ là số hữu tỉ.

Xin phép giải bài 96:

$\boxed{\text{Bài 96}}$: Gọi K,H lần lượt là giao điểm của ED với AB,AC.

Đặt $\frac{KH}{BC}=\frac{KD}{BM}=\frac{HE}{CN}=a\Rightarrow KH=a.BC;KD=a.BM;HE=a.CN$

$\Rightarrow a^{2}(BM^{2}+CN^{2})=KD^{2}+HE^{2}=KC^{2}-CD^{2}+HB^{2}-BE^{2}=AK^{2}+AC^{2}+AB^{2}+AH^{2}-2CD^{2}=KH^{2}+BC^{2}-BC^{2}=KH^{2}$

$\Rightarrow \sqrt{BM^{2}+CN^{2}}=BC$ (do $KH=a.BC$)

=>đpcm.

geogebra-export (1).png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 04-04-2020 - 21:36


#212 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 542 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 05-04-2020 - 16:09

Xin phép đưa thêm 2 bài nữa cho topic sôi nổi:

$\boxed{\text{Bài 101}}$:(Try hard) Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác đó (O không nằm trên các cạnh tam giác). Điểm M nằm trên tia OA (M khác O,A) sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt tia OB tại giao điểm thứ 2 là N; đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM cắt tia OC tại giao điểm thứ 2 là P.Gọi I,J lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, MNP.CMR: O,I,J thẳng hàng.

Note

 

$\boxed{\text{Bài 102}}$: Cho góc nhọn xOy và điểm C cố định thuộc tia Ox. Điểm A di chuyển trên tia Ox về phía ngoài đoạn OC; điểm B di chuyển trên tia Oy sao cho CA=OB.Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.

Note


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 05-04-2020 - 16:14


#213 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 542 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 06-04-2020 - 14:48

Bài 68:

Cho ˆABx  cố định, trên tia Bx lấy điểm C sao cho AB<AC,AB<BC. Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác  ABC  tiếp xúc với các cạnh  AB,BC,AC  lần lượt tại  I,J,K. Tia BO cắt các đường thẳng JK,AC lần lượt tại  M và D

a) Chứng minh DK.BM=DM.BJ và đường thẳng JK luôn đi qua 1 điểm cố định khi điểm C di động trên tia Bx thỏa mãn giả thiết.

b) Gọi P là giao điểm của đường thẳng KI và đường thẳng BC, đường thẳng AJ cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Chứng minh rằng PN là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Xin phép giải Bài 68 phần b)

$\boxed{\text{Bài 68}}$:b)Gọi G là trung điểm của IK

Ta có: AI là tiếp tuyến; ANJ là cát tuyến đường tròn (O) $\Rightarrow AI^{2}=AN.AJ$

Áp dụng HTL ta có: $AI^{2}=AG.AO$

$\Rightarrow AN.AJ=AG.AO\Rightarrow NJOG$ nội tiếp.

Ta có: OJ vuông góc với PJ; OG vuông góc với PG

=>PGOJ nội tiếp =>5 điểm P,G,N,O,J cùng thuộc 1 đường tròn.

mà $\widehat{OJP}=90^{\circ}\Rightarrow \widehat{ONP}=90^{\circ}$

=>PN là tiếp tuyến của đường tròn (O)

=>đpcm.

geogebra-export (1).png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 06-04-2020 - 14:49


#214 Long Sei

Long Sei

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 47 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng
  • Sở thích:Hình học, Bất đẳng thức

Đã gửi 06-04-2020 - 17:16

Xin phép đưa thêm 2 bài nữa cho topic sôi nổi:

$\boxed{\text{Bài 101}}$:(Try hard) Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác đó (O không nằm trên các cạnh tam giác). Điểm M nằm trên tia OA (M khác O,A) sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt tia OB tại giao điểm thứ 2 là N; đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM cắt tia OC tại giao điểm thứ 2 là P.Gọi I,J lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, MNP.CMR: O,I,J thẳng hàng.

Note

"Giảm độ khó cho bài này một chút nhá"  :D  :D 

 Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác đó (O không nằm trên các cạnh tam giác). Điểm M nằm trên tia OA (M khác O,A) sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt tia OB tại giao điểm thứ 2 là N; đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM cắt tia OC tại giao điểm thứ 2 là P.Gọi I,J lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, MNP. Lấy E đối xứng với N qua OI. CMR M,E,P,N cùng thuộc một đường tròn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Long Sei: 06-04-2020 - 17:29


#215 Long Sei

Long Sei

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 47 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng
  • Sở thích:Hình học, Bất đẳng thức

Đã gửi 06-04-2020 - 17:20

"Giảm độ khó cho bài này một chút nhá"  :D  :D 

Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác đó (O không nằm trên các cạnh tam giác). Điểm M nằm trên tia OA (M khác O,A) sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt tia OB tại giao điểm thứ 2 là N; đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM cắt tia OC tại giao điểm thứ 2 là P.Gọi I,J lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, MNP. Lấy E đối xứng với N qua OI. CMR M,E,P,N cùng thuộc một đường tròn

 

Spoil sưn sưn cái hình...
Lagg.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Long Sei: 06-04-2020 - 17:29


#216 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 542 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 08-04-2020 - 21:00

$\boxed{\text{Bài 101}}$:(Try hard) Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác đó (O không nằm trên các cạnh tam giác). Điểm M nằm trên tia OA (M khác O,A) sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt tia OB tại giao điểm thứ 2 là N; đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM cắt tia OC tại giao điểm thứ 2 là P.Gọi I,J lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, MNP.CMR: O,I,J thẳng hàng.

Note

Xin phép đưa ra lời giải cho bài 101:

$\boxed{\text{Bài 101}}$: Giả sử đường tròn (J) cắt OA,OB,OC lần lượt tại D,E,F.

Ta có: $\widehat{JDO}=\widehat{JDE}-\widehat{ODE};\widehat{IAO}=\widehat{IAB}-\widehat{OAB}$

Lại có:$\widehat{JDE}=\frac{180^{\circ}-\widehat{EJD}}{2};\widehat{EIB}=\frac{180^{\circ}-\widehat{AIB}}{2}$

Mặt khác: $\widehat{EJD}=2\widehat{DFE};\widehat{AIB}=2\widehat{ACB}$

Ta có: $AMNB;AMPC$ nội tiếp $\Rightarrow OM.OA=ON.OB=OP.OC\Rightarrow \Delta OBC\sim \Delta OPN$

Mà $\widehat{OPN}=\widehat{OEF}\Rightarrow \Delta OBC\sim \Delta OEF\Rightarrow \frac{BC}{EF}=\frac{OB}{OE}=\frac{OC}{OF}$

Tương tự ta có:$\frac{AB}{DE}=\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OE};\frac{AC}{DF}=\frac{OA}{OD}=\frac{OC}{OF}\Rightarrow \frac{BC}{EF}=\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}\Rightarrow \Delta ABC\sim \Delta DEF\Rightarrow \widehat{DFE}=\widehat{ACB}\Rightarrow \widehat{JDE}=\widehat{EIB}$

Mà $\widehat{ODE}=\widehat{OAB}\Rightarrow \widehat{JDO}=\widehat{IAO}$

Ta có: $\Delta IAB$ cân tại I;$\Delta JDE$ cân tại J, mà $\widehat{AIB}=\widehat{EJD}\Rightarrow \Delta IAB\sim \Delta JDE\Rightarrow \frac{IA}{JD}=\frac{AB}{DE}$

Mà $\frac{AB}{DE}=\frac{OA}{OD}\Rightarrow \frac{IA}{JD}=\frac{OA}{OD}\Rightarrow \Delta AOI\sim \Delta DOJ\Rightarrow \widehat{AOI}=\widehat{DOJ}$

$\Rightarrow O,I,J$ thẳng hàng (đpcm)

 

*P/s:Sao bạn Long Sei bảo bài của bạn là giảm độ khó mà sao mình thấy độ khó tăng lên gấp bội nhỉ? (Bạn nào muốn chứng minh bài bạn Long Sei có thể sử dụng luôn kết quả bài mình nhé; ko phải CMinh lại đâu(nếu cần))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 09-04-2020 - 15:29


#217 quangboyka7

quangboyka7

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 43 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 09-04-2020 - 15:41

Bài 102. Cho tam giác ABC vuông tại A (AC<AB). Gọi H là hình chiếu của A trên BC, D là điểm nằm trên đoạn AH (D khác A,D khác H). Đường thẳng BD cắt đường tròn tâm C bán kính CA tại E và F(F nằm giữa B và D); M là điểm trên đoạn AB sao cho góc ACF bằng 2 lần góc BFM; MF cắt AH tại N

a) c/m: BH.BC=BE.BF và tứ giác ÈFHC nội tiếp đường tròn

b) c/m: HD là phân giác góc EHF

c)c/m: F là trung điểm MN

 

mọi người xem giúp câu c với



#218 supreme king

supreme king

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Thích gì làm đấy

Đã gửi 09-04-2020 - 16:00

Bài 102. Cho tam giác ABC vuông tại A (AC<AB). Gọi H là hình chiếu của A trên BC, D là điểm nằm trên đoạn AH (D khác A,D khác H). Đường thẳng BD cắt đường tròn tâm C bán kính CA tại E và F(F nằm giữa B và D); M là điểm trên đoạn AB sao cho góc ACF bằng 2 lần góc BFM; MF cắt AH tại N

a) c/m: BH.BC=BE.BF và tứ giác ÈFHC nội tiếp đường tròn

b) c/m: HD là phân giác góc EHF

c)c/m: F là trung điểm MN

 

mọi người xem giúp câu c với

Bạn xem lại bài 72. Bài đấy cũng tương tự bài này


All will be well if you use your mind for your decision, and mind only your decision

                                                                                                                 -Presh Talwalkar-


#219 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 542 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 09-04-2020 - 16:57

$\boxed{\text{Bài 100}}$: Cho đường tròn tâm I nội tiếp $\Delta ABC$ tiếp xúc với BC,AC,AB lần lượt tại D,E,F. Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại K; gọi M là trung điểm BC; P là giao điểm của ID với EF.CMR:

a)A,P,M thẳng hàng.                                                                   b)MI vuông góc với DK.

Xin phép đưa ra lời giải cho bài 100:

$\boxed{\text{Bài 100}}$:

a)Ta có: IA vuông góc với EF; IP vuông góc với AK =>P là trực tâm tam giác AIK.=>AP vuông góc với IK tại H =>ANHK nội tiếp (N là giao của AI với EF)

Kẻ đường thẳng qua P song song với BC cắt AB,AC tại X,Y.

Từ các tứ giác IPXF;IPEY nội tiếp ta suy ra $\widehat{PXI}=\widehat{PFI}=\widehat{PEI}=\widehat{PYI}\Rightarrow \Delta IXY$ cân tại I nên P là trrung điểm XY.

Theo định lý Ta-lét dễ suy ra A,P,M thẳng hàng(đpcm)

b)Lại có: $IH.IK=IN.IA=IF^{2}=ID^{2}\Rightarrow \frac{IH}{ID}=\frac{ID}{IK}\Rightarrow \Delta IHD\sim \Delta IDK$

Tứ giác IDMH nội tiếp $\Rightarrow \widehat{IDH}=\widehat{IMH}$

$\Delta IHD\sim \Delta IDK\Rightarrow \widehat{IDH}=\widehat{IKD}\Rightarrow \widehat{IMH}=\widehat{IKD}$

Mà $\widehat{IMH}+\widehat{MIH}=90^{\circ}\Rightarrow \widehat{IKD}+\widehat{MIH}=90^{\circ}\Rightarrow $IM vuông góc với DK(đpcm)

 

*P/s:Sau 1 thời gian bận bịu;không có thời gian onl thường xuyên; tối nay mình sẽ ra thêm 1 loạt những bài tập nữa cho các bạn cùng luyện tập.Mọi người đón chờ nhé.

                                                                  COMING SOON  :nav:  :nav:  :nav:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 09-04-2020 - 17:04


#220 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 542 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 09-04-2020 - 20:21

Như đã nói; tối nay mình sẽ đưa ra 1 loạt bài toán cho mọi người cùng luyện tập; và sau đây là 1 loạt bài toán đó:

$\boxed{\text{Bài 103}}$: Cho $\Delta ABC$ có các đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại H.Gọi K là giao điểm của EF và AH, M là trung điểm của AH.CMR: K là trực tâm của $\Delta MBC$.

 

$\boxed{\text{Bài 104}}$: Cho 2 đường tròn $(O_{1});(O_{2})$ cắt nhau tại A,B. Trên tia AB lấy điểm M; qua M kẻ 2 tiếp tuyến $ME,MF$ với đường tròn $(O_{1})$ (E,F là các tiếp điểm)(điểm F;$O_{2}$ nằm cùng phía so với AB). Đường thẳng $BE;BF$ cắt đường tròn $(O_{2})$ tại $P,Q$. Gọi I là giao điểm của PQ và EF. CMR: I là trung điểm PQ.

 

$\boxed{\text{Bài 105}}$: Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ và có trực tâm H.

    a) Xác định vị trí của điểm M thuộc cung BC không chứa điểm A sao cho tứ giác $BHCM$ là hình bình hành.

    b) Lấy điểm M là điểm bất kỳ trên cung BC không chứa A. Gọi N và E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB và AC. CMR: $N,H,E$ thẳng hàng.

 

$\boxed{\text{Bài 106}}$: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn (O). Kẻ AH vuông góc với BC $(H\epsilon BC)$ và BE vuông góc với đường kính AD $(E\epsilon AD)$.

    a)CMR: $HE//DC$.

    b)Qua trung điểm K của đoạn thẳng AB kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại M. CMR: $\Delta MHE$ cân.

 

$\boxed{\text{Bài 107}}$: Cho $\Delta ABC$ nhọn $(AB<AC)$. Vẽ đường cao AD và đường phân giác trong AO của $\Delta ABC(D,O\epsilon BC)$. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với $AB,AC$ lần lượt tại M và N.

    a)CMR: $\widehat{BDM}=\widehat{CDN}$

    b)Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt MN tại I. Đường thẳng AI cắt BC tại K. CMR: K là trung điểm cạnh BC.

 

$\boxed{\text{Bài 108}}$: Cho đường tròn $(O)$ đường kính AB cố định, M là 1 điểm thuộc $(O)$ (M khác A,B). Các tiếp tuyến của $(O)$ tại A và M cắt nhau ở C. Đường tròn $(I)$ đi qua M và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C. CD là đường kính của $(I)$. CMR:

    a) $O,M,D$ thẳng hàng.

    b) $\Delta COD$ cân.

    c) Đường thẳng đi qua D và vuông góc với BC luôn đi qua 1 điểm cố định khi M di động trên đường tròn $(O)$.

 

$\boxed{\text{Bài 109}}$: Cho $\Delta ABC$ có $\widehat{A}=60^{\circ}$. Đường tròn tâm I nội tiếp $\Delta ABC$ tiếp xúc với cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Đường thẳng ID cắt EF tại K. Đường thẳng qua K và song song với BC cắt $AB,AC$ theo thứ tự tại $M,N$.

    a) CMR: các tứ giác $IFMK;IMAN$ nội tiếp.

    b) Gọi J là trung điểm BC. CMR: $A,K,J$ thẳng hàng.

    c) Gọi r là bán kính của đường tròn $(I)$ và S là diện tích của tứ giác $IEAF$. Tính S theo r và CMR: $S_{IMN}\geq \frac{S}{4}$ ($S_{IMN}$ là diện tích $\Delta IMN$)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 13-04-2020 - 16:12





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh