$\boxed{\text{Bài 7}}$: Trong mặt phẳng, cho 2 điểm cố định A,B(A khác B).Xét 1 điểm C di động trên mặt phẳng sao cho $\widehat{ACB}=a$, trong đó a là 1 góc cho trước (0<a<180).Đường tròn tâm I nội tiếp $\Delta ABC$ tiếp xúc với các cạnh AB,BC và CA tương ứng tại D,E,F. Các đường thẳng AI và BI lần lượt cắt EF tại M và N.CMR: a)Đường thẳng MN có độ dài không đổi.
b)Đường tròn ngoại tiếp $\Delta DMN$ luôn đi qua 1 điểm cố định.
Mình xin phép đưa ra lời giải cho bài 7:
a)Xét $\Delta AFM$ ta có:
$\widehat{AMF}=180^{\circ}-\widehat{MFA}-\widehat{FAM}=90^{\circ}-\widehat{ECI}-\widehat{FAM}=90^{\circ}-\frac{\widehat{C}+\widehat{A}}{2}=\widehat{IBA}$
mà $\widehat{NIM}=\widehat{AIB}=>\Delta IMN\sim \Delta IBA$
Hạ IH vuông góc với MN ta được: $\frac{MN}{BA}=\frac{IH}{IF}=sin\widehat{EFI}=sin\frac{a}{2}$
=>$MN=BA.sin\frac{a}{2}$ không đổi.
b)Ta có: F và D đối xứng với nhau qua AM=>$\widehat{IMD}=\widehat{IBD}$=>IMBD nội tiếp=>$\widehat{BMA}=90^{\circ}$
Gọi P là trung điểm của AB, ta có: $\widehat{BPM}=2.\widehat{BAM}=\widehat{BAC}$
Do các điểm E và D đối xứng với nhau qua BN nên ta được: $\widehat{MND}=2.\widehat{INM}=2.\widehat{IAB}=\widehat{BAC}$
=>$\widehat{BPM}=\widehat{MND}$
=>M,N,D,P cùng thuộc 1 đường tròn=> đường tròn ngoại tiếp $\Delta DMN$ luôn đi qua điểm P cố định.