Chủ đề này có 417 trả lời

[spirit1234]

$\boxed{\text{Bài 7}}$: Trong mặt phẳng, cho 2 điểm cố định A,B(A khác B).Xét 1 điểm C di động trên mặt phẳng sao cho $\widehat{ACB}=a$, trong đó a là 1 góc cho trước (0<a<180).Đường tròn tâm I nội tiếp $\Delta ABC$ tiếp xúc với các cạnh AB,BC và CA tương ứng tại D,E,F. Các đường thẳng AI và BI lần lượt cắt EF tại M và N.CMR: a)Đường thẳng MN có độ dài không đổi.

                      b)Đường tròn ngoại tiếp $\Delta DMN$ luôn đi qua 1 điểm cố định.

Mình xin phép đưa ra lời giải cho bài 7:

a)Xét $\Delta AFM$ ta có: 

$\widehat{AMF}=180^{\circ}-\widehat{MFA}-\widehat{FAM}=90^{\circ}-\widehat{ECI}-\widehat{FAM}=90^{\circ}-\frac{\widehat{C}+\widehat{A}}{2}=\widehat{IBA}$

mà $\widehat{NIM}=\widehat{AIB}=>\Delta IMN\sim \Delta IBA$

Hạ IH vuông góc với MN ta được: $\frac{MN}{BA}=\frac{IH}{IF}=sin\widehat{EFI}=sin\frac{a}{2}$

=>$MN=BA.sin\frac{a}{2}$ không đổi.

b)Ta có: F và D đối xứng với nhau qua AM=>$\widehat{IMD}=\widehat{IBD}$=>IMBD nội tiếp=>$\widehat{BMA}=90^{\circ}$

Gọi P là trung điểm của AB, ta có: $\widehat{BPM}=2.\widehat{BAM}=\widehat{BAC}$

Do các điểm E và D đối xứng với nhau qua BN nên ta được: $\widehat{MND}=2.\widehat{INM}=2.\widehat{IAB}=\widehat{BAC}$

=>$\widehat{BPM}=\widehat{MND}$

=>M,N,D,P cùng thuộc 1 đường tròn=> đường tròn ngoại tiếp $\Delta DMN$ luôn đi qua điểm P cố định.

[spirit1234]

Mình xin phép góp 3 bài sau:

Bài 16: Cho hình vuông ABCD cạnh a.Cát tuyến Ax qua A cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng DC tại I.CMR: $\frac{1}{AM^{2}}+\frac{1}{AI^{2}}=\frac{1}{a^{2}}$

 

Bài 17:Cho hình thang ABCD (AB//CD,AB<CD).Gọi K,M lần lượt là trung điểm của BD,AC.Đường thẳng qua K và vuông góc với AD cắt đường thẳng qua M và vuông góc với BC tại Q.CMR: a)KM//AB                                     b)QD=QC

 

Bài 18:Giả sử O là trung điểm của đoạn AB=2a.Trên nửa mặt phẳng bờ AB dựng các tia Ax,By cùng vuông góc với AB.Trên tia Ax lấy M, trên tia By lấy N sao cho MN=AM+BN. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên MN.Xác định vị trí của M và N để diện tích $\Delta HAB$ nhỏ nhất.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 18-07-2020 - 16:25

[Peteroldar]

Bài 17:Cho hình thang ABCD (AB//CD,AB<CD).Gọi M,K lần lượt là trung điểm của BD,AC.Đường thẳng qua K và vuông góc với AD cắt đường thẳng qua M và vuông góc với BC tại Q.CMR: a)KM//AB                                     b)QD=QC

Bạn ơi kiểm tra lại bài này đi ạ. Mình vẽ ra thấy $QD\neq QC$

[Peteroldar]

Bài 16: Cho hình vuông ABCD cạnh a.Cát tuyến Ax qua A cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng DC tại I.CMR: $\frac{1}{AM^{2}}+\frac{1}{AI^{2}}=\frac{1}{a^{2}}$

Ta có $AI=\frac{a}{\sin \angle AID}\rightarrow \frac{1}{AI^2}=\frac{\sin^2 \angle AID}{a^2}$

Tương tự $\frac{1}{AM^2}=\frac{\cos^2 \angle BAI}{a^2}$

Suy ra $ \frac{1}{AI^2}+\frac{1}{AM^2}=\frac{\sin^2 \angle AID}{a^2}+\frac{\cos^2 \angle BAI}{a^2}=\frac{1}{a^2}$ do $\angle AID=\angle BAI$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Peteroldar: 13-03-2020 - 09:24

[spirit1234]

Cho tam giác ABC nội tiếp (O). H là trực tâm. AH,BH,CH cắt (O) tại D,E,F. Tìm GTNN của HD/HA+HE/HB+HF/HC

Xin phép đưa ra lời giải cho bài trên:

 Gọi G,I,J lần lượt là giao của AD với BC, BE với AC, CF với AB.

Ta có: $HG=GD, HI=IE, HJ=JF$ (tính chất quen thuộc)

=>$\frac{HD}{HA}=2.\frac{HG}{HA}=\frac{2}{\frac{AG}{HG}-1}=\frac{2}{\frac{S_{ABC}}{S_{HBC}}-1}=\frac{2.S_{HBC}}{S_{HAC}+S_{HAB}}$

Đặt $S_{HBC}=a, S_{HAC}=b, S_{HAB}=c$; ta có: $\frac{HD}{HA}=\frac{2a}{b+c}$

Tương tự, rồi cộng các BĐT vừa nhận đc ta có:

$\frac{VT}{2}=\sum \frac{a}{b+c}$

Dễ thấy biểu thức trên ứng với BĐT Nes-bit => $\frac{VT}{2}\geq \frac{3}{2}$

=> min=3. Dấu "=" xảy ra<=> $\Delta ABC$ đều

[spirit1234]

Bài 16: Cho hình vuông ABCD cạnh a.Cát tuyến Ax qua A cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng DC tại I.CMR: $\frac{1}{AM^{2}}+\frac{1}{AI^{2}}=\frac{1}{a^{2}}$

Cách khác cho bài 16:

 Gọi $\widehat{DIA}=b=>\widehat{MAB}=b$

Ta có:$1=sin^{2}b+cos^{2}b=\frac{a^{2}}{AI^{2}}+\frac{a^{2}}{AM^{2}}$

=>đpcm

***Hình mình giống hình của bạn Peteroldar nên mình xin phép không vẽ lại nữa nhé.

[spirit1234]

Bài 13: Cho tam giác ABC với trực tâm H.CMR: tiếp tuyến chung khác AH của 2 đường tròn nội tiếp các tam giác ABH và ACH đi qua trung điểm cạnh BC.

Đề bài toán rõ ngắn mà làm thì rõ dài, rõ khó, mất cả buổi trưa lẫn chiều mới làm được.

***Hình mình vẽ hơi khó nhìn, mong mọi người thông cảm.

Bài làm:

 Ta chứng minh 2 bổ đề: 

*Bổ đề 1:Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O).Gọi M và N theo thứ tự là tiếp điểm của (O) với AB, CD và K là giao của MN với AC.

             Khi đó: $\frac{KM}{KN}=\frac{AM}{CN}$

     Đây là bổ đề quen thuộc, xin phép không chứng minh lại nữa (**kẻo chứng minh xong chắc đơ tay**)

*Bổ đề 2: Cho tứ giác ABCD. (X);(Y) theo thứ tự là đường tròn nội tiếp các $\Delta ABD, \Delta CBD$.Tiếp tuyến chung trong khác BD của (X),(Y) cắt AC ở T. 

Khi đó:$\frac{TA}{TC}=\frac{cot\frac{\widehat{BAD}}{2}}{cot\frac{\widehat{BCD}}{2}}$

 Chứng minh:

Gọi P,Q,R,S theo thứ tự là giao điểm của tiếp tuyến chung trong khác BC của (X),(Y) với BC,BA,BD,CD.M là giao của CR với BS; N là giao của AR với DQ.E,F là tiếp điểm của (X) với AQ,QR; H,G là tiếp điểm của (Y) với RB,BC theo thứ tự.

Áp dụng định lí Menelaus cho các $\Delta CBD,DRC$ tương ứng với các cát tuyến PRS,BMS, ta có:

$\frac{PC}{PB}.\frac{RB}{RD}.\frac{SD}{SC}=1; \frac{BD}{BR}.\frac{MR}{MC}.\frac{SC}{SD}=1=>\frac{MR}{MC}.\frac{DB}{DR}.\frac{PC}{PB}=1$ (1)

Tương tự: $\frac{QB}{QA}.\frac{DR}{DB}.\frac{NA}{NR}=1$ (2)

Áp dụng định lí Menelauys cho $\Delta ABC$ với cát tuyến QTP, ta có:$\frac{QB}{QA}.\frac{TA}{TC}.\frac{PC}{PB}=1$(3)

Từ (1), (2),(3), theo bổ đề 1 (chú ý rằng $\widehat{FRX}=\widehat{HRY}$), gọi a là số đo của $\widehat{FRX}$, ta có:

$\frac{TA}{TC}=\frac{NA}{NR}.\frac{MR}{MC}=\frac{EA}{FR}.\frac{HR}{GC}=\frac{EA}{EX}.\frac{FX}{FR}.\frac{HR}{HY}.\frac{GY}{GC}=cot\frac{A}{2}.tan\frac{a}{2}.cot\frac{a}{2}.tan\frac{C}{2}=\frac{cot\frac{A}{2}}{cot\frac{C}{2}}$ (***Không có Latex gõ mỏi tay thật)

=>Bổ đề 2 được chứng minh.

Trở lại bài toán:

Gọi M là giao điểm của tiếp tuyến chung trong khác AH của các đường tròn nội tiếp $\Delta ABH,ACH$.

Áp dụng bổ đề 2 cho tứ giác lõm ABHC (chú ý rằng $\widehat{HBA}=\widehat{HCA}$) ta có: MB=MC

=>đpcm

 

[Pizscontrol9]

Mình xin phép góp thêm bài nữa:

Bài 19:Cho tam giác ABC vuông tại A; có AC>AB.Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AB=AD.Qua D dựng đường thẳng vuông góc với BC tại E.Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt DE ở H. CMR: $AH<\frac{\sqrt{2}}{2}.AC$

P/s: Bài này thầy mình vừa giao cho mình làm, mình ngu hình lắm nên phải đưa nên đây hỏi.

       À mà còn bài 15 các bạn làm giúp mình nha.

       Nhân tiện gửi lời cảm ơn đến bạn Spirit1234 đã giúp mình 2 bài và gửi lời cảm ơn topic và anh WaduPunch-người đã lập ra topic này để mọi người cùng vào thảo luận.

      Mong topic ngày càng phát triển.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 18-07-2020 - 16:26

[BurakkuYokuro11]

Mình xin phép góp vào topic 3 bài sau:

Bài 20: Cho tam giác ABC. D,E,F là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp $(I)$ với 3 cạnh BC,CA,AB. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng tiếp xúc đồng thời với đường tròn nội tiếp tam giác AFE, tam giác BEF, tam giác CEB.

Bài 21: Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn bàng tiếp góc B của tam giác ABC tiếp xúc với đường thẳng AC,BC tại B₁,M. Đường tròn bàng tiếp góc C của tam giác ABC tiếp xúc với đường thẳng AB,BC tại C₁,L. X là giao điểm của LC₁ và MB₁. Chứng minh rằng: 

a) AX vuông góc với BC

b) Độ dài AX bằng độ dài bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Bài 22: Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn (O). Hai đường chéo cắt nhau tại P. Trên cạnh AD và BC lấy Q và R, sao cho $PO$ là phân giác trong của góc QPR.  PQ cắt BC tại M, PR cắt AD tại N. CMR:       $\frac{1}{PR}+\frac{1}{PM}=\frac{1}{PN}+\frac{1}{PQ}$ 

 

Gửi lời cảm ơn tới anh WadaPunch đã lập ra topic để mọi người cùng nhau thảo luận và học hỏi. Chúc các em sẽ thành công trong các kì thi sắp tới.   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BurakkuYokuro11: 17-03-2020 - 02:30

[spirit1234]

Xin góp mấy bài sau:

Bài 13: Cho tam giác ABC với trực tâm H.CMR: tiếp tuyến chung khác AH của 2 đường tròn nội tiếp các tam giác ABH và ACH đi qua trung điểm cạnh BC.

Bài 14: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và I là giao điểm 3 đường phân giác trong.CMR: nếu AB²-AC²=2IB²-2IC² thì GI//BC.

Bài 15: Cho tam giác ABC. Tia phân giác của góc BAC cắt tia phân giác của góc ABC ở I và cắt cạnh BC ở E. Đường vuông góc với AE tại E cắt cung BIC của đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC ở H.CMR: AH tiếp xúc với cung BIC.

 

Srry bạn nha, mình mải suy nghĩ cách thứ 2 của bài này quá nên quên không giải bài trên này.

Sau đây mình xin phép đưa ra lời giải cho Bài 15:

 Gọi M là giao điểm thứ 2 của AI với đường tròn (O). 

Theo 1 kết quả quen thuộc ta có: MB=MI=MC.=> M là tâm đường tròn ngoại tiếp BIC=> MB=MH

mà ta có: $\Delta BEM\sim \Delta ABM$ => $EM.AM=MB^{2}=>MH^{2}=EM.AM$=> AH vuông góc với MH=> đpcm

***Còn cách 2 bài này: Bạn có thể lấy thêm giao điểm thứ 2 của đường tròn (M) với EH hoặc là lấy điểm F đối xứng với I qua M rồi sử dụng tính chất của các tam giác đồng dạng cũng được.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 14-03-2020 - 20:02

[spirit1234]

Mình xin phép góp thêm bài nữa:

Bài 19:Cho tam giác ABC vuông tại A; có AC>AB.Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AB=AD.Qua D dựng đường thẳng vuông góc với BC tại E.Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt DE ở H. CMR: $AH<\frac{\sqrt{2}}{2}.AC$

P/s: Bài này thầy mình vừa giao cho mình làm, mình ngu hình lắm nên phải đưa nên đây hỏi.

       À mà còn bài 15 các bạn làm giúp mình nha.

       Nhân tiện gửi lời cảm ơn đến bạn Spirit1234 đã giúp mình 2 bài và gửi lời cảm ơn topic và anh WaduPunch-người đã lập ra topic này để mọi người cùng vào thảo luận.

      Mong topic ngày càng phát triển.

Giúp nốt cho tròn;Bài 19:

 Kẻ AF vuông góc BC, ta có: AF//HE; AH//FE=>AH=FE

Ta có: $\widehat{AEB}=\widehat{ADB}=45^{\circ}$=>AF=FE=AH.

Theo HTL trong tam giác vuông ta có: 

$\frac{1}{AF^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}>\frac{2}{AC^{2}}$ (do AB<AC)

=>$2.AF^{2}<AC^{2}=>AF<\frac{\sqrt{2}}{2}.AC$=> đpcm

[ThuanTri]

Bài 18:Giả sử O là trung điểm của đoạn AB=2a.Trên nửa mặt phẳng bờ AB dựng các tia Ax,By cùng vuông góc với AB.Trên tia Ax lấy M, trên tia By lấy N sao cho MN=AM+BN. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên MN.Xác định vị trí của M và N để diện tích $\Delta HAB$ nhỏ nhất.

Mình nghĩ nên chỉnh đề lại thành Xác định vị trí của M và N để diện tích $\Delta HAB$ lớn nhất.

Gọi $H'$ nằm trên đoạn MN sao cho $MH'=MA$. Suy ra $NH'=NB$.

Ta có các tam giác $MAH'$ và $NH'B$ cân lần lượt tại $M$ và $N$.

Khi đó $180^{o} - (\widehat{MH'A}+\widehat{NH'B}) = 180^{o} - (\widehat{MAH'}+\widehat{NBH'})$

Suy ra $\widehat{AH'B}=\widehat{H'AB}+\widehat{H'BA}$

Suy ra $\widehat{AH'B} = 90^{o}$ nên ta có $OH'=OA$ 

Mặt khác, dễ dàng chứng minh $\Delta MOH'=\Delta MOA$ (c-c-c).

nên $\widehat{MH'O} = \widehat{MAO} = 90^{o}$

Vậy $H'$ là hình chiếu của $O$ lên $MN$.

Mà $H$ cũng là hình chiếu của $O$ lên $MN$

Nên $H'$ $\equiv$ $H$.

Vậy $H$ nằm trên đường tròn đường kính $AB$ cố định.

Diện tích $\Delta HAB$ lớn nhất khi $H$ nằm chính giữa cung $AB$ tức là $MA=AO=OB=BN=a$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThuanTri: 14-03-2020 - 14:52

[WaduPunch]

Chú ý:

++ Các bạn gửi bài để xuất nên đánh số thứ tự cho đúng.

++ Bạn nào chưa biết đánh Latex thì có thể xem thêm ở đây

++ Bạn nào chưa biết vẽ hình thì có thể xem thêm ở đây

++ Các bạn sau khi đăng bài, nếu bài toán đã có lời giải thì không nên xóa bài viết (Vì TOPIC là nơi để mọi người thảo luận chứ không phải chỉ là nơi để hỏi bài)

++ Khi giả bài thì các bạn nên trích dẫn đầu đề để người đọc có thể dễ theo dõi

++ Nghiêm cấm SPAM dưới mọi hình thức, tránh làm loãng TOPIC

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WaduPunch: 14-03-2020 - 15:59

[spirit1234]

Mình xin phép góp thêm bài nữa:

Bài 19:Cho tam giác ABC vuông tại A; có AC>AB.Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AB=AD.Qua D dựng đường thẳng vuông góc với BC tại E.Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt DE ở H. CMR: $AH<\frac{\sqrt{2}}{2}.AC$

P/s: Bài này thầy mình vừa giao cho mình làm, mình ngu hình lắm nên phải đưa nên đây hỏi.

       À mà còn bài 15 các bạn làm giúp mình nha.

       Nhân tiện gửi lời cảm ơn đến bạn Spirit1234 đã giúp mình 2 bài và gửi lời cảm ơn topic và anh WaduPunch-người đã lập ra topic này để mọi người cùng vào thảo luận.

      Mong topic ngày càng phát triển.

Mình xin nêu ra cách 2 cho bài 19:

Ta có: $AH=AF=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{AB.AC}{\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}}\leq \sqrt{\frac{AB.AC}{2}}< \frac{\sqrt{2}}{2}.AC$.

Cách 3: AEHF là hình vuông và AE<AC

=>$\sqrt{2}.AH=AE<AC$=>đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 14-03-2020 - 16:52

[supreme king]

$\boxed{\text{Bài 8}}$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. $H$ là trực tâm. $AH,BH,CH$ cắt $(O)$ tại $D,E,F$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$$A=\frac{HD}{HA}+\frac{HE}{HB}+\frac{HF}{HC}$$

 

Dễ cm được $H$ đối xứng với $D$ qua $G$; $H$ đối xứng với $E$ qua $I$; $H$ đối xứng với $F$ qua $J$

$\Rightarrow HD=2.HG; HE=2.HI; HF=2.HJ$

Đặt $x=^SBHC$; $y=^SAHC$; $z=^SAHB$    ($x,y,z>0$)

Ta có: $\frac{HG}{AH}=\frac{^SHGC}{^SAHC}=\frac{^SHBG}{^SAHB}=\frac{^SHGC+^SHBG}{^SAHC+^SAHB}=\frac{x}{y+z}$

Tường tự: $\frac{HI}{HB}=\frac{y}{z+x}$; $\frac{HJ}{HC}=\frac{z}{x+y}$

Khi đó $A=2(\frac{HG}{AH}+\frac{HI}{HB}+\frac{HJ}{HC})=2(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y})\geq 2.\frac{3}{2}=3$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$ là tam giác đều

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supreme king: 14-03-2020 - 19:39

[spirit1234]

Mình xin phép góp 3 bài sau:

Bài 16: Cho hình vuông ABCD cạnh a.Cát tuyến Ax qua A cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng DC tại I.CMR: $\frac{1}{AM^{2}}+\frac{1}{AI^{2}}=\frac{1}{a^{2}}$

 

Bài 17:Cho hình thang ABCD (AB//CD,AB<CD).Gọi K,M lần lượt là trung điểm của BD,AC.Đường thẳng qua K và vuông góc với AD cắt đường thẳng qua M và vuông góc với BC tại Q.CMR: a)KM//AB                                     b)QD=QC

 

Bài 18:Giả sử O là trung điểm của đoạn AB=2a.Trên nửa mặt phẳng bờ AB dựng các tia Ax,By cùng vuông góc với AB.Trên tia Ax lấy M, trên tia By lấy N sao cho MN=AM+BN. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên MN.Xác định vị trí của M và N để diện tích $\Delta HAB$ nhỏ nhất.

Sau 1 ngày rồi, mình xin phép đưa ra lời giải cho Bài 17:

a)Gọi I là trung điểm của AB.E,R lần lượt là giao điểm của IK, IM với CD.

Theo định lí Ta-let, ta có: $\frac{IK}{KE}=\frac{KB}{KD}=1;\frac{IM}{MR}=\frac{MA}{MC}=1$

=>KM//CD=>KM//AB

b)Ta có: IE//AD,IR//BC=>AIED,BCRI là hình bình hành.=>DE=AI=IB=CR(1)

Mặt khác, ta có: QK vuông góc AD=>QK vuông góc IE,IK=IE.

                          QM vuông góc BC=>QM vuông góc IR,IM=MR.

=>Q nằm trên đường trung trực ER.Theo (1) => QD=QC=>đpcm

*P/s:Đây là bài toán hình trong đề thi vào chuyên toán THPT chuyên Vĩnh Phúc năm học 2009-2010

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 14-03-2020 - 20:17

[spirit1234]

Giải giúp mình với:

$\boxed{\text{Bài 11}}$ Cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có đường cao $BH$. Trên đoạn $BH$ lấy điểm $D$ $(D \neq B, D \neq H)$. Trên tia $AD$ lấy điểm $M$ sao cho $CM = CB$, trên tia $CD$ lấy điểm $N$ sao cho $AN = AB$, biết cả $M, N$ đều nằm ngoài tam giác $ABC$. Gọi $P$ là chân dường vuông góc hạ từ $A$ trên $CN$, $Q$ là chân đường vuông góc hạ từ $C$ trên $AM$. Hai đường thẳng $AP, CQ$ cắt nhau ở $K$. Chứng minh rằng $KM = KN$

 

$\boxed{\text{Bài 12}}$ Cho $\widehat{ABx}$  cố định, trên tia $Bx$ lấy điểm $C$ sao cho $AB<AC,AB<BC$. Đường tròn tâm $O$ nội tiếp tam giác  $ABC$  tiếp xúc với các cạnh  $AB,BC,AC$  lần lượt tại  $I,J,K$. Tia $BO$ cắt các đường thẳng $JK , AC$ lần lượt tại  $M$ và $D$

a) Chứng minh rằng$\widehat{AOB}=90^{\circ}+\frac{1}{2}\widehat{ACB}$  và năm điểm $A,I,O,M,K$ cùng nằm trên 1 đường tròn.

b) Chứng minh $DK.BM=DM.BJ$ và đường thẳng $JK$ luôn đi qua 1 điểm cố định khi điểm $C$ di động trên tia $Bx$ thỏa mãn giả thiết.

c) Gọi $P$ là giao điểm của đường thẳng $KI$ và đường thẳng $BC$, đường thẳng $AJ$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $N$. Chứng minh rằng $PN$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

 

$\boxed{\text{Bài 13}}$ Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$, trên tiếp tuyến tại $A$ lấy điểm $C$. Vẽ cát tuyến $CDE$ (tia $CD$ nằm giữa tia $CA$ và $CO$; $D$ nằm giữa $C$ và $E$). $M$ là giao điểm của $CO$ và $BD$. $F$ là giao điểm của $AM$ và đường tròn $(O)$. chứng minh $E,O,F$ thẳng hàng\

 

*Em chú ý đánh số thứ tự bài nhé

*Srry mọi người, máy mình lag quá, không lên geogebra được; xin phép được không vẽ hình.

Sau đây là bài giải bài 11:

Dễ thấy: D là trực tâm $\Delta KAC$=>KD vuông góc với AC tại H

=>AH.AC=AP.AK và CH.AC=CQ.CK

=> AP.AK=AH.AC=$AB^{2}=AN^{2}$=>ANK vuông tại N

 và CQ.CK=CH.AC=$CB^{2}=CM^{2}$=> CMK vuông tại M

=> $KN^{2}=KP.KA=KQ.KC=KM^{2}$=>KM=KN=> đpcm

[spirit1234]

Mình xin phép góp thêm mấy bài:

$\boxed{\text{Bài 23}}$: Cho đường tròn $(O)$ và dây cung AB. Lấy điểm E trên dây cung AB; E khác A khác B.Qua E vẽ dây cung CD của đường tròn $(O)$.Trên 2 tia DA,DB lấy 2 điểm P,Q đối xứng qua E.Chứng minh rằng đường tròn $(I)$ tiếp xúc với PQ tại E và đi qua C luôn đi qua 1 điểm cố định khi E di động trên dây cung AB.

 

$\boxed{\text{Bài 24}}$: Cho tam giác ABC, P là 1 điểm nằm trong tam giác thỏa mãn PA=PB+PC.Gọi R là điểm chính giữa cung AB chứa P của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABP,S là điểm chính giữa cung AC chứa P của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACP.CMR:2 đường tròn ngoại tiếp tam giác BPS và CPR tiếp xúc nhau.

 

$\boxed{\text{Bài 25}}$: Cho tam giác ABC vuông tại A. D là 1 điểm nằm trong tam giác đó sao cho CD=CA. M là 1 điểm nằm trên cạnh AB sao cho $2.\widehat{BDM}=\widehat{ACD}$; N là giao điểm của MD và đường cao AH của tam giác ABC.CMR: DM=DN. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 18-07-2020 - 16:27

[Pizscontrol9]

Mình cũng xin phép góp thêm mấy bài nữa:

$\boxed{\text{Bài 26}}$: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$ có trực tâm H.Các đường cao BD,CE cắt $(O)$ tại F,G.Dựng FM//GN//BC $(M\epsilon AC;N\epsilon AB)$.Các đường thẳng HM,HN theo thứ tự cắt FG tại K,L. Gọi P là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp $\Delta AED$ với $(O)$; P khác A.CMR: DK,EL cắt nhau tại 1 điểm nằm trên $(O)$

$\boxed{\text{Bài 27}}$: Cho tứ giác ABCD.CMR:$AB.CD+AD.BC\geq AC.BD$

$\boxed{\text{Bài 28}}$: Cho điểm M nằm trong tam giác ABC.Các đường thẳng AM,BM,CM cắt các cạnh đối diện tại D,E,F.CMR: $\frac{AM}{MD}=\frac{AF}{FB}+\frac{AE}{EC}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 18-07-2020 - 16:27

[supreme king]

$\boxed{\text{Bài 27}}$: Cho tứ giác ABCD.CMR:$AB.CD+AD.BC\geq AC.BD$

 

Lấy điểm E nằm trong t/g $ABCD$ sao cho $\Delta AEB \sim \Delta DCB$

$\Rightarrow \frac{BA}{EA}=\frac{BD}{CD}$

$\Rightarrow BA.CD=BD.EA$ (1)

Xét $\Delta BEC$ và $\Delta BAD$ có:

$\Rightarrow \frac{BA}{EB}=\frac{BD}{BC}$ và $\widehat{ABD}=\widehat{EBC}$ (vì $\widehat{ABE}=\widehat{DBC}$)

$\Rightarrow \Delta BEC\sim\Delta BAD$

$\Rightarrow \frac{AD}{BD}=\frac{EC}{BC}$

$\Rightarrow AD.BC=BD.EC$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow AB.CD+AD.BC =BD(AE+EC)\geq AC.BD$ 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t/g $ABCD$ là t/g nội tiếp

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supreme king: 15-03-2020 - 20:26