Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[TOPIC] ÔN THI HÌNH HỌC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN VÀ HSG TỈNH}}$ NĂM HỌC 2019-2020


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 383 trả lời

#61 Peteroldar

Peteroldar

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PUBG
  • Sở thích:PUBG, maths, and so on....

Đã gửi 18-03-2020 - 16:19

$\boxed{\text{Bài 44}}$: Cho $\Delta ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp, $D$ là tiếp điểm trên cạnh $BC$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $BC,AD$. CMR: $E,I,F$ thẳng hàng



#62 supreme king

supreme king

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Thích gì làm đấy

Đã gửi 18-03-2020 - 16:34

$\boxed{\text{Bài 37}}$: Cho tam giác ABC; diện tích S; BC=a,AC=b,AB=c.CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4\sqrt{3}S$

Áp đụng công thức

$S=\frac{\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}{4}$

Do đó

$VP=3\sqrt{\frac{(a+b+c)}{3}(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}\leq\frac{3(a+b+c)^2}{3^2}=\frac{(a+b+c)^2}{3}\leq a^2+b^2+c^2=VT$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác $ABC$ là tam giac đều


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supreme king: 18-03-2020 - 16:35

All will be well if you use your mind for your decision, and mind only your decision

                                                                                                                 -Presh Talwalkar-


#63 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 548 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 18-03-2020 - 17:04



$\boxed{\text{Bài 44}}$: Cho $\Delta ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp, $D$ là tiếp điểm trên cạnh $BC$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $BC,AD$. CMR: $E,I,F$ thẳng hàng

Mình xin phép chém ngay bài 44:

 Ke đường kính GD của đường tròn [I]. Kẻ tiếp tuyến của đường tròn [I] tại G cắt AB,AC tại H,L. Tiếp điểm của [I] với AB,AC lần lượt là J,K.

Dễ thấy:$\Delta BIH$ vuông tại I=> $GH.DB=HJ.JB=IJ^{2}=IK^{2}=KL.KC=GL.CD$ => $\frac{GH}{CD}=\frac{GL}{BD}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số "=" nhau ta có: $\frac{GH}{CD}=\frac{GL}{BD}=\frac{HL}{BC}$.

Mà theo định lý Ta-lét, ta có: $\frac{GH}{BT}=\frac{AH}{AB}=\frac{HL}{BC}=>\frac{GH}{BT}=\frac{GH}{CD}=>CD=BT$

Mà E là trung điểm BC=> E là trung điểm DT=> EI//TG mà FI//AG

=> E,I,F thẳng hàng =>đpcm

geogebra-export (4).png



#64 supreme king

supreme king

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Thích gì làm đấy

Đã gửi 18-03-2020 - 17:15

$\boxed{\text{Bài 38}}$: CMR: $cos36^{\circ}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$ 

Vẽ $\Delta ABC$ có $AC=1$, $\widehat{B}=36^{\circ}$

Đường phân giác của $\widehat{C}$ cắt $AB$ tại $D$; $DH\perp AB$ ( $H\in BC$; $D\in AB$ )

Dễ cm $AC=CD=BD=1$; $BH=HC$

Ta có $cos36^{\circ}=\frac{BH}{BD}$

Đặt $BH=HC=x$ ( $x>0$ ) $\Rightarrow BC=2x; AD=2x-1$

Vì $CD$ là đường phân giác của $\Delta ABC$ nên ta có:

$\frac{BC}{BD}=\frac{CA}{AD}$

$\Rightarrow \frac{2x}{1}=\frac{1}{2x-1}$

$\Rightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$ (vì $x>0$)

Do đó $cos 36^{\circ}= \frac{1+\sqrt{5}}{4}$  

Hình gửi kèm

  • Opera Hình chụp_2020-03-18_165306_www.geogebra.org.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supreme king: 18-03-2020 - 17:23

All will be well if you use your mind for your decision, and mind only your decision

                                                                                                                 -Presh Talwalkar-


#65 supreme king

supreme king

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Thích gì làm đấy

Đã gửi 18-03-2020 - 17:37

$\boxed{\text{Bài 36}}$: Cho tam giác ABC nhọn, có đường cao AD; O và H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giác ABC.Kẻ đường thẳng qua D và vuông góc với OD cắt AB ở K.CMR: $\widehat{DHK}+\widehat{AHC}=180^{\circ}$

Spoiler

$AD$ cắt $(O)$ tại $E$; $EC$ cắt $KD$ tại $F$

Dùng định lý con bướm ta có $KD=DF$

Do đó $\Delta KHD = \Delta FED$

$\Rightarrow \widehat{KHD}=\widehat{FED}=\widehat{ABC}=\widehat{DHC}$

Do đó  $\widehat{DHK}+\widehat{AHC}=180^{\circ}$

Hình gửi kèm

  • Opera Hình chụp_2020-03-18_172835_www.geogebra.org.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supreme king: 18-03-2020 - 20:58

All will be well if you use your mind for your decision, and mind only your decision

                                                                                                                 -Presh Talwalkar-


#66 karobirot

karobirot

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 79 Bài viết

Đã gửi 18-03-2020 - 19:11

Mình xin phép thịt ngay bài 42:

a] Gọi I là trung điểm CH; dễ thấy I là tâm đường tròn ngoại tiếp CED,M là tâm đường tròn ngoại tiếp ABDE.

Ta có: $\widehat{ICE}+\widehat{BAE}=90^{\circ}=>\widehat{IEC}+\widehat{AEM}=90^{\circ}=>\widehat{MEI}=90^{\circ}$=> ME là tiếp tuyến 

Tương tự MD là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp CDE

b]Do MD,ME là tiếp tuyến CDE; MPC là cát tuyến=>$\frac{MD}{MC}=\frac{PD}{CD};\frac{ME}{MC}=\frac{EP}{EC}=>\frac{PD}{CD}=\frac{EP}{EC}$ [Do MD=ME]=>đpcm

c]Dễ thấy:các tứ giác MPHF,HFBD nội tiếp[F là hình chiếu của C xuống AB]=>$CP.CM=CH.CF=CD.CB$=> PMBD nội tiếp.

Ta có: $\widehat{HPB}=360^{\circ}-\widehat{HPD}-\widehat{BPD}=180^{\circ}+\widehat{HCD}-\widehat{BMD}=180^{\circ}+\widehat{BAD}-2\widehat{BAD}=180^{\circ}-\widehat{BAD}$ => HPBA nội tiếp.

Ta có: $\Delta CDE\sim \Delta CAB=> \widehat{MCB}=\widehat{NCE}$

=>$\widehat{PBM}=\widehat{PDM}=\widehat{MCD}=\widehat{NCE}=\widehat{QBA}$$\widehat{PBM}=\widehat{PDM}=\widehat{MCD}=\widehat{NCE}=\widehat{QBA}$ => P và Q đối xứng với nhau qua AB => AB là đường trung trực của PQ.

attachicon.gifgeogebra-export (2).png

chỉ mới chứng minh 2 góc bằng nhau mà sao ra được đối xứng vậy



#67 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 548 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 18-03-2020 - 20:27

Mình xin góp mấy bài, các bạn cùng thảo luận nhé!

$\boxed{\text{Bài 39}}$:Cho tam giác $ABC$ có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh: Nếu M,N lần lượt là đối xứng của D qua AB,AC thì M, N, E, F thẳng hàng.

$\boxed{\text{Bài 40}}$:Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ (AB<AC). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi $P$, $Q$ là giao điểm của EF với $(O)$ ($F$ nằm giữa $E$ và $P$), $M$ là giao điểm của BQ và DF, $N$ là giao điểm của CP và DE. Chứng minh:

a) tam giác APQ cân.

b) 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.

$\boxed{\text{Bài 41}}$:Cho đoạn thẳng OA=R, vẽ đường tròn $(O;R)$. Trên đường tròn $(O,R)$ lấy $H$ bất kì sao cho AH<R, qua $H$ vẽ đường thẳng $a$ tiếp xúc với đường tròn $(O,R)$. Trên đường thẳng $a$ lấy $B$ và $C$ sao cho $H$ nằm giữa $B$ và $C$ và AB=AC=R. Vẽ $HM$ vuông góc với $OB$ (M thuộc OB), vẽ HN vuông góc với OC (N thuộc OC). Chứng minh: OM.OB=ON.OC và $MN$ luôn đi qua 1 điểm cố định.

P/s: -Bài 39 khá dễ. Bài 40b) có thể sử dụng kết quả của bài 39. Nếu các bạn có cách khác thì mình sẽ đưa ra lời giải của mình.

Topic thực sự rất bổ ích ở mảng Hình Học cho các bạn có ý định thi vào chuyên toán và thi HSG cấp tỉnh. Mong các bạn cố gắng thảo luận nhiệt tình để Topic phát triển hơn nhé! :icon6: 

Mình xin phép giải bài 41:

Áp dụng HTL ta có:$ON.OC=OH^{2}=OM.OB$

Ta có: $ON.OC=OH^{2}=OA^{2}$, chung góc O =>$\Delta ONA\sim \Delta OAC$ => tam giác ONA cân tại N=>ON=NA

Tương tự; OM=MA => MN là trung trực OA=> MN đi qua trung điểm OA cố định.

geogebra-export (5).png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 20-03-2020 - 21:26


#68 Pizscontrol9

Pizscontrol9

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:làm việc mình thích

Đã gửi 18-03-2020 - 20:43

Mình xin góp mấy bài, các bạn cùng thảo luận nhé!

$\boxed{\text{Bài 39}}$:Cho tam giác $ABC$ có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh: Nếu M,N lần lượt là đối xứng của D qua AB,AC thì M, N, E, F thẳng hàng.

$\boxed{\text{Bài 40}}$:Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ (AB<AC). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi $P$, $Q$ là giao điểm của EF với $(O)$ ($F$ nằm giữa $E$ và $P$), $M$ là giao điểm của BQ và DF, $N$ là giao điểm của CP và DE. Chứng minh:

a) tam giác APQ cân.

b) 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.

$\boxed{\text{Bài 41}}$:Cho đoạn thẳng OA=R, vẽ đường tròn $(O;R)$. Trên đường tròn $(O,R)$ lấy $H$ bất kì sao cho AH<R, qua $H$ vẽ đường thẳng $a$ tiếp xúc với đường tròn $(O,R)$. Trên đường thẳng $a$ lấy $B$ và $C$ sao cho $H$ nằm giữa $B$ và $C$ và AB=AC=R. Vẽ $HM$ vuông góc với $OB$ (M thuộc OB), vẽ HN vuông góc với OC (N thuộc OC). Chứng minh: OM.OB=ON.OC và $MN$ luôn đi qua 1 điểm cố định.

P/s: -Bài 39 khá dễ. Bài 40b) có thể sử dụng kết quả của bài 39. Nếu các bạn có cách khác thì mình sẽ đưa ra lời giải của mình.

Topic thực sự rất bổ ích ở mảng Hình Học cho các bạn có ý định thi vào chuyên toán và thi HSG cấp tỉnh. Mong các bạn cố gắng thảo luận nhiệt tình để Topic phát triển hơn nhé! :icon6: 

Bài 40:Mình tài hèn sức mọn chỉ dám xin phép làm phần a thôi còn phần b xin mời các cao nhân vào làm:

a.Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn O. Ta chứng minh được tính chất quen thuộc của đường tròn: OA vuông góc EF=> OA vuông góc với PQ tại trung điểm của PQ=> APQ cân tại A=>đpcm

geogebra-export.png



#69 supreme king

supreme king

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Thích gì làm đấy

Đã gửi 18-03-2020 - 20:55

$\boxed{\text{Bài 40}}$:Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ (AB<AC). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi $P$, $Q$ là giao điểm của EF với $(O)$ ($F$ nằm giữa $E$ và $P$), $M$ là giao điểm của BQ và DF, $N$ là giao điểm của CP và DE. Chứng minh:

a) tam giác APQ cân.

b) 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.

a)

Opera Hình chụp_2020-03-18_203605_www.geogebra.org.png

Cách 2

Đường kính $AG$ cắt $EF$ tại I

Ta có

$\widehat{ABC}=\widehat{ABC}=\widehat{AEF}$

$\Rightarrow \Delta AIE \sim \Delta ACG$

$\Rightarrow \widehat{AIE}=\widehat{ACG}=90^{\circ}$

$\Rightarrow AG \perp PQ$

$\Rightarrow$ $I$ đối xứng với $Q$ qua $AG$

$\Rightarrow AP=AQ$

Do đó $\Delta APQ$ cân

b)

Opera Hình chụp_2020-03-18_204456_www.geogebra.org.png

Ta có $AP=AQ$ (1)

$\Rightarrow$ cung $AP=$ cung $AQ$

$\Rightarrow \widehat{PBA}=\widehat{ABQ}$ 

Lại có  $\widehat{PFB}=\widehat{AFE}=\widehat{BFD}$ 

$\Rightarrow \Delta PFB = \Delta MFB$

$\Rightarrow PB=PM; PF=FM$

$\Rightarrow$ $P$ đối xứng với $M$ qua $AB$

$\Rightarrow AP=AM$ (2)

cmtt $AN=AQ$ (3)

Từ (1); (2); (3) $\Rightarrow AP=AQ=AM=AN$ 

$\Rightarrow$ 4 điểm $M, N, P, Q$ cùng thuộc một đường tròn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supreme king: 18-03-2020 - 21:07

All will be well if you use your mind for your decision, and mind only your decision

                                                                                                                 -Presh Talwalkar-


#70 RyuseiKento

RyuseiKento

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 48 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Anime, Bóng đá, Hình học

Đã gửi 18-03-2020 - 21:01

 

b)

attachicon.gifOpera Hình chụp_2020-03-18_204456_www.geogebra.org.png

Ta có $AP=AQ$ (0)

$\Rightarrow$ cung $AP=$ cung $AQ$

$\Rightarrow \widehat{PBA}=\widehat{ABQ}$ (1)

Lại có  $\widehat{PFB}=\widehat{AFE}=\widehat{BFD}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $P$ đối xứng với $M$ qua $AB$

$\Rightarrow AP=AM$ (3)

cmtt $AN=AQ$ (4)

Từ (0); (3); (4) $\Rightarrow$  đpcm

Bạn ơi, ở đây mới chỉ chứng minh được AB là đường phân giác chứ chưa CM được P và M đối xứng qua AB đâu. Bạn xem lại nhé! 



#71 RyuseiKento

RyuseiKento

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 48 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Anime, Bóng đá, Hình học

Đã gửi 18-03-2020 - 21:03

Oh. Mình xin lỗi mình chưa xem kĩ. Tay nhanh hơn não rồi. Bạn supreme king đã làm đúng rồi đó  :icon6:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi RyuseiKento: 18-03-2020 - 21:16


#72 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 548 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 18-03-2020 - 21:22



Mình cũng xin góp mấy bài BĐT hình học:

$\boxed{\text{Bài 33}}$:Gọi I và R lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.IA,IB,IC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D,E,F tương ứng.CMR: $2R+\frac{IA+IB+IC}{3}\geq ID+IE+IF\geq \frac{5}{2}.R+\frac{IA+IB+IC}{6}$.

$\boxed{\text{Bài 34}}$: Cho tam giác ABC có các đường cao AD,BE,CF đồng quy tại H.CMR:$\frac{HA}{HD}+\frac{HB}{HF}+\frac{HC}{HE}+6\sqrt{3}\geq 6+\frac{a}{HD}+\frac{b}{HE}+\frac{c}{HF}$ với a=BC,b=AC,c=AB

TH2 bài 34: tam giác ABC tù:[mất cả ngày mới làm được đó; công nhận khó thiệt]

Không mất tính tổng quát,giả sử $\widehat{BAC}>90^{\circ}$.

Đặt $cot\widehat{BHC}=m;cot\widehat{HBC}=n;cot\widehat{HCB}=p$ thì $m,n,p>0$và $mn+pm+np=1$

Vì $\widehat{BAD}=\widehat{HCB}=>\frac{HA}{HD}=1-\frac{AD}{HD}=1-\frac{BD}{HD}.\frac{AD}{BD}=1-np$

Vì $\widehat{BAE}=\widehat{BHC};\widehat{HAE}=\widehat{HBC}=>\frac{HB}{HE}=1+\frac{BE}{HE}=1+\frac{BE}{AE}.\frac{AE}{HE}=1+\frac{n}{m}$

Tương tự có: $\frac{HC}{HF}=1+\frac{p}{m}$

Vì $\widehat{CAD}=\widehat{HBC};\widehat{BAD}=\widehat{HCB}=>\frac{a}{HD}=\frac{CD}{HD}+\frac{BD}{HD}=n+p$

Vì $\widehat{HAF}=\widehat{HBC}=>\frac{b}{HF}=\frac{CF}{HF}-\frac{AF}{HF}=\frac{1}{m}-n$

Tương tự có: $\frac{c}{HF}=\frac{1}{m}-p$

BĐT cần chứng minh tương đương với: 

$1-np+1+\frac{n}{m}+1+\frac{p}{m}+6\sqrt{3}\geq 6+n+p+\frac{1}{m}-n+\frac{1}{m}-p$

$<=>1-np+\frac{n+p}{m}+6\sqrt{3}-4\geq \frac{2}{m}$ [*]

Ta thấy: $6\sqrt{3}-4>2;m=\frac{1-np}{n+p};np<1=>VT[*]>0+\frac{[n+p]^{2}}{1-np}+2=\frac{[n-1]^{2}+[p-1]^{2}+2[n+p]}{1-np}\geq \frac{2n+2p}{1-np}=\frac{2}{m}$

=>đpcm và đẳng thức không xảy ra khi ABC tù.

geogebra-export (1).png

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 19-03-2020 - 14:43


#73 Peteroldar

Peteroldar

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PUBG
  • Sở thích:PUBG, maths, and so on....

Đã gửi 18-03-2020 - 21:29

$\boxed{\text{Bài 45}}$. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$, có $M$ là trung điểm của $BD$. Gọi $P,Q$ lần lượt là giao điểm của $AD$ và $BC$, $AB$ và $CD$. Biết $\angle APQ=90^{\circ}$, CMR $PM\perp AB$



#74 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 548 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 18-03-2020 - 21:39

Xin phép góp thêm bài nữa:

$\boxed{\text{Bài 46}}$:Cho tam giác ABC vuông tại A, đường tròn tâm B bán kính BA và đường tròn tâm C bán kính CA cắt nhau tại D khác A,BC cắt [B] tại E,F [F nằm trong[C]] và cắt [C] tại M,N [M nằm trong [B]].Đường thẳng DM cắt AE tại P, DF cắt AN tại Q.Kéo dài DM cắt [B] tại I, DF cắt [C] tại H.CMR:

a]IB vuông góc với EF.                                    b]APDQ nội tiếp và PQ//EN                            c]$\frac{IP}{IM}.\frac{HF}{HQ}=\frac{AB}{AC}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 20-03-2020 - 21:28


#75 supreme king

supreme king

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Thích gì làm đấy

Đã gửi 18-03-2020 - 22:31



$\boxed{\text{Bài 46}}$:Cho tam giác ABC vuông tại A, đường tròn tâm B bán kính BA và đường tròn tâm C bán kính CA cắt nhau tại D khác A,BC cắt [B] tại E,F [F nằm trong[C]] và cắt [C] tại M,N [M nằm trong [B]].Đường thẳng DM cắt AE tại P, DF cắt AN tại Q.Kéo dài DM cắt [B] tại I, DF cắt [C] tại H.CMR:

a]IB vuông góc với EF.                                   

a)

Dễ cm $A$ đối xứng với $D$ qua $BC$

Ta có:

$\widehat{HFC}=\widehat{MFD}=\widehat{AFB}=\widehat{FAB}$

$\widehat{DHC}=\widehat{HDC}=\widehat{FAC}$

Do đó $\widehat{HFC}+\widehat{DHC}=\widehat{FAB}+\widehat{FAC}=90^{\circ}$

Do đó $HC \perp MN $

cmtt $IB \perp EF$

Hình gửi kèm

  • Opera Hình chụp_2020-03-18_222242_www.geogebra.org.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supreme king: 18-03-2020 - 22:32

All will be well if you use your mind for your decision, and mind only your decision

                                                                                                                 -Presh Talwalkar-


#76 supreme king

supreme king

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Thích gì làm đấy

Đã gửi 18-03-2020 - 22:46



$\boxed{\text{Bài 46}}$:Cho tam giác ABC vuông tại A, đường tròn tâm B bán kính BA và đường tròn tâm C bán kính CA cắt nhau tại D khác A,BC cắt [B] tại E,F [F nằm trong[C]] và cắt [C] tại M,N [M nằm trong [B]].Đường thẳng DM cắt AE tại P, DF cắt AN tại Q.Kéo dài DM cắt [B] tại I, DF cắt [C] tại H.CMR:

b]APDQ nội tiếp và PQ//EN

b)

Ta có $\widehat{PAQ}+\widehat{MDF}=\widehat{MAE}+\widehat{PAM}+\widehat{FAN}+\widehat{MAE}=\widehat{EAF}+\widehat{MAN}=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$

$\Rightarrow APDQ$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{AQP}=\widehat{ADP}=\widehat{ANM}$

$\Rightarrow PQ//EN$

Hình gửi kèm

  • Opera Hình chụp_2020-03-18_223230_www.geogebra.org.png

All will be well if you use your mind for your decision, and mind only your decision

                                                                                                                 -Presh Talwalkar-


#77 RyuseiKento

RyuseiKento

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 48 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Anime, Bóng đá, Hình học

Đã gửi 18-03-2020 - 23:18

 

$\boxed{\text{Bài 29}}$:(Bất đẳng thức hình học) Cho $(O;R)$ và điểm A nằm ngoài $(O)$, kẻ các tiếp tuyến AB,AC đến $(O)$. Đường thẳng qua O vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB,AC lần lượt tại M,N.Trên cung nhỏ BC lấy điểm K bất kỳ; Tiếp tuyến tại K của đường tròn O cắt AB,AC lần lượt tại P,Q.CMR: $PM+QN\geq MN$

 

Lời giải bài 29:

Bai29.png

Ta chứng minh: $\triangle{OPM}$ $\sim$ $\triangle{QON}$ . (Khá quen thuộc)

Dễ dàng chứng minh:$\triangle{AMN}$ cân tại A $\Rightarrow$ $\widehat{M}$=$\widehat{N}$

Ta có: $\triangle{OBM}$=$\triangle{OCN}$ $\Rightarrow$ $\widehat{BOM}$=$\widehat{CON}$

      và: $\widehat{BOP}$=$\widehat{KOP}$. (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Mà:$\widehat{POM}$=$\widehat{BOM}$+$\widehat{BOP}$

nên: 2.$\widehat{POM}$=$\widehat{BOM}$+$\widehat{BOP}$+$\widehat{CON}$+$\widehat{KOP}$=$\widehat{MOK}$+$\widehat{CON}$

Lại có:2.$\widehat{OQN}$=$\widehat{KQO}$+$\widehat{CQO}$=2.$90^o$-($\widehat{KOQ}$+$\widehat{COQ}$)=$180^o$-$\widehat{KOC}$=$\widehat{MOK}$+$\widehat{CON}$

Suy ra:$\widehat{POM}$=$\widehat{OQN}$ $\Rightarrow$  $\triangle{OPM}$ $\sim$ $\triangle{QON}$

$\Rightarrow$ $\frac{PM}{OM}$= $\frac{ON}{QN}$ $\Rightarrow$ PM.QN=OM.ON=$\frac{MN}{2}$.$\frac{MN}{2}$=$\frac{MN^{2}}{4}$

Áp dụng Cauchy ta có: $(PM+QN)^{2}$ $\geq$ 4.PM.QN=$MN^{2}$ hay PM+QN $\geq$ MN
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ PM=QN $\Leftrightarrow$ PB=PK=QK=QC $\Leftrightarrow$ K thuộc OA.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi RyuseiKento: 18-03-2020 - 23:32


#78 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 548 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 19-03-2020 - 10:50

Mình xin góp mấy bài

Bài 42: Cho ABC nhọn. Hai đường cao AD,BE cắt nhau tại H .Gọi M,N tương ứng là trung điểm của AB và DE . CM cắt đường tròn ngoại tiếp ΔCDE tại P khác C . CN cắt đường tròn ngoại tiếp Δ

ABC tại Q khác C.

1)Chứng minh : MD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp CDE

2)Chứng minh CD/CE=PD/PE

3)Xác định đường trung trực của QP.

Bài 43: Cho △ABC nhọn nội tiếp (O), tiếp tuyến tại C cắt AB tại G. Qua A vẽ đường thẳng song song với CG cắt (O) tại điểm thứ hai M. Trên cung nhỏ BM lấy D tuỳ ý. Gọi E là điểm trên (O) sao cho CE//AD, Gọi F là giao điểm CDBE

.a)Chứng minh: GF//AD

b)Khi D thay đổi, tìm quỹ tích điểm F.

Mình xin phép làm bài 43:

 a]Trước hết ta CMinh: GCFB nội tiếp.

Thật vậy; ta có: $\widehat{BGC}=180^{\circ}-\widehat{GBC}-\widehat{GCB}=180^{\circ}-\frac{sđCDA}{2}-frac{sđCB}{2}=\frac{sđCEA}{2}-\frac{sđCB}{2}=\frac{sđDB+sđCE}{2}=\widehat{DFB}$ [do sđCD=sđAE]

=>GCFB nội tiếp =>$\widehat{DFG}=\widehat{DFB}+\widehat{BCG}=\frac{sđDCE}{2}=\frac{sđAEC}{2}=\widehat{ADC}$

=>GF//AD=>đpcm

b]Ta có: $\widehat{BFC}=180^{\circ}-\widehat{BGC}$ cố định

=> F thuộc cung tròn BC; góc $180^{\circ}-\widehat{GBC}$

geogebra-export (6).png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 19-03-2020 - 14:56


#79 karobirot

karobirot

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 79 Bài viết

Đã gửi 19-03-2020 - 14:10

Mình xin góp mấy bài, các bạn cùng thảo luận nhé!

Bài 47: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC). AH là đường cao, AD là phân giác. Qua A kẻ đường vuông góc với AD cắt đường tròn đường kính AB và AC lần lượt tại M,N. Đường thẳng BN cắt AD tại P và cắt đường tròn đường kính thứ hai tại Q (khác N).CM: góc PQD= góc PDH.

Bài 48: cho đường tròn (O) và dây BC cố định, A di chuyển trên cung lớn BC . Điểm M thuộc AC sao cho 3.MA=CA. đường thẳng qua M vuông góc với AB tại H. chứng minh H thuộc 1 đường tròn cố định


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi karobirot: 19-03-2020 - 18:35


#80 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 548 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 19-03-2020 - 16:58

Mình xin góp 1 loạt phần toán liên quan đến cát tuyến,tiếp tuyến với đường tròn mời các hảo hán cùng vào làm:

$\boxed{\text{Bài 49}}$: Cho đường tròn tâm O,bán kính R và 1 điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA,MB đến đường tròn và cát tuyến MCD sao cho MC<MD.Gọi E là trung điểm của CD, đoạn thẳng MO cắt đường tròn O và AB lần lượt tại I,H.Khi đó cần chứng minh các tính chất sau:

1]5 điểm M,A,O,E,B nằm trên 1 đường tròn.

2]ME là tia phân giác góc AEB.

3]$MA^{2}=MC.MD$.

4]$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{BD}$

5]I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB

6]Tứ giác CHOD nội tiếp

7]AB chứa đường phân giác góc CHD.

8]$\widehat{CAD}=\widehat{BHD}$

9]OE kéo dài cắt AB tại K thì KC,KD là tiếp tuyến của đường tròn O

10]AE cắt đường tròn O tại giao điểm thứ 2 là F[F khác A].Khi đó: BF//CD

11]Tia CH cắt đường tròn O tại giao điểm thứ 2 là P[khác C] thì DP//AB

12]Đường thẳng qua E song song với BD cắt AB tại N.Khi đó CN vuông góc OB.

13]Vẽ đường kính AQ, các đường thẳng QC,QD cắt đường thẳng MO lần lượt tại X,Y thì O là trung điểm XY.

14]Đường thẳng qua trung điểm E của CD song song với AD cắt AB tại F, DF cắt AM tại $N_{1}$ thì $N_{1}$ là trung điểm AM

15]Qua M dựng cát tuyến thứ 2 của đường tròn O là $MC_{1}D_{1}$.CMR: $CD_{1};C_{1}D$ cắt nhau tại 1 điểm nằm trên AB.

16]Giả sử MC cắt AB tại K.Gọi L là trung điểm MK ta có các hệ thức sau tường đương nhau:$\frac{KC}{KD}=\frac{MC}{MD};LM^{2}=LK^{2}=LC.LD;ME.MK=MC.MD$

17]Kẻ đường kính CC' của đường tròn O; đường thẳng đi qua trung điểm của BD //BC' cắt C'D tại J' thì J' nằm trên 1 đường tròn có bán kính không đổi.

18]Giả sử M cố định ,chứng minh: Khi cát tuyến MCD thay đổi, trọng tâm G của Tam giác BCD thuộc 1 đường tròn cố định 

19]Giả sử M cố định, chứng minh: Tia BO cắt đường tròn O tại giao điểm thứ 2 là L[L khác B].Đường thẳng ML cắt đường tròn O tại giao điểm thứ 2 là T[khác L].CMR: đường tròn ngoại tiếp tam giác ATM luôn tiếp xúc với đường thẳng cố định

20]Giả sử M thuộc đường thẳng cố định d.MO cắt AB tại H.CMR: H thuộc đường tròn cố định.

21]Giả sử M cố định nằm ngoài đường tròn O, cát tuyến MCD thay đổi quanh điểm M.Đường thẳng BE cắt đường tròn O tại giao điểm thứ 2 là $B_{1}$ [khác B].Tìm vị trí cát tuyến MCD để diện tích tam giác $MB_{1}D$ lớn nhất.

22]Giả sử M thay đổi ở ngoài O.Đường thẳng qua O vuông góc với MO cắt các tia MA,MB tại S,W.Khi nào diện tích tam giác MSW nhỏ nhất.

23]Giả sử MO=2R, cát tuyến MCD thay đổi quanh M.Tìm vị trí của cát tuyến để EA+EB+EM lớn nhất.

24]Giả sử MO=2R, cát tuyến MCD thay đổi quanh M.Tìm vị trí cát tuyến để $\frac{1}{EA}+\frac{1}{EB}$ nhỏ nhất.

 

***P/s: Nếu thích dạng ra bài kiểu chùm bài toán thế này; các bạn có thể like hoặc gửi tin nhắn trực tiếp cho mình để góp ý về kiểu bài này.Nếu các bạn ưa thích kiểu bài thế này; những lần sau mình sẽ có thể tiếp tục đưa ra những chùm bài toán như thế này tiếp cho mọi người cùng luyện tập[VD: đường tròn ngoại tiếp tam giác; đường tròn ngoại tiếp tam giác;...].Nếu các bạn có các bài toán liên quan về tiếp tuyến cát tuyến muốn đưa vào chùm bài toán này; có thể ghi tiếp:VD: 49.25]...

  :like  :like  :like  :like  :like :lol:  :lol:  


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 20-03-2020 - 18:41





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh