Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[TOPIC] ÔN THI HÌNH HỌC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN VÀ HSG TỈNH}}$ NĂM HỌC 2019-2020


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 232 trả lời

#121 spirit1234

spirit1234

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 323 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 25-03-2020 - 15:08

Mình thấy topic rất bổ ích cho các bạn sắp thi HSG tỉnh và thi vào cấp 3 như mình; mình xin phép cảm ơn topic và anh WaduPunch.

Mình xin góp 1 bài cho topic mong topic ngày càng phát triển:

$\boxed{\text{Bài 63}}$: (thấy bạn @spirit1234 bảo thích cực trị hình học nên mình thử đưa bài này thử sức mọi người):

Trong tam giác ngoại tiếp đường tròn tâm O bán kính r, hãy xác định dạng của tam giác sao cho tổng độ dài 3 đường cao đạt GTNN.Tính GTNN đó.

*P/s: sao có mấy bài của bạn @Spirit1234 bị lỗi Latex kìa bạn. Mong bạn sửa lại cho mọi người dễ đọc hơn.

Cách của bạn Supremeking hay đó; còn đây là cách của mình.

$\text{Cách 2}$:Gọi $h_{a};h_{b};h_{c}$ là độ dài các đường cao tương ứng với các cạnh $a,b,c$ của $\Delta ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(O)$.

Ta có đẳng thức quen thuộc sau: $\frac{r}{h_{a}}+\frac{r}{h_{b}}+\frac{r}{h_{c}}=1$

Ta có: $h_{a}+h_{b}+h_{c}=(h_{a}+h_{b}+h_{c})(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}})r\geq 9r$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow h_{a}=h_{b}=h_{c}=3r; h_{a}+h_{b}+h_{c}=9r$; lúc đó $\Delta ABC$ đều.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 26-03-2020 - 20:32

No pressure, no diamond    -_-  :icon11:  ;) 


#122 spirit1234

spirit1234

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 323 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 25-03-2020 - 15:13

Cũng xin góp bài nữa:

$\boxed{\text{Bài 66}}$: Cho 1 cung tròn AB.M là 1 điểm di động trên cung tròn đó.Xác định vị trí của điểm M sao cho MA+MB đạt GTLN.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 27-03-2020 - 20:50

No pressure, no diamond    -_-  :icon11:  ;) 


#123 spirit1234

spirit1234

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 323 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 25-03-2020 - 18:17

$\boxed{\text{Bài 62}}$: Cho $\widehat{xOy}=90^{\circ}$. Vẽ hình chữ nhật $OEPF$ với $OE=1;OF=8$ ($E\in Ox; F\in Oy$) . Đường thẳng $d$ đi qua $P$ cắt các tia $Ox$ và $Oy$ lần lượt tại $M$ và $N$. Tìm min của $MN$

Lại 1 pha ngớ hình nữa của mình; nghĩ cả tiếng mới ra kkk... mà ra rồi cũng chẳng biết mình đúng hay sai; cả bạn xem thử rồi góp ý nhé.

$\boxed{\text{Bài 62}}$: Gọi $OM=x\Rightarrow ME=x-1$.

Dễ thấy: $\Delta MEP\sim \Delta MON\Rightarrow \frac{EP}{ON}=\frac{ME}{OM}\Leftrightarrow \frac{8}{ON}=\frac{x-1}{x}\Rightarrow ON=\frac{8x}{x-1}$

Ta có: $MN=\sqrt{OM^{2}+ON^{2}}\geq \sqrt{2.OM.ON}=\sqrt{\frac{16.x^{2}}{x-1}}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=\frac{8x}{x-1}\Rightarrow x=9$

$\Rightarrow MN=9\sqrt{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 26-03-2020 - 20:33

No pressure, no diamond    -_-  :icon11:  ;) 


#124 supreme king

supreme king

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Thích gì làm đấy

Đã gửi 25-03-2020 - 18:24

Ta có: $MN=\sqrt{OM^{2}+ON^{2}}\geq \sqrt{2.OM.ON}=\sqrt{\frac{16.x^{2}}{x-1}}$

$x=OM$ luôn đổi mà bạn; phải $\geq$ cái j đấy ko đổi

Mai mình sẽ đưa ra lời giải


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supreme king: 25-03-2020 - 18:33

All will be well if you use your mind for your decision, and mind only your decision

                                                                                                                 -Presh Talwalkar-


#125 spirit1234

spirit1234

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 323 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 25-03-2020 - 18:35

$x=OM$ luôn đổi mà bạn; phải $\geq$ cái j đấy ko đổi
Mai mình sẽ đưa ra lời giải

Uk, nhưng mình tìm dấu bằng xảy ra rồi dẫn đến 1 giá trị của x để MN min mà bạn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 26-03-2020 - 20:33

No pressure, no diamond    -_-  :icon11:  ;) 


#126 supreme king

supreme king

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Thích gì làm đấy

Đã gửi 25-03-2020 - 18:41

Uk, nhưng mình tìm dấu bằng xảy ra rồi dẫn đến 1 giá trị của x để MN min mà bạn

Cho dù bạn có tìm đc dấu bằng thì bạn cũng dâu có cm đc $MN\geq 9\sqrt{2}$

Đâu thể thay $x=9$ vào $MN\geq \sqrt{\frac{16.x^{2}}{x-1}}$ để đc $MN\geq 9\sqrt{2}$ đúng không

Nên Min MN ko phải $9\sqrt{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supreme king: 25-03-2020 - 18:49

All will be well if you use your mind for your decision, and mind only your decision

                                                                                                                 -Presh Talwalkar-


#127 spirit1234

spirit1234

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 323 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 25-03-2020 - 19:47

Cho dù bạn có tìm đc dấu bằng thì bạn cũng dâu có cm đc $MN\geq 9\sqrt{2}$

Đâu thể thay $x=9$ vào $MN\geq \sqrt{\frac{16.x^{2}}{x-1}}$ để đc $MN\geq 9\sqrt{2}$ đúng không

Nên Min MN ko phải $9\sqrt{2}$

Đó là dấu "=" xảy ra đó bạn; dấu "=" xảy ra thì thay vào đc MN thôi; đấy là tớ nghĩ vậy.

Theo bạn thì min MN = bao nhiêu; mình đợi bạn đưa ra lời giải đó; để xem lời giải mình sai ở đâu; chứ mình thấy lời giải của mình đọc qua thì cũng có lý mà.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 26-03-2020 - 20:33

No pressure, no diamond    -_-  :icon11:  ;) 


#128 supreme king

supreme king

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Thích gì làm đấy

Đã gửi 25-03-2020 - 20:14

$\boxed{\text{Bài 62}}$: Cho $\widehat{xOy}=90^{\circ}$. Vẽ hình chữ nhật $OEPF$ với $OE=1;OF=8$ ($E\in Ox; F\in Oy$) . Đường thẳng $d$ bất kì đi qua $P$ cắt các tia $Ox$ và $Oy$ lần lượt tại $M$ và $N$. Tìm min của $MN$

Mình xin đưa ra lời giải cho bài 62
Ta có $\frac{FP}{OM}=\frac{NP}{MN}=\frac{1}{OM}$ và $\frac{PE}{ON}=\frac{MP}{MN}=\frac{8}{ON}$
Do đó $\frac{1}{OM}+\frac{8}{ON}=1$
$\Rightarrow \frac{k}{OM}+\frac{8k}{ON}=k$ (với $k>0$; ta sẽ dùng $k$ để tìm dấu bằng)
Đặt $OM=a;ON=b$ ($a;b>0$)
Ta có $a^2+b^2+k=a^2+\frac{k}{2a}+\frac{k}{2a}+b^2+\frac{4k}{b}+\frac{4k}{b}\geq 3\sqrt[3]{\frac{k^2}{4}}+3\sqrt[3]{16k^2}$
$\Leftrightarrow MN=\sqrt{a^2+b^2}\geq\sqrt{3\sqrt[3]{\frac{k^2}{4}}+3\sqrt[3]{16k^2}-k}$
Bây giờ ta chỉ việc tìm $k$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{matrix} a^2=\frac{k}{2a} \\ b^2=\frac{4k}{b} \\ \frac{1}{a}+\frac{8}{b}=1 \end{matrix} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a=5 \\ b=10 \\ k=250 \end{matrix} \right.$
Vậy Min $MN=5\sqrt{5}$ khi và chỉ khi $a=5;b=10$

Hình gửi kèm

  • Opera Hình chụp_2020-03-25_195810_www.geogebra.org.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supreme king: 25-03-2020 - 21:24

All will be well if you use your mind for your decision, and mind only your decision

                                                                                                                 -Presh Talwalkar-


#129 spirit1234

spirit1234

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 323 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 25-03-2020 - 20:38

Mình xin đưa ra lời giải cho bài 62
Ta có $\frac{FP}{OM}=\frac{NP}{MN}=\frac{1}{OM}$ và $\frac{PE}{ON}=\frac{MP}{MN}=\frac{8}{ON}$
Do đó $\frac{1}{OM}+\frac{8}{ON}=1$
$\Rightarrow \frac{k}{OM}+\frac{8k}{ON}=k$ (với $k>0$; ta sẽ dùng $k$ để tìm dấu bằng)
Đặt $OM=a;ON=b$ ($a;b>0$)
Ta có $a^2+b^2+k=a^2+\frac{k}{2a}+\frac{k}{2a}+b^2+\frac{4k}{b}+\frac{4k}{b}\geq 3\sqrt[3]{\frac{k^2}{4}}+3\sqrt[3]{16k^2}$
$\Leftrightarrow MN=\sqrt{a^2+b^2}\geq\sqrt{3\sqrt[3]{\frac{k^2}{4}}+3\sqrt[3]{16k^2}-k}$
Bây giờ ta chỉ việc tìm $k$
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi
$\left\{\begin{matrix} a^2=\frac{k}{2a} \\ b^2=\frac{4k}{b} \\ \frac{1}{a}+\frac{8}{b}=1\end{matrix}\right$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=5 \\ b=10 \\ k=250 \end{matrix}\right$
Vậy Min $MN=5\sqrt{5}$ khi và chỉ khi $a=5;b=10$

Ok bạn; mình sai chỗ dấu "=" xảy ra.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 26-03-2020 - 20:34

No pressure, no diamond    -_-  :icon11:  ;) 


#130 spirit1234

spirit1234

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 323 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 25-03-2020 - 21:03

  Bài 65:

 P/s:thầy cô ,các bạn giúp mình với ạ  :wub:

 

 

 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, điểm M nằm trên đoạn OB ( M khác O và B ). Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt (O) tại hai điểm C và E. Gọi F là hình chiếu củ C trên AE và I là hình chiếu của M lên CF. Đường thẳng AI cắt (O) tại điểm thứ hai là H. a, Tiếp tuyến tại C của (O) cắt đường thẳng AB tại D. Gọi (O1) là đường tròn ngoại tiếp tam giác CHD. Chứng minh BD là tiếp tuyến (O1). b, Gọi O2 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MHD. Biết OM= (R√2)/2, tính diện tích tam giác OO1O2 theo R

Mình tài hèn sức mọn; chỉ dám làm phần a.

$\boxed{\text{Bài 65}}$: 

a)Ta có: $+)\widehat{CMI}=\widehat{CEA}=\widehat{CHI}\Rightarrow CHMI$ nội tiếp mà $\widehat{CIM}=90^{\circ}\Rightarrow \widehat{CHM}=90^{\circ}$

$+)\widehat{HMD}=\widehat{HCE}=\widehat{HED}$(dễ thấy ED cũng là tiếp tuyến của (O))$\Rightarrow HMED$ nội tiếp.

 mà $\widehat{EMD}=90^{\circ}\Rightarrow \widehat{EHD}=90^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{MHD}=\widehat{CHE};\widehat{HMD}=\widehat{HCE}$

$\Rightarrow \Delta HMD\sim \Delta HCE\Rightarrow \widehat{HDM}=\widehat{HEC}=\widehat{DCH}$

=>BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp CHD.=> đpcm

geogebra-export (1).png

*P/s: Nếu các bạn để ý thì đây chính là bài 49.19


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 27-03-2020 - 10:21

No pressure, no diamond    -_-  :icon11:  ;) 


#131 karobirot

karobirot

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Đã gửi 26-03-2020 - 12:21

Bài 67:

Cho hình chữ nhật ABCD. M,N lần lượt là trung điểm của AD,BC. E là điểm bất kì trên AB. Hình chiếu của E lên MN là H. DH cắt CE tại P. So sánh:
PNM    vàDNM

Bài 68:

Cho ˆABx  cố định, trên tia Bx lấy điểm C sao cho AB<AC,AB<BC. Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác  ABC  tiếp xúc với các cạnh  AB,BC,AC  lần lượt tại  I,J,K. Tia BO cắt các đường thẳng JK,AC lần lượt tại  MD

a) Chứng minh DK.BM=DM.BJ và đường thẳng JK luôn đi qua 1 điểm cố định khi điểm C di động trên tia Bx thỏa mãn giả thiết.

b) Gọi P là giao điểm của đường thẳng KI và đường thẳng BC, đường thẳng AJ cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Chứng minh rằng PN là tiếp tuyến của đường tròn (O).



#132 Peteroldar

Peteroldar

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 188 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PUBG
  • Sở thích:PUBG, maths, and so on....

Đã gửi 26-03-2020 - 16:08

Bài 67 so sánh cái gì vậy bạn?



#133 supreme king

supreme king

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Thích gì làm đấy

Đã gửi 26-03-2020 - 16:28

Mình lỡ bấm nhằm mong ad xoá giùm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supreme king: 26-03-2020 - 16:30

All will be well if you use your mind for your decision, and mind only your decision

                                                                                                                 -Presh Talwalkar-


#134 spirit1234

spirit1234

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 323 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 26-03-2020 - 20:28

$\boxed{\text{Bài 69}}$: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB=2cm. Giả sử D và E theo thứ tự là các điểm trên AB và AC sao cho AD=CE.Tìm GTNN của độ dài DE.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 26-03-2020 - 21:18

No pressure, no diamond    -_-  :icon11:  ;) 


#135 supreme king

supreme king

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Thích gì làm đấy

Đã gửi 26-03-2020 - 20:41

Xin góp thêm 3 bài

$\boxed{\text{Bài 70}}:$ Cho đoạn thẳng $AC$ cố định. Các điểm $B, D$ di động sao cho $ABCD$ là hình bình hành có $\widehat{BAD}>90^{\circ}$.Vẽ $AM\perp BC$ tại $M$,$AN\perp CD$ tại $N$,$AK\perp BD$ tại $K$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp $\Delta MNK$ luôn đi qua một điểm cố định.

$\boxed{\text{Bài 71}}:$ Cho $\Delta ABC$ nhọn, đường cao $AH$. Về phía ngoài $\Delta ABC$ vẽ nửa đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. Trên nửa mặt phẳng bờ $AC$ có chứa điểm $B$ vẽ đường tròn $(I)$ đường kính $AC$. Đường thẳng $d$ di động qua $H$ cắt các nửa đường tròn $(O), (I)$ lần lượt ở $D, E$ ($H$ nằm giữa $D$ và $E$). Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $DE$. Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta MAH$ không đổi khi $d$ di động.
$\boxed{\text{Bài 72}}:$ Cho điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Vẽ hai tiếp tuyến $AB, AC$ ($B, C$ là các tiếp điểm) vẽ cát tuyến $ADE$ đến đường tròn $(O)$. Qua $D$ vẽ đường thẳng song song với $BE$ cắt $AB, BC$ lần lượt tại $P$ và $Q$.Chứng minh $D$ là trung điểm của $PQ$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supreme king: 29-03-2020 - 16:27

All will be well if you use your mind for your decision, and mind only your decision

                                                                                                                 -Presh Talwalkar-


#136 supreme king

supreme king

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Thích gì làm đấy

Đã gửi 26-03-2020 - 20:47

$\boxed{\text{Bài 69}}$: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB=2cm. Giả sử D và E theo thứ tự là các điểm trên AB và AC sao cho AD=CE.Tìm GTNN của độ dài DE.

Đặt $AD=x$ Do đó $AE=2-x$ ($0<x<2$)

Ta có $DE^2=AD^2+AE^2=x^2+(2-x)^2\geq \frac{(x+2-x)^2}{2}=2$

$\Leftrightarrow DE \geq \sqrt{2}$

Vậy Min $DE=\sqrt{2}$ khi và chỉ khi $DE$ là đường trung bình

Hình gửi kèm

  • Opera Hình chụp_2020-03-26_204558_www.geogebra.org.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supreme king: 26-03-2020 - 20:51

All will be well if you use your mind for your decision, and mind only your decision

                                                                                                                 -Presh Talwalkar-


#137 spirit1234

spirit1234

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 323 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 26-03-2020 - 21:18

Mình xin góp thêm bài toán nữa cho các bạn cùng luyện tập:

$\boxed{\text{Bài 58}}$: Cho tam giác ABC có trực tâm H và điểm P di động bên trong tam giác ABC sao cho $\widehat{BPC}=\widehat{BHC}$.Đường thẳng qua B và vuông góc với AB cắt PC tại M; đường thẳng qua C và vuông góc với AC cắt PB tại N.CMR: trung điểm I của MN luôn thuộc 1 đường thẳng cố đinh.

Spoiler

Cũng lâu rồi nên mình đưa ra lời giải:

$\boxed{\text{Bài 58}}$: 

*$\text{Cách 1}$: Có cách tiếp cận bài này, là xét trường hợp đặt biệt từ đó suy nghĩ đến cách chứng minh. Để ý rang khí P dần về C thì đường thẳng CP sẽ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CBP. Tương tự khi P dần về B.

Gọi D là giao điểm của đường thẳng qua B vuông góc AB và đường thẳng qua C vuông góc AC. Ta có D thuộc (ABC).

Cho tiếp tuyến tại C của đường tròn ngoại tiếp $CBP$ cắt $BD$ tại $G$, tiếp tuyến tại $B$ của $(BPD)$ cắt $CD$ tại $F$. Gọi $J$ là trung điểm $CG, K$ là trung điểm $BF$. Ta có $J,K$ cố định. Ta chứng minh $I, J, K$ thẳng hàng.

Ta có $DPMN$ nội tiếp, suy ra $CN.CD=CP.CM$

Tam giác $CBD$ và $CBF$ đồng dạng nên: $CD.CF=CB^{2}$

Khi đó $\frac{CN}{CF}=\frac{CP.CM}{CB^{2}}$(1)

Ta có $BD.BG=BC^{2}$, tam giác $CGM$ và $BCN$ đồng dạng, suy ra: $GM.BN=CM.CN$. Do đó $\frac{GM}{BG}=\frac{CN.CM.BD}{BC^{2}.BN}$ (2)

Mặt khác $\frac{CP}{CN}=\frac{PD}{MN}=\frac{BD}{BN}$(3).

Từ (1), (2), (3) ta có $\frac{CN}{CF}=\frac{GM}{GB}$.

Áp dung bổ đề E.R.I.Q ta có I, J, K thẳng hàng.

Cách giải này tuy chưa phải là hay nhưng lại hiệu quả và dễ suy nghĩ đến vì thời gian có hạn trong lúc thi và đường thẳng rất khó đoán. Phương châm của cách này là: hãy xét trường hợp đặt biệt.


No pressure, no diamond    -_-  :icon11:  ;) 


#138 spirit1234

spirit1234

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 323 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 26-03-2020 - 21:29

Mình xin góp thêm bài toán nữa cho các bạn cùng luyện tập:

$\boxed{\text{Bài 58}}$: Cho tam giác ABC có trực tâm H và điểm P di động bên trong tam giác ABC sao cho $\widehat{BPC}=\widehat{BHC}$.Đường thẳng qua B và vuông góc với AB cắt PC tại M; đường thẳng qua C và vuông góc với AC cắt PB tại N.CMR: trung điểm I của MN luôn thuộc 1 đường thẳng cố đinh.

Spoiler

$\text{Cách 2}$:

Cách suy luận ngược. Cách tiếp cận này là cách tiếp cận quen thuộc đối với hình học. Ta để ý rằng, trung điểm X của BC, cố định, trung điểm Y DP thay đổi nhưng luôn thuộc một đường tròn, và trung điểm I của MN. Từ đường thẳng Gauss cho tứ giác toàn phần, ta thấy X, Y, I thẳng hàng, và Y thuộc một đường tròn cố định. Khi đó ta chỉ cần chứng minh XY.XI không đổi là xong.

Ta có bổ đề sau:Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$, các đường chéo cắt nhau tại $I, AB$ cắt $CD$ tại $E$, $AD$ cắt $BC$ tại $F$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $CD,AB$ và $FI$. Khi đó: latex $M, N, P$ thẳng hàng và $PM.PN=PF^{2}$.

Vế đầu thì là đường thẳng Gauss cho tứ giác toàn phần, vế sau thì chứng minh cũng khá đơn giản như sau: $FI$ cắt $AB,CD$ tại $J,K$. Ta có $(EKDC)=-1,(EJAB)=-1$. Khi đó:

$EK.EM=EC.ED,EJ.EN=EA.EB$ mà $EC.ED=EA.EB$ nên $EK.EM=EJ.EN$, do đó JNMK nội tiếp. Suy ra $PM.PN=PJ.PK=PF^{2}$. Bổ đề được chứng minh.

Trở lại bài toán. Gọi $X$ là trung điểm $BC,Y$ là trung điểm $DP$.

Theo bổ đề thì $X,Y,I$ thẳng hàng và $XY.XI=XC^{2}$ không đổi.

Ta có $P$ thuộc cùng cung tròn cố định, xét phép vị tự tâm $D$ tỉ số $k=\frac{1}{2}$, thì ta suy ra $Y$ thuộc đường tròn cố định qua $X$.

Xét phép nghịch đảo tâm $X,k=XC^{2}=\frac{BC^{2}}{4}$ biến $Y$ thành $I$. Mà $Y$ thuộc một đường tròn cố định qua $X$ nên $I$ thuộc một đường thẳng cố định là ảnh của đường tròn trên qua phép nghịch đảo.

Bài toán được chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 26-03-2020 - 21:31

No pressure, no diamond    -_-  :icon11:  ;) 


#139 spirit1234

spirit1234

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 323 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 26-03-2020 - 21:40

Mình xin góp thêm bài toán nữa cho các bạn cùng luyện tập:

$\boxed{\text{Bài 58}}$: Cho tam giác ABC có trực tâm H và điểm P di động bên trong tam giác ABC sao cho $\widehat{BPC}=\widehat{BHC}$.Đường thẳng qua B và vuông góc với AB cắt PC tại M; đường thẳng qua C và vuông góc với AC cắt PB tại N.CMR: trung điểm I của MN luôn thuộc 1 đường thẳng cố đinh.

Spoiler

$\text{Cách 3}$:

Gọi L là điểm đối xứng của Q qua trung điểm X của BC. Theo đối xứng tâm X thì L thuộc đường tròn ngoại tam giác BPC và D là trực tâm tam giác LBC. Gọi K là giao điểm của BM và CL, J là giao điểm của DN và LB.  Ta chứng minh I thuộc đường thẳng KL.

Ta có tam giác MKC và NBL đồng dạng, suy ra $\frac{KM}{NJ}=\frac{CK}{BJ}$ mà $\frac{CK}{BJ}=\frac{DK}{DJ}$, do đó $\frac{KM}{NJ}=\frac{DK}{DJ}$. Áp dung Menelaus cho tam giác DMN ta có J,K,I thẳng hàng. Vậy I thuộc đường thẳng KJ cố định.


No pressure, no diamond    -_-  :icon11:  ;) 


#140 spirit1234

spirit1234

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 323 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 26-03-2020 - 21:55

Mình xin góp thêm bài toán nữa cho các bạn cùng luyện tập:

$\boxed{\text{Bài 58}}$: Cho tam giác ABC có trực tâm H và điểm P di động bên trong tam giác ABC sao cho $\widehat{BPC}=\widehat{BHC}$.Đường thẳng qua B và vuông góc với AB cắt PC tại M; đường thẳng qua C và vuông góc với AC cắt PB tại N.CMR: trung điểm I của MN luôn thuộc 1 đường thẳng cố đinh.

Spoiler

$\text{Cách 4}$:

Ta có tứ giác PDMN nội tiếp, gọi E là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác và đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC, E khác phía P đối với đường thẳng BC. Ta chứng minh H, D, E thẳng hàng.Ta có: $\widehat{DEP}=\widehat{DNP}=\widehat{HBP}=\widehat{HEP}\Rightarrow E,D,H$ thẳng hàng=> E cố định.

Khi đó: $\widehat{ENM}=\widehat{EDM}=\widehat{HDB}$ không đổi và $\widehat{NEM}=\widehat{NPM}=\widehat{BAC}$ không đổi.

Vậy $\Delta EMN\sim \Delta ECB\Rightarrow \widehat{MEI}=\widehat{KEC}$ và $\frac{EM}{EI}=\frac{EC}{EK}$ không đổi.

Xét phép vị tự quay tâm E góc quay $\widehat{KEC}$ tỉ số $\frac{EC}{EK}$ biến M thành I, mà M thuộc đường thẳng DB cố định nên I cũng thuộc một đường thẳng cố định. Kết thúc chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 26-03-2020 - 21:56

No pressure, no diamond    -_-  :icon11:  ;) 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh