Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{a^{4}}{(b+c)(b^{2}+c^{2})}\geq \frac{3}{4}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. CM:

$\frac{a^{4}}{(b+c)(b^{2}+c^{2})}+\frac{b^{4}}{(c+a)(c^{2}+a^{2})}+\frac{c^{4}}{(a+b)(a^{2}+b^{2})}\geq \frac{3}{4}$


Dư :unsure: Hấu   


#2
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được:

$\frac{a^{4}}{(b+c)(b^{2}+c^{2})}+\frac{b^{4}}{(c+a)(c^{2}+a^{2})}+\frac{c^{4}}{(a+b)(a^{2}+b^{2})}\geqslant \frac{(\frac{a^2}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{c^2+a^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2}})^2}{2(a+b+c)}$

Tiếp tục áp dụng Cauchy-Schwarz: $\frac{a^2}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{c^2+a^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2\sqrt{b^2+c^2}+b^2\sqrt{c^2+a^2}+c^2\sqrt{a^2+b^2}}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sqrt{2(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)\sqrt{3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}}{\sqrt{2(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\geqslant \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{(a+b+c)^2}{3}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$

Lúc đó: $\frac{a^{4}}{(b+c)(b^{2}+c^{2})}+\frac{b^{4}}{(c+a)(c^{2}+a^{2})}+\frac{c^{4}}{(a+b)(a^{2}+b^{2})}\geqslant \frac{(\frac{3}{\sqrt{2}})^2}{2.3}=\frac{3}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh