Chủ đề này có 1 trả lời

[alexander123]

Cho a,b,c dương. C/m $(a+\frac{1}{b}-1)(b+\frac{1}{c}-1)+ (b+\frac{1}{c}-1)(c+\frac{1}{a}-1) + (c+\frac{1}{a}-1)(a+\frac{1}{b}-1)\geqslant 3$

[KhoiNguyen213]

Ta đặt $x=a+\frac{1}{b}-1,\, y=b+\frac{1}{c}-1,\, z=c+\frac{1}{a}-1.$. Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương

$$xy+yz+zx \geqslant 3.$$

Theo nguyên lí Dirichlet, trong các số $x-1$, $y-1$ và $z-1$ có ít nhất hai số không trái dấu. 

Không mất tính tổng quát, giả sử $y-1$ và $z-1$ không trái dấu, ta có

$$(y-1)(z-1) \geqslant 0.$$

Ta có

$$xy+yz+zx-3=(y-1)(z-1)+(x+1)(y+z)-4.$$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương

$$(x+1)(y+z) \geqslant 4.$$

sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

$$y+z=b+\frac{1}{a}+c+\frac{1}{c}-2 \geqslant b+\frac{1}{a}$$

Khi đó ta có

$$(x+1)(y+z)-4\geqslant \left ( a+\frac{1}{b} \right )\left ( b+ \frac{1}{a} \right )-4=ab+\frac{1}{ab}-2 \geqslant 0.$$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh