Chủ đề này có 1 trả lời

[NguyenDangD]

Tìm các số nguyên dương $x,y,z$ là số nguyên dương sao cho 

$x^2 + 2^{y+1}=3^z$

[Nguyen Bao Khanh]

Dễ c/m rằng $x^{2}\equiv 0;1(mod 4) \rightarrow 3^{z}\equiv 0;1(mod4)$ . Khi đó xét số dự của z khi chia 2 thì tìm được z chẵn. Đặt z=2k nguyên dương. Khi đó $2^{y+1}=(3^{k}-x)(3^{k}+x) \rightarrow \left\{\begin{matrix}3^{k}-x=2^{m} \\ 3^{k}+x=2^{n} \end{matrix}\right. (m,n\epsilon \mathbb{N}, n> m) \rightarrow 2.3^{k}=2^{m}(2^{n-m}+1) \Leftrightarrow 3^{k}=2^{m-1}(2^{n-m}+1)$ . Nếu $m\geq 1 \rightarrow 3^{k}\vdots 2$ . Nên ta xét:

m=1 thì với n-m=0 và n-m=1 bạn đọc tự giải, còn n-m lớn hơn bằng 2 thì khi đó $2^{n-m}=3^{k}-1\vdots 4\rightarrow k\vdots 2 \rightarrow k=2r\epsilon \mathbb{N} \rightarrow 2^{n-m}=(3^{r}+1)(3^{r}-1)\rightarrow \left\{\begin{matrix} 3^{r}+1=2^{p} \\ 3^{r}-1=2^{q} \end{matrix}\right.\rightarrow r=1,n-m=3\rightarrow k=2,n=4 \rightarrow z=4,x=7, y=4$ . Còn m=0 thì $3^{k}=\frac{1}{2}(2^{n}-1)\rightarrow 2.3^{k}=2^{n}-1\vdots 2 \rightarrow n=0\rightarrow 2.3^{k}=0$ (loại)