Chủ đề này có 1 trả lời

[kogioitoan]

Cho $a,b,c$ là các số thực ko âm, chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc+5\geq3(a+b+c)$ (bằng phương pháp dồn biến)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 19-12-2021 - 08:11

[KietLW9]

Ta cần chứng minh: $f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+abc+5-3(a+b+c)\geqslant 0$

Giả sử $c=min\left \{ a,b,c \right \}$

Đặt $\sqrt{ab}=t$

Xét: 

$f(a,b,c)-f(t,t,c)=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\left [ (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 -3 \right ]$ (1)

$f(a,b,c)-f(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c)=\frac{1}{4}(a-b)^2(2-c)$ (2)

Nếu $c\geqslant 1 \Rightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\geqslant (\sqrt{c}+\sqrt{c})^2\geqslant 4>3$ nên từ (1) suy ra $f(a,b,c) \geqslant f(t,t,c)$

Nếu $c\leqslant 1$ thì từ (2) suy ra $f(a,b,c)\geqslant f(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c)$

Đến đây cần chỉ ra bất đẳng thức đúng trong trường hợp hai số bằng nhau

Thật vậy: $f(t,t,c)=(c+2)t^2-6t+(c^2-3c+5)$

$\Rightarrow \Delta _t=36-4(c+2)(c^2-3c+5)=-4(c+1)(c-1)^2\leqslant 0$ suy ra đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 18-12-2021 - 22:28