Đến nội dung

Hình ảnh

$$(1-x_1x_2...x_n)^m+(1-y_1^m)(1-y_2^m)...(1-y_n^m)\geq 1$$

* * * * * 2 Bình chọn oldproblem

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Gia Cat Minh

Gia Cat Minh

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết
Cho $x_1,x_2,...,x_n$ và $y_1,y_2,...,y_n$ là các số thực không âm thỏa mãn $x_i+y_i=1$ với mỗi $i=1,2,...,n$. Chứng minh rằng với $m$ là số nguyên dương bất kỳ:
        $$(1-x_1x_2...x_n)^m+(1-y_1^m)(1-y_2^m)...(1-y_n^m)\geq 1$$
Cập nhật nguồn (Bulgaria 1984).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gia Cat Minh: 21-12-2021 - 09:17


#2
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

 

Cho $x_1,x_2,...,x_n$ và $y_1,y_2,...,y_n$ là các số thực không âm thỏa mãn $x_i+y_i=1$ với mỗi $i=1,2,...,n$. Chứng minh rằng với $m$ là số nguyên dương bất kỳ:
        $$(1-x_1x_2...x_n)^m+(1-y_1^m)(1-y_2^m)...(1-y_n^m)\geq 1$$

 

Sử dụng phương pháp xác suất.

Xét $n$ đồng xu $c_{1},\ldots,c_{n}$ thỏa mãn xác suất ra mặt ngửa của $c_{i}$ là $x_{i}$. Khi đó xác suất ra mặt sấp của $c_{i}$ là $y_{i}$.

Tung đồng thời $n$ đồng xu $m$ lần.

Gọi $A$ là biến cố "Cả $m$ lần tung đều có đồng xu sấp", còn $B$ là biến cố "Trong $m$ lần tung xu mỗi xu đều nằm ngửa ít nhất một lần".

Như vậy, biến cố hợp của $A$ và $B$ là "Trong $m$ lần tung, hoặc là luôn có đồng xu sấp, hoặc mỗi đồng xu đều nằm ngửa ít nhất một lần". Tuy nhiên, đây là biến cố chắc chắn, vì, nếu biến cố $A$ không xảy ra, thì có nghĩa là có một lần tung xu mà tất cả đều nằm ngửa, nhưng như thế thì biến cố $B$ lại xảy ra.

Lại có $P(A)=\left(1-\prod_{k=1}^{n}x_{k}\right)^{m},P(B)=\prod_{k=1}^{n}\left(1-y_{k}^{m}\right)$, và $P(A)+P(B)\geq 1$, nên ta có điều phải chứng minh. $\square$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 19-12-2021 - 20:11





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh