Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab}\leq \frac{3(a+b+c)}{2}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Dennis Nguyen

Dennis Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Cho $a,b,c\geq 0$. Chứng minh $\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab}\leq \frac{3(a+b+c)}{2}$.



#2
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Giả sử $a\geqslant b\geqslant c$

$\Rightarrow a^2+bc\leqslant a^2+ca+\frac{c^2}{4}\Rightarrow \sqrt{a^2+bc}\leqslant a+\frac{c}{2}$

Ta cần chứng minh: $\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab}\leqslant \frac{a+3b+2c}{2}$

hay bất đẳng thức mạnh hơn là: $2\sqrt{2(b^2+c^2+ab+ca)}\leqslant a+3b+2c\Leftrightarrow a^2-(2b+4c)a+(b^2-4c^2+12bc)\geqslant 0\Leftrightarrow (b+2c-a)^2+8c(b-c)\geqslant 0$

Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b,c=0$ hoặc các hoán vị


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#3
Dennis Nguyen

Dennis Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Giả sử $a\geqslant b\geqslant c$

$\Rightarrow a^2+bc\leqslant a^2+ca+\frac{c^2}{4}\Rightarrow \sqrt{a^2+bc}\leqslant a+\frac{c}{2}$

Ta cần chứng minh: $\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab}\leqslant \frac{a+3b+2c}{2}$

hay bất đẳng thức mạnh hơn là: $2\sqrt{2(b^2+c^2+ab+ca)}\leqslant a+3b+2c\Leftrightarrow a^2-(2b+4c)a+(b^2-4c^2+12bc)\geqslant 0\Leftrightarrow (b+2c-a)^2+8c(b-c)\geqslant 0$

Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b,c=0$ hoặc các hoán vị

Bạn có kinh nghiệm hay tài liệu nào để xử lý các bất đẳng thức hoán vị chứa căn hay là các dạng có điểm rơi một biến bằng $0$ hai biến còn lại bằng nhau không?






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh