Chủ đề này có 3 trả lời

[KietLW9]

Giải phương trình: $4\sqrt{1-a}=4\sqrt{a}-4\sqrt{2}a^2+\sqrt{2}$

Bài này được suy ra từ một bất đẳng thức 

[Baoriven]

Bài nài $0\leq a\leq 1$, nên có thể xem xét giải bằng lượng giác.

Đặt $a=\cos^2{x}$ hoặc $a=\sin^2{x}$.

 

P/S: Lâu rồi chưa làm nên vẫn còn mò mẫm.

[KietLW9]

Bài nài $0\leq a\leq 1$, nên có thể xem xét giải bằng lượng giác.

Đặt $a=\cos^2{x}$ hoặc $a=\sin^2{x}$.

 

P/S: Lâu rồi chưa làm nên vẫn còn mò mẫm.

Full sol đi anh, em thì thấy không dễ 

[KietLW9]

Và ok, mình sẽ giải theo phương pháp bất đẳng thức nhưng thực chất là liên hợp trá hình hehe, liên hợp cũng được nhưng mình đang muốn chứng minh một bất đẳng đẹp

Ta cần chứng minh: $4\sqrt{1-a}\geqslant 4\sqrt{a}-4\sqrt{2}a^2+\sqrt{2}$

Ta có: $4\sqrt{1-a} -4\sqrt{a}+4\sqrt{2}a^2-\sqrt{2}=\sqrt{2}(2a+1)(2a-1)-\frac{4(2a-1)}{\sqrt{1-a}+\sqrt{a}}=(2a-1)\left [ \sqrt{2}(2a+1)-\frac{4}{\sqrt{1-a}+\sqrt{a}} \right ]=(2a-1)\left [ \sqrt{2}(2a+1)-2\sqrt{2}-\frac{4}{\sqrt{1-a}+\sqrt{a}}+2\sqrt{2} \right ]=(2a-1)\left [ \sqrt{2}(2a-1)-\frac{4-2\sqrt{2}\sqrt{1-a}-2\sqrt{2}\sqrt{a}}{\sqrt{1-a}+\sqrt{a}} \right ]=(2a-1)\left [ \sqrt{2}(2a-1)-\frac{2\left [ 1-\sqrt{2}\sqrt{1-a}+1-\sqrt{2}\sqrt{a} \right ]}{\sqrt{1-a}+\sqrt{a}} \right ]=(2a-1)\left [ \sqrt{2}(2a-1)-\frac{2\left [ \frac{2a-1}{1+\sqrt{2}\sqrt{1-a}}-\frac{2a-1}{\sqrt{2}\sqrt{a}+1}\right ]}{\sqrt{1-a}+\sqrt{a}} \right ]=(2a-1)^2\left [ \sqrt{2}-\frac{2(\sqrt{2}\sqrt{a}-\sqrt{2}\sqrt{1-a})}{(\sqrt{1-a}+\sqrt{a})(1+\sqrt{2}\sqrt{1-a})(1+\sqrt{2}\sqrt{a})} \right ]$

Cần chứng minh: $\sqrt{2}\geqslant \frac{2(\sqrt{2}\sqrt{a}-\sqrt{2}\sqrt{1-a})}{(\sqrt{1-a}+\sqrt{a})(1+\sqrt{2}\sqrt{1-a})(1+\sqrt{2}\sqrt{a})}\Leftrightarrow (\sqrt{1-a}+\sqrt{a})(1+\sqrt{2}\sqrt{1-a})(1+\sqrt{2}\sqrt{a})\geqslant 2(\sqrt{a}-\sqrt{1-a})\Leftrightarrow 2a\sqrt{1-a}+2\sqrt{2}\sqrt{1-a}\sqrt{a}+\sqrt{a}+3\sqrt{1-a}+\sqrt{2}-2a\sqrt{a}\geqslant 0(True)$