Đến nội dung

Hình ảnh

$am^2+bn^2$ chính phương với mọi m,n. CMR ab=0

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
jupiterhn9x

jupiterhn9x

    Hạ sĩ

  • Banned
  • 71 Bài viết

Cho a, b nguyên và $am^2+bn^2$ chính phương với mọi m, n nguyên dương. Chứng minh ab=0



#2
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

Cho a, b nguyên và $am^2+bn^2$ chính phương với mọi m, n nguyên dương. Chứng minh ab=0

Rõ ràng ta phải có $a,b\geq 0$. Giả sử $a,b>0$.

Cho $m=n=1$ ta có $a+b$ là số chính phương. Cho $m=b,n=a$ ta có $ab$ là một số chính phương.

Giờ, ta chứng minh $d=(a,b)$ cũng là một số chính phương.

Thật vậy, giả sử phản chứng. Khi đó $a,b$ có một ước nguyên tố chung $p$ (nếu không có thì $d=1$, là số chính phương). 

Trong hai số $a,b$ phải có một số chia đúng cho một lũy thừa bậc lẻ của $p$. Giả sử là $a$. Khi đó chọn $m=1$ và $n$ là một lũy thừa bậc đủ lớn của $p$ ta có ngay mâu thuẫn.

Như thế, $d$ là một số chính phương. Suy ra cả $a$ và $b$ là số chính phương. Giờ cho $m=b,n=1$ ta có $ab+1$ là số chính phương, mâu thuẫn với sự kiện $ab$ là một số chính phương.

Vậy trong $a,b$ phải có số bằng $0$. Bài toán kết thúc. $\square$



#3
jupiterhn9x

jupiterhn9x

    Hạ sĩ

  • Banned
  • 71 Bài viết

Rõ ràng ta phải có $a,b\geq 0$. Giả sử $a,b>0$.

Cho $m=n=1$ ta có $a+b$ là số chính phương. Cho $m=b,n=a$ ta có $ab$ là một số chính phương.

Giờ, ta chứng minh $d=(a,b)$ cũng là một số chính phương.

Thật vậy, giả sử phản chứng. Khi đó $a,b$ có một ước nguyên tố chung $p$ (nếu không có thì $d=1$, là số chính phương). 

Trong hai số $a,b$ phải có một số chia đúng cho một lũy thừa bậc lẻ của $p$. Giả sử là $a$. Khi đó chọn $m=1$ và $n$ là một lũy thừa bậc đủ lớn của $p$ ta có ngay mâu thuẫn.

Như thế, $d$ là một số chính phương. Suy ra cả $a$ và $b$ là số chính phương. Giờ cho $m=b,n=1$ ta có $ab+1$ là số chính phương, mâu thuẫn với sự kiện $ab$ là một số chính phương.

Vậy trong $a,b$ phải có số bằng $0$. Bài toán kết thúc. $\square$

Cảm ơn bạn.
Bạn giúp mình bài BĐT này với
CMR $\sum \frac{a}{b+c}\leq \sum \frac{a^2}{b^2+c^2}$ với mọi a,b,c dương 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi jupiterhn9x: 02-01-2022 - 18:16


#4
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

Cảm ơn bạn.
Bạn giúp mình bài BĐT này với
CMR $\sum \frac{a}{b+c}\leq \sum \frac{a^2}{b^2+c^2}$ với mọi a,b,c dương 

Bài toán của bạn hiện đã có sẵn lời giải trên diễn đàn này. Nếu không tự giải được, bạn có thể tự mình tìm nó.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh