Cho các số thực dương $a, b, c, d$ thỏa mãn $a+b+c+d=4$. CMR
$$a^2bc+b^2cd+c^2da+d^2ab \leqslant 4.$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KhoiNguyen213: 02-01-2022 - 19:04
$$a^2bc+b^2cd+c^2da+d^2ab \leqslant 4.$$
Bắt đầu bởi KhoiNguyen213, 02-01-2022 - 19:04
#2
Đã gửi 02-01-2022 - 20:20
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Áp dụng AM-GM, ta có:
$(ab+cd)(ac+bd)\leqslant \frac{(ab+cd+ac+bd)^2}{4}=\frac{(a+d)^2(b+c)^2}{4}\leqslant \frac{\left [ \frac{(a+b+c+d)^2}{4} \right ]^2}{4}=4$
$(ad+bc)(bd+ac)\leqslant \frac{(ad+bc+bd+ac)^2}{4}=\frac{(a+b)^2(c+d)^2}{4}\leqslant \frac{\left [ \frac{(a+b+c+d)^2 }{4}\right ]^2}{4}=4$
Lại có:
$a^2bc+b^2cd+c^2da+d^2ab-(ab+cd)(ac+bd)=bd(c-a)(b-d)$
$a^2bc+b^2cd+c^2da+d^2ab-(ad+bc)(bd+ac)=ac(a-c)(b-d)$
Vậy $a^2bc+b^2cd+c^2da+d^2ab\leqslant max\left \{ (ab+cd)(ac+bd),(ad+bc)(bd+ac) \right \}\leqslant 4$
- Hoang72 yêu thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
