Đến nội dung

Hình ảnh

Định nghĩa giới hạn dãy số và các nguyên lý

* * * * * 1 Bình chọn giới hạn dãy số.

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
lvphong

lvphong

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Định nghĩa 1.1. (Dãy số thực)

Cho $f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}.$

Với $a_n = f(n) \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}$

thì tập hợp $\{a_n\}_{n \geq 1} = \{a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots\}$ được gọi là một dãy số thực.

 

Định nghĩa 1.2. (Giới hạn dãy số thực)

Số thực $a\in \mathbb{R}$ được gọi là giới hạn của dãy số thực $\{a_n\}_{n\geq 1}$

nếu với mọi số $\varepsilon > 0$, $\exists n_0 \in \mathbb{N}$ sao cho $\forall n \geq n_0$

thì $\left|a_n - a\right| < \varepsilon.$

Kí hiệu: $\displaystyle \lim_{n\to \infty} {a_n} = a,$ hoặc $a_n \to a$ khi $n \to \infty.$

 

Định lý 1.3. 

Mọi dãy hội tụ đều có giới hạn duy nhất.   

Chứng minh.

Giả sử $\{a_n\}$ là một dãy số thực hội tụ tới hai giá trị khác nhau là $a, b\in \mathbb{R}$ mà $a>b$.

Khi đó với $\varepsilon = \dfrac{a-b}{2} > 0,~\exists  n_{1} \in \mathbb{N}$ sao cho $\forall n \geq n_{1}$ thì $|a_n - a| < \varepsilon.$

và $\exists  n_{2} \in \mathbb{N}$ sao cho $\forall n \geq n_{2}$ thì $|a_n - b| < \varepsilon.$

Suy ra với mọi $n \geq n_0 = \max{\{n_1, n_2\}}$, thì $\dfrac{a+b}{2} = a-\varepsilon < a_n < b+\varepsilon = \dfrac{a+b}{2}.$

Điều mâu thuẫn này chứng tỏ rằng mọi dãy hội tụ đều có một giới hạn duy nhất.

 

Định lý 1.4.

Cho $\{a_n\}, \{b_n\}$ là hai dãy số thực hội tụ.

Giả sử $\exists n_0 \in \mathbb{N}$, sao cho $a_n \leq b_n, \forall n\geq n_0$.

Khi đó $\displaystyle \lim_{n\to \infty}{a_n} \leq \lim_{n\to \infty}{b_n}.$

 

Chứng minh.

Giả sử phản chứng rằng $\displaystyle \lim_{n\to \infty}{a_n} = a > b = \lim_{n\to \infty}{b_n}.$

Khi đó với $\varepsilon = \dfrac{a-b}{2}>0$, $\exists n_1 \in \mathbb{N}$ sao cho $\forall n \geq n_1$ thì $|a_n - a| < \varepsilon$

và $\exists n_2 \in \mathbb{N}$ sao cho $\forall n \geq n_2$ thì $|b_n - b| < \varepsilon.$

Mà $a_n \leq b_n, \forall n\geq n_0$ nên $\forall n\geq N = \max{\{n_0, n_1, n_2\}},$ thì $\dfrac{a+b}{2} = a - \varepsilon < a_n \leq b_n < b+\varepsilon = \dfrac{a+b}{2}$.

Điều mâu thuẫn này bác bỏ giả thuyết phản chứng, do đó ta có $\displaystyle \lim_{n\to \infty}{a_n} \leq \lim_{n\to \infty}{b_n}.$

 

 

Định nghĩa 1.5.

Dãy $\{a_n\}$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại $a \in \mathbb{R} : a_n \leq a,~\forall n \in \mathbb{N},$

được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại $b \in \mathbb{R} : a_n \geq b,~\forall n \in \mathbb{N},$

và gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới.

 

 

Bổ đề 1.6. (Giới hạn của dãy đơn điệu)

Dãy $\{a_n\}$ được gọi là đơn điệu tăng (tương ứng đơn điệu giảm) nếu $a_{n+1} \geq a_n$

(tương ứng $a_{n+1} \leq a_n$) $\forall n \in \mathbb{N}.$

 

a) Dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên thì hội tụ.

b) Dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.

 

Chứng minh.

Giả sử $\{a_n\}$ là một dãy số thực đơn điệu tăng và bị chặn trên.

Do $\{a_n\}$ là một tập con của $\mathbb{R}$ và bị chặn trên nên nó tồn tại một cận trên đúng là $\alpha = \sup\{a_n\} \geq a_n~\forall n \in \mathbb{N}.$

Nên với $\varepsilon > 0$ bất kỳ thì $\alpha - \varepsilon$ không là cận trên đúng của $\{a_n\}$.

Do đó tồn tại $n_0 \in \mathbb{N}$ sao cho  $\alpha - \varepsilon <a_{n_0} <\alpha$, khi đó $\forall n \geq n_0$ thì $a_n \geq a_{n_0}$ (do $\{a_n\}$ là một dãy đơn điệu tăng).

Suy ra $\exists n_0$ mà $\forall n \geq n_0$ thì $\alpha - \varepsilon < a_{n_0} \leq a_n \leq \alpha < \alpha + \varepsilon,$ hay $|a_n - \alpha| < \varepsilon.$

Chứng tỏ dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên $\{a_n\}$ hội tụ tại $\sup\{a_n\}.$

Chứng minh hoàn toàn tương tự với dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì hội tụ tại cận dưới đúng của nó.

 

Định lý 1.6.

Một dãy số thực hội tụ thì nó bị chặn.

 

Chứng minh.

Giả sử $\{a_n\}$ là một dãy số thực hội tụ tới $a \in \mathbb{R}.$

Khi đó $\forall \varepsilon > 0, \exists n_0\in \mathbb{N}$ sao cho $\forall n \geq n_0$ thì $\left|a_n - a\right| < \varepsilon.$

Từ đó suy ra $\forall n\geq n_0$, $|a_n| = |(a_n-a) + a| \leq |a_n-a| + |a| < \varepsilon + |a|.$

Đặt $M = \max{\{|a_{1}|, |a_{2}|, \ldots, |a_{n_{0}}|, |a| + \varepsilon}\}$ thì $|a_n| < M, ~\forall n \in \mathbb{N}.$

Nghĩa là tồn tại $M>0$ sao cho $|a_n| < M, ~\forall n \in \mathbb{N},$ chứng tỏ dãy $\{a_n\}$ bị chặn.

 

 

Định lý 1.7. (Nguyên lý Cantor)

Mọi dãy đoạn con lồng nhau thắt lại có một điểm chung duy nhất.

 

Chứng minh

Giả sử

$\left[ a,b \right] \supset \left[ a_1,b_1 \right] \supset \left[ a_2,b_2 \right]\supset \ldots \supset \left[ a_n,b_n \right] \supset \ldots$ là một dãy đoạn con lồng nhau và thắt lại, nghĩa là $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(b_n-a_n) = 0.$

Khi đó $a < a_1<\ldots<a_n<\ldots<b_n<\ldots<b_1<b.$ Hay $\{a_n\}$ là một dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi $b_k$ bất kỳ, nên nó tồn tại giới hạn hữu hạn $\alpha = \sup{\{a_n\}} \in \mathbb{R}.$ Nhận thấy rằng $\alpha < b_n, \forall n \in \mathbb{N},$ thật vậy, giả sử phản chứng rằng tồn tại $n_0$ sao cho $\alpha > b_{n_0}$. Vì $a_n \leq b_{n_0} \forall n\in \mathbb{N}, $

nên $\displaystyle \lim_{n\to \infty}{a_n} = \alpha \leq b_{n_0},$ mâu thuẫn với giả thiết phản chứng trên, chứng tỏ $\alpha \in \left[ a_n, b_n \right], \forall n \in \mathbb{N}.$

Nghĩa là $\displaystyle \alpha \in \bigcap_{n=1}^{\infty}{\left[a_n, b_n\right]}$.

Tiếp theo ta chứng minh tính duy nhất của $\alpha$.

Giả sử rằng tồn tại $\beta \neq \alpha,$ mà $\displaystyle \beta \in \bigcap_{n=1}^{\infty}{\left[a_n, b_n\right]}$. Khi đó do $\alpha, \beta \in \left[a_n, b_n\right] \forall n \in \mathbb{N},$ nên $\left|\alpha - \beta\right| \leq \left|a_n - b_n\right| \forall n \in \mathbb{N}.$

Lấy giới hạn hai vế của bất phương trình trên khi $n \to \infty$, ta được $\displaystyle 0 < |\alpha - \beta|\leq \lim_{n\to \infty}|a_n - b_n| = 0.$

Điều mâu thuẫn này chứng tỏ tính tồn tại duy nhất của $\alpha$.

 

Định lý 1.8. (Nguyên lý Bolzano - Weierstrass)

Mọi dãy vô hạn bị chặn đều chứa ít nhất một dãy con hội tụ.

Chứng minh.

Giả sử $\{a_n\}$ là một dãy bị chặn, tức tồn tại $a \leq b \in \mathbb{R}$ sao cho $a \leq a_n \leq b ~ \forall n \in \mathbb{N}.$

Ta sẽ chỉ ra tồn tại một dãy con hội tụ của $\{a_n\}$. Thực hiện chia đoạn $\left[a, b\right]$ thành hai đoạn con bằng nhau. Khi đó tồn tại ít nhất một đoạn con chứa vô hạn các phần tử của dãy $\{a_n\}$, vì nếu không thì cả hai đoạn chỉ chứa hữu hạn các phần tử của $\{a_n\}$, tức là đoạn $\left[a, b\right]$ chỉ chứa hữu hạn các phần tử của $\{a_n\}$. Ta gọi đoạn con đó là $\left[a_1, b_1\right]$ với $(b_1 - a_1) = \dfrac{b-a}{2}$, sau đó chọn một phần tử $a_{n_1}$ của dãy nằm trong nó. Trong đoạn con thứ $k$ của lần lập luận thứ $k$ tương tự trên là $\left[a_k, b_k\right]$ với $(b_k - a_k) = \dfrac{b-a}{2^k}$ ta chọn một phần tử $a_{n_k}$ của dãy nằm trong nó.

Lặp lại lập luận trên vô hạn lần ta được một dãy đoạn con $\left[ a,b \right] \supset \left[ a_1,b_1 \right] \supset \left[ a_2,b_2 \right]\supset \ldots \supset \left[ a_k,b_k \right] \supset \ldots$ lồng nhau và thắt lại, nghĩa là $\displaystyle \lim_{k\to \infty}(b_k-a_k) = \lim_{k \to\infty}{\dfrac{b-a}{2^k}} = 0, $

và chọn được một dãy con $\{a_{n_k}\}_{k \geq 1}$ của $\{a_n\}.$ Theo nguyên lý Cantor thì tồn tại duy nhất $\displaystyle \alpha \in \bigcap_{k=1}^{\infty}{\left[a_k, b_k\right]}$. Mặt khác do $a_{n_k}, \alpha \in \left[a_k, b_k\right]$ nên $0 \leq \left|a_{n_k} - \alpha\right| \leq |a_k - b_k| \to 0 $ khi $n_k \geq k \to \infty.$ Điều đó chứng tỏ $\displaystyle \lim_{k \to \infty}{a_{n_k}} = \alpha$, tức là tồn tại dãy con $\{a_{n_k}\} \subset \{a_n\}$ hội tụ.

 

 

Định nghĩa 1.8. (Dãy Cauchy)

Dãy số thực $\{a_n\}$ được gọi là dãy Cauchy nếu

$\forall \varepsilon > 0$ tồn tại $n_0$(chỉ phụ thuộc vào $\varepsilon$) sao cho $\forall m \geq n \geq n_0$ thì $|a_m - a_n| < \varepsilon.$

 

 

Định lý 1.9. (Nguyên lý Cauchy)

Dãy số thực $\{a_n\}$ hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.

 

Chứng minh.

Giả sử $\{a_n\}$ là một dãy hội tụ tới $\alpha \in \mathbb{R}$, tức là với mọi $\varepsilon > 0,$ tồn tại $n_0 \in \mathbb{N}$ sao cho với mọi $n \geq n_0$ thì $|a_n - \alpha| < \dfrac{\varepsilon}{2}.$ Khi đó với mọi $m \geq n \geq n_0$ thì $|a_m - a_n| = |(a_m -\alpha) + (\alpha - a_n)| \leq |a_m -\alpha| + |\alpha - a_n| < \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$ Nghĩa là $\{a_n\}$ là một dãy Cauchy.

 

Ngược lại, nếu $\{a_n\}$ là một dãy Cauchy, với $\varepsilon = 1 > 0,~\exists n_0:~\forall m \geq n \geq n_0$ thì $|a_m - a_n| < \varepsilon = 1.$

Cố định $n = n_1$ thì $\forall m \geq n_1 \geq n_0$ thì $|a_m - a_{n_1}| < 1.$

Suy ra $|a_m| = |(a_m - a_{n_1}) + a_{n_1}| \leq |a_m - a_{n_1}| + |a_{n_1}| <  1 + |a_{n_1}|$.

Do đó nếu đặt $M = \max\{|a_1|, \ldots, |a_{n_1}|, 1+|a_{n_1}|\}$ thì $|a_m| < M~\forall m \in \mathbb{N},$ tức là $\{a_m\}$ là một dãy bị chặn nên theo nguyên lý Bolzano - Weierstrass, tồn tại một dãy con $\{a_{m_k}\} \subset \{a_m\}$ hội tụ đến một giá trị hữu hạn $\beta$ nào đó thuộc $\mathbb{R}.$ Ta sẽ chứng minh rằng $\{a_m\}$ cũng hội tụ đến giá trị hữu hạn $\beta$ đó.

Thật vậy, do $\{a_{m_k}\}$ là một dãy hội tụ đến $\beta$, nên với mọi $\varepsilon_0 > 0$ thì tồn tại $n_2$ sao cho $\forall m_k \geq n_2$ thì $|a_{m_k} - \beta| < \dfrac{\varepsilon_0}{2}.$

Mặt khác, do $\{a_m\}$ là dãy cauchy, nên với $\varepsilon_0 > 0$ ở trên, tồn tại $n_3$ sao cho $\forall m \geq m_k \geq n_3$ thì $|a_{m} - a_{m_k}| < \dfrac{\varepsilon_0}{2}.$

Suy ra với mọi $m \geq m_k \geq \max\{n_2, n_3\}$ thì $|a_m - \beta| \leq |a_{m} - a_{m_k}| + |a_{m_k} - \beta| < \dfrac{\varepsilon_0}{2} + \dfrac{\varepsilon_0}{2} = \varepsilon_0.$

Điều đó chứng tỏ dãy $\{a_m\}$ cũng hội tụ đến $\beta.$

 

Bổ đề 1.10.

a) Một dãy Cauchy con được gọi là dãy cơ bản.

b) Một dãy cơ bản thì bị chặn

Nếu một dãy cơ bản có một dãy con hội tụ thì dãy cơ bản đó cũng hội tụ đến giá trị đó.

 

Nhận xét. (Ý nghĩa vể sự hội tụ của dãy cơ bản)

    Việc biết được giá trị hội tụ của đa số các dãy số thực là một bài toán khó. Nên việc chỉ ra một dãy có hội tụ hay không bằng định nghĩa khi đó trở nên rất khó khăn. Chính vì vậy việc chỉ ra một dãy là một dãy Cauchy tương ứng với một dãy hội tụ là phương pháp mà ta chỉ cần sử dụng chính nội hàm các yếu tố cấu thành nên dãy số đó mà không cần biết chính xác giá trị hội tụ của nó là bao nhiêu. Tương tự ta cũng có thể phát biểu cho điều kiện để một dãy được gọi là phân kỳ là:

Dãy số thực $\{a_n\}$ được gọi là phân kỳ nếu $\exists \varepsilon_0 > 0$, sao cho $\forall n_0, \exists m > n \geq n_0$ thì $|a_m - a_n | \geq \varepsilon_0.$

File gửi kèm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lvphong: 07-01-2022 - 00:00

lvphong


#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Nếu được thì bạn nên compile thành một file pdf rồi đăng lên đây.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#3
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

Định nghĩa 1.1. (Dãy số thực)

Cho $f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}.$

Với $a_n = f(n) \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}$

thì tập hợp $\{a_n\}_{n \geq 1} = \{a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots\}$ được gọi là một dãy số thực.

 

Định nghĩa 1.2. (Giới hạn dãy số thực)

Số thực $a\in \mathbb{R}$ được gọi là giới hạn của dãy số thực $\{a_n\}_{n\geq 1}$

nếu với mọi số $\varepsilon > 0$, $\exists n_0 \in \mathbb{N}$ sao cho $\forall n \geq n_0$

thì $\left|a_n - a\right| < \varepsilon.$

Kí hiệu: $\displaystyle \lim_{n\to \infty} {a_n} = a,$ hoặc $a_n \to a$ khi $n \to \infty.$

 

Định lý 1.3. 

Mọi dãy hội tụ đều có giới hạn duy nhất.   

Chứng minh.

Giả sử $\{a_n\}$ là một dãy số thực hội tụ tới hai giá trị khác nhau là $a, b\in \mathbb{R}$ mà $a>b$.

Khi đó với $\varepsilon = \dfrac{a-b}{2} > 0,~\exists  n_{1} \in \mathbb{N}$ sao cho $\forall n \geq n_{1}$ thì $|a_n - a| < \varepsilon.$

và $\exists  n_{2} \in \mathbb{N}$ sao cho $\forall n \geq n_{2}$ thì $|a_n - b| < \varepsilon.$

Suy ra với mọi $n \geq n_0 = \max{\{n_1, n_2\}}$, thì $\dfrac{a+b}{2} = a-\varepsilon < a_n < b+\varepsilon = \dfrac{a+b}{2}.$

Điều mâu thuẫn này chứng tỏ rằng mọi dãy hội tụ đều có một giới hạn duy nhất.

 

Định lý 1.4.

Cho $\{a_n\}, \{b_n\}$ là hai dãy số thực hội tụ.

Giả sử $\exists n_0 \in \mathbb{N}$, sao cho $a_n \leq b_n, \forall n\geq n_0$.

Khi đó $\displaystyle \lim_{n\to \infty}{a_n} \leq \lim_{n\to \infty}{b_n}.$

 

Chứng minh.

Giả sử phản chứng rằng $\displaystyle \lim_{n\to \infty}{a_n} = a > b = \lim_{n\to \infty}{b_n}.$

Khi đó với $\varepsilon = \dfrac{a-b}{2}>0$, $\exists n_1 \in \mathbb{N}$ sao cho $\forall n \geq n_1$ thì $|a_n - a| < \varepsilon$

và $\exists n_2 \in \mathbb{N}$ sao cho $\forall n \geq n_2$ thì $|b_n - b| < \varepsilon.$

Mà $a_n \leq b_n, \forall n\geq n_0$ nên $\forall n\geq N = \max{\{n_0, n_1, n_2\}},$ thì $\dfrac{a+b}{2} = a - \varepsilon < a_n \leq b_n < b+\varepsilon = \dfrac{a+b}{2}$.

Điều mâu thuẫn này bác bỏ giả thuyết phản chứng, do đó ta có $\displaystyle \lim_{n\to \infty}{a_n} \leq \lim_{n\to \infty}{b_n}.$

 

 

Định nghĩa 1.5.

Dãy $\{a_n\}$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại $a \in \mathbb{R} : a_n \leq a,~\forall n \in \mathbb{N},$

được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại $b \in \mathbb{R} : a_n \geq b,~\forall n \in \mathbb{N},$

và gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới.

 

 

Bổ đề 1.6. (Giới hạn của dãy đơn điệu)

Dãy $\{a_n\}$ được gọi là đơn điệu tăng (tương ứng đơn điệu giảm) nếu $a_{n+1} \geq a_n$

(tương ứng $a_{n+1} \leq a_n$) $\forall n \in \mathbb{N}.$

 

a) Dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên thì hội tụ.

b) Dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.

 

Chứng minh.

Giả sử $\{a_n\}$ là một dãy số thực đơn điệu tăng và bị chặn trên.

Do $\{a_n\}$ là một tập con của $\mathbb{R}$ và bị chặn trên nên nó tồn tại một cận trên đúng là $\alpha = \sup\{a_n\} \geq a_n~\forall n \in \mathbb{N}.$

Nên với $\varepsilon > 0$ bất kỳ thì $\alpha - \varepsilon$ không là cận trên đúng của $\{a_n\}$.

Do đó tồn tại $n_0 \in \mathbb{N}$ sao cho  $\alpha - \varepsilon <a_{n_0} <\alpha$, khi đó $\forall n \geq n_0$ thì $a_n \geq a_{n_0}$ (do $\{a_n\}$ là một dãy đơn điệu tăng).

Suy ra $\exists n_0$ mà $\forall n \geq n_0$ thì $\alpha - \varepsilon < a_{n_0} \leq a_n \leq \alpha < \alpha + \varepsilon,$ hay $|a_n - \alpha| < \varepsilon.$

Chứng tỏ dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên $\{a_n\}$ hội tụ tại $\sup\{a_n\}.$

Chứng minh hoàn toàn tương tự với dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì hội tụ tại cận dưới đúng của nó.

 

Định lý 1.6.

Một dãy số thực hội tụ thì nó bị chặn.

 

Chứng minh.

Giả sử $\{a_n\}$ là một dãy số thực hội tụ tới $a \in \mathbb{R}.$

Khi đó $\forall \varepsilon > 0, \exists n_0\in \mathbb{N}$ sao cho $\forall n \geq n_0$ thì $\left|a_n - a\right| < \varepsilon.$

Từ đó suy ra $\forall n\geq n_0$, $|a_n| = |(a_n-a) + a| \leq |a_n-a| + |a| < \varepsilon + |a|.$

Đặt $M = \max{\{|a_{1}|, |a_{2}|, \ldots, |a_{n_{0}}|, |a| + \varepsilon}\}$ thì $|a_n| < M, ~\forall n \in \mathbb{N}.$

Nghĩa là tồn tại $M>0$ sao cho $|a_n| < M, ~\forall n \in \mathbb{N},$ chứng tỏ dãy $\{a_n\}$ bị chặn.

 

 

Định lý 1.7. (Nguyên lý Cantor)

Mọi dãy đoạn con lồng nhau thắt lại có một điểm chung duy nhất.

 

Chứng minh

Giả sử

$\left[ a,b \right] \supset \left[ a_1,b_1 \right] \supset \left[ a_2,b_2 \right]\supset \ldots \supset \left[ a_n,b_n \right] \supset \ldots$ là một dãy đoạn con lồng nhau và thắt lại, nghĩa là $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(b_n-a_n) = 0.$

Khi đó $a < a_1<\ldots<a_n<\ldots<b_n<\ldots<b_1<b.$ Hay $\{a_n\}$ là một dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi $b_k$ bất kỳ, nên nó tồn tại giới hạn hữu hạn $\alpha = \sup{\{a_n\}} \in \mathbb{R}.$ Nhận thấy rằng $\alpha < b_n, \forall n \in \mathbb{N},$ thật vậy, giả sử phản chứng rằng tồn tại $n_0$ sao cho $\alpha > b_{n_0}$. Vì $a_n \leq b_{n_0} \forall n\in \mathbb{N}, $

nên $\displaystyle \lim_{n\to \infty}{a_n} = \alpha \leq b_{n_0},$ mâu thuẫn với giả thiết phản chứng trên, chứng tỏ $\alpha \in \left[ a_n, b_n \right], \forall n \in \mathbb{N}.$

Nghĩa là $\displaystyle \alpha \in \bigcap_{n=1}^{\infty}{\left[a_n, b_n\right]}$.

Tiếp theo ta chứng minh tính duy nhất của $\alpha$.

Giả sử rằng tồn tại $\beta \neq \alpha,$ mà $\displaystyle \beta \in \bigcap_{n=1}^{\infty}{\left[a_n, b_n\right]}$. Khi đó do $\alpha, \beta \in \left[a_n, b_n\right] \forall n \in \mathbb{N},$ nên $\left|\alpha - \beta\right| \leq \left|a_n - b_n\right| \forall n \in \mathbb{N}.$

Lấy giới hạn hai vế của bất phương trình trên khi $n \to \infty$, ta được $\displaystyle 0 < |\alpha - \beta|\leq \lim_{n\to \infty}|a_n - b_n| = 0.$

Điều mâu thuẫn này chứng tỏ tính tồn tại duy nhất của $\alpha$.

 

Định lý 1.8. (Nguyên lý Bolzano - Weierstrass)

Mọi dãy vô hạn bị chặn đều chứa ít nhất một dãy con hội tụ.

Chứng minh.

Giả sử $\{a_n\}$ là một dãy bị chặn, tức tồn tại $a \leq b \in \mathbb{R}$ sao cho $a \leq a_n \leq b ~ \forall n \in \mathbb{N}.$

Ta sẽ chỉ ra tồn tại một dãy con hội tụ của $\{a_n\}$. Thực hiện chia đoạn $\left[a, b\right]$ thành hai đoạn con bằng nhau. Khi đó tồn tại ít nhất một đoạn con chứa vô hạn các phần tử của dãy $\{a_n\}$, vì nếu không thì cả hai đoạn chỉ chứa hữu hạn các phần tử của $\{a_n\}$, tức là đoạn $\left[a, b\right]$ chỉ chứa hữu hạn các phần tử của $\{a_n\}$. Ta gọi đoạn con đó là $\left[a_1, b_1\right]$ với $(b_1 - a_1) = \dfrac{b-a}{2}$, sau đó chọn một phần tử $a_{n_1}$ của dãy nằm trong nó. Trong đoạn con thứ $k$ của lần lập luận thứ $k$ tương tự trên là $\left[a_k, b_k\right]$ với $(b_k - a_k) = \dfrac{b-a}{2^k}$ ta chọn một phần tử $a_{n_k}$ của dãy nằm trong nó.

Lặp lại lập luận trên vô hạn lần ta được một dãy đoạn con $\left[ a,b \right] \supset \left[ a_1,b_1 \right] \supset \left[ a_2,b_2 \right]\supset \ldots \supset \left[ a_k,b_k \right] \supset \ldots$ lồng nhau và thắt lại, nghĩa là $\displaystyle \lim_{k\to \infty}(b_k-a_k) = \lim_{k \to\infty}{\dfrac{b-a}{2^k}} = 0, $

và chọn được một dãy con $\{a_{n_k}\}_{k \geq 1}$ của $\{a_n\}.$ Theo nguyên lý Cantor thì tồn tại duy nhất $\displaystyle \alpha \in \bigcap_{k=1}^{\infty}{\left[a_k, b_k\right]}$. Mặt khác do $a_{n_k}, \alpha \in \left[a_k, b_k\right]$ nên $0 \leq \left|a_{n_k} - \alpha\right| \leq |a_k - b_k| \to 0 $ khi $n_k \geq k \to \infty.$ Điều đó chứng tỏ $\displaystyle \lim_{k \to \infty}{a_{n_k}} = \alpha$, tức là tồn tại dãy con $\{a_{n_k}\} \subset \{a_n\}$ hội tụ.

 

 

Định nghĩa 1.8. (Dãy Cauchy)

Dãy số thực $\{a_n\}$ được gọi là dãy Cauchy nếu

$\forall \varepsilon > 0$ tồn tại $n_0$(chỉ phụ thuộc vào $\varepsilon$) sao cho $\forall m \geq n \geq n_0$ thì $|a_m - a_n| < \varepsilon.$

 

 

Định lý 1.9. (Nguyên lý Cauchy)

Dãy số thực $\{a_n\}$ hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.

 

Chứng minh.

Giả sử $\{a_n\}$ là một dãy hội tụ tới $\alpha \in \mathbb{R}$, tức là với mọi $\varepsilon > 0,$ tồn tại $n_0 \in \mathbb{N}$ sao cho với mọi $n \geq n_0$ thì $|a_n - \alpha| < \dfrac{\varepsilon}{2}.$ Khi đó với mọi $m \geq n \geq n_0$ thì $|a_m - a_n| = |(a_m -\alpha) + (\alpha - a_n)| \leq |a_m -\alpha| + |\alpha - a_n| < \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$ Nghĩa là $\{a_n\}$ là một dãy Cauchy.

 

Ngược lại, nếu $\{a_n\}$ là một dãy Cauchy, với $\varepsilon = 1 > 0,~\exists n_0:~\forall m \geq n \geq n_0$ thì $|a_m - a_n| < \varepsilon = 1.$

Cố định $n = n_1$ thì $\forall m \geq n_1 \geq n_0$ thì $|a_m - a_{n_1}| < 1.$

Suy ra $|a_m| = |(a_m - a_{n_1}) + a_{n_1}| \leq |a_m - a_{n_1}| + |a_{n_1}| <  1 + |a_{n_1}|$.

Do đó nếu đặt $M = \max\{|a_1|, \ldots, |a_{n_1}|, 1+|a_{n_1}|\}$ thì $|a_m| < M~\forall m \in \mathbb{N},$ tức là $\{a_m\}$ là một dãy bị chặn nên theo nguyên lý Bolzano - Weierstrass, tồn tại một dãy con $\{a_{m_k}\} \subset \{a_m\}$ hội tụ đến một giá trị hữu hạn $\beta$ nào đó thuộc $\mathbb{R}.$ Ta sẽ chứng minh rằng $\{a_m\}$ cũng hội tụ đến giá trị hữu hạn $\beta$ đó.

Thật vậy, do $\{a_{m_k}\}$ là một dãy hội tụ đến $\beta$, nên với mọi $\varepsilon_0 > 0$ thì tồn tại $n_2$ sao cho $\forall m_k \geq n_2$ thì $|a_{m_k} - \beta| < \dfrac{\varepsilon_0}{2}.$

Mặt khác, do $\{a_m\}$ là dãy cauchy, nên với $\varepsilon_0 > 0$ ở trên, tồn tại $n_3$ sao cho $\forall m \geq m_k \geq n_3$ thì $|a_{m} - a_{m_k}| < \dfrac{\varepsilon_0}{2}.$

Suy ra với mọi $m \geq m_k \geq \max\{n_2, n_3\}$ thì $|a_m - \beta| \leq |a_{m} - a_{m_k}| + |a_{m_k} - \beta| < \dfrac{\varepsilon_0}{2} + \dfrac{\varepsilon_0}{2} = \varepsilon_0.$

Điều đó chứng tỏ dãy $\{a_m\}$ cũng hội tụ đến $\beta.$

 

Bổ đề 1.10.

a) Một dãy Cauchy con được gọi là dãy cơ bản.

b) Một dãy cơ bản thì bị chặn

Nếu một dãy cơ bản có một dãy con hội tụ thì dãy cơ bản đó cũng hội tụ đến giá trị đó.

 

Nhận xét. (Ý nghĩa vể sự hội tụ của dãy cơ bản)

    Việc biết được giá trị hội tụ của đa số các dãy số thực là một bài toán khó. Nên việc chỉ ra một dãy có hội tụ hay không bằng định nghĩa khi đó trở nên rất khó khăn. Chính vì vậy việc chỉ ra một dãy là một dãy Cauchy tương ứng với một dãy hội tụ là phương pháp mà ta chỉ cần sử dụng chính nội hàm các yếu tố cấu thành nên dãy số đó mà không cần biết chính xác giá trị hội tụ của nó là bao nhiêu. Tương tự ta cũng có thể phát biểu cho điều kiện để một dãy được gọi là phân kỳ là:

Dãy số thực $\{a_n\}$ được gọi là phân kỳ nếu $\exists \varepsilon_0 > 0$, sao cho $\forall n_0, \exists m > n \geq n_0$ thì $|a_m - a_n | \geq \varepsilon_0.$

Bạn đừng viết vào mục này. Mình đã nhờ anh Nesbit lập ra mục tài liệu chuyên đề rồi mà.



#4
lvphong

lvphong

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Bạn đừng viết vào mục này. Mình đã nhờ anh Nesbit lập ra mục tài liệu chuyên đề rồi mà.

Vậy mk chuyển vào mục tài liệu chuyên đề đúng ko ạ?


lvphong


#5
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

Vậy mk chuyển vào mục tài liệu chuyên đề đúng ko ạ?

Đúng rồi bạn.



#6
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Đúng rồi bạn.

Em chuyển vào "Tài liệu-Chuyên đề giải tích" ổn chưa anh? Nếu không thì anh cứ chuyển đi chỗ nào thích hợp hơn :D


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#7
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

Em chuyển vào "Tài liệu-Chuyên đề giải tích" ổn chưa anh? Nếu không thì anh cứ chuyển đi chỗ nào thích hợp hơn :D

Ok. Chuyển vào đó là ổn rồi.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh