Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{CE}{b}+\frac{BD}{c}+\frac{OA^2}{BC}=1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
UserNguyenHaiMinh

UserNguyenHaiMinh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 55 Bài viết

Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC, AB=c, AC=b. Qua O vẽ 1 đường thẳng vuông góc với OA cắt AB, AC thứ tự tại D,E. Chứng minh rằng: $\frac{CE}{b}+\frac{BD}{c}+\frac{OA^2}{BC}=1$



#2
thanhng2k7

thanhng2k7

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

Mình thấy bài này đề bài cho hơi sai sai.Mình nghĩ là BC thay bằng AB.AC mới làm được :)

 

Do AO là phân giác $\widehat{BAC}$ nên $\widehat{DAO}=\widehat{EAO}$

Mà $\widehat{AOE}=\widehat{AOD}=90^{\circ}$ và AO chung

Nên $\Delta ADO =\Delta AEO$

Do đó AD=AE và DO=EO

Ta có: $\widehat{BDO}=\widehat{DAO}+\widehat{AOD}=90^{\circ}+\frac{\widehat{BAC}}{2}$

$\widehat{BOC}=180^{\circ}-\frac{\widehat{ABC}+\widehat{ACB}}{2}=180^{\circ}-\frac{180-\widehat{BAC}}{2}=90^{\circ}+\frac{\widehat{BAC}}{2}$

Suy ra $\widehat{BDO}=\widehat{BOC}$

Do đó $\Delta BDO\sim \Delta BOC(g.g)$

Tương tự $\Delta OEC\sim \Delta BOC(g.g)$

Nên $\Delta BDO\sim \Delta OEC(g.g)$

$\Rightarrow \frac{BD}{DO}=\frac{OE}{EC}\Leftrightarrow BD.EC=OD.OE=OD^{2}=AD^{2}-AO^{2}=AD.AE-AO^{2}=(AB-BD)(AC-CE)-AO^{2} \Leftrightarrow AB.CE+AC.BD+AO^{2}=AB.AC \Leftrightarrow \frac{CE}{AC}+\frac{BD}{AB}+\frac{OA^{2}}{AB.AC}=1$

Suy ra đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhng2k7: 16-01-2022 - 17:46

Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học ;)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh