Chủ đề này có 1 trả lời

[quockhanh12]

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có đường trung tuyến AM, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. AH cắt EF tại P. BP, CP lần lượt cắt (O) tại U,V. (PUV) cắt (BPC) tại K. Chứng minh rằng: PK vuông góc với AM.

[Hoang72]

Gọi (J) là đường tròn (PUV), (G) là đường tròn (PBC).

Gọi I là trung điểm của AH, M là trung điểm của BC.

AD cắt lại (O) tại X.

L đối xứng với I qua A.

Áp dụng định lý Brocard cho tứ giác AEHF ta có P là trực tâm của tam giác IBC.

Do đó 2GM = IP.

Ta có $(AH,PD)=-1\Rightarrow (HP,AD)=2\Rightarrow \frac{HA}{HD}=2\frac{PA}{PD}\Rightarrow AI.PD=PA.HD\Rightarrow PA(PD+HD)=PD(PA+AI)\Rightarrow PA.PX=PA.PL$.

Do đó xét phép nghịch đảo cực P, phương tích $\wp_{P/(O)}$: $(J)\leftrightarrow BC; L \leftrightarrow D$. Mà $D\in BC$ nên $L\in (J)$.

Từ đó $AJ=\frac{AP-AL}{2}=\frac{AP-AI}{2}=\frac{IP}{2}$.

Dẫn đến AJ = GM hay tứ giác AJGM là hình bình hành $\Rightarrow JG\parallel AM\Rightarrow PK\perp AM$. (đpcm)

Hình gửi kèm

•