Cho $a,b,c$ thực dương và $a^2+b^2+c^2=6$
Tìm giá trị nhỏ nhất của: $\frac{a}{bc}+\frac{2b}{ca}+\frac{5c}{ab}$
Bài này em có lời giải rồi nhưng cân bằng hệ số như thế nào vậy ạ?
Cho $a,b,c$ thực dương và $a^2+b^2+c^2=6$
Tìm giá trị nhỏ nhất của: $\frac{a}{bc}+\frac{2b}{ca}+\frac{5c}{ab}$
Bài này em có lời giải rồi nhưng cân bằng hệ số như thế nào vậy ạ?
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Cho $a,b,c$ thực dương và $a^2+b^2+c^2=6$
Tìm giá trị nhỏ nhất của: $\frac{a}{bc}+\frac{2b}{ca}+\frac{5c}{ab}$
Bài này em có lời giải rồi nhưng cân bằng hệ số như thế nào vậy ạ?
Bình phương lên, đặt ẩn phụ bình phương để giảm bậc rồi dùng AM-GM suy rộng.
Bình phương lên, đặt ẩn phụ bình phương để giảm bậc rồi dùng AM-GM suy rộng.
Dạ em yếu nên cần sự hướng dẫn chứ không phải là sự gợi ý ạ!
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Cho $a,b,c$ thực dương và $a^2+b^2+c^2=6$
Tìm giá trị nhỏ nhất của: $\frac{a}{bc}+\frac{2b}{ca}+\frac{5c}{ab}$
Bài này em có lời giải rồi nhưng cân bằng hệ số như thế nào vậy ạ?
Đặt $P=\frac{a}{bc}+\frac{2b}{ca}+\frac{5c}{ab}=\frac{a^{2}+2b^{2}+5c^{2}}{abc}$.
Đặt $a^{2}=x,b^{2}=y,c^{2}=z$. Khi đó $x+y+z=6$ và $P^{2}=\frac{(x+2y+5z)^{2}}{xyz}=\frac{(x+y+z)(x+2y+5z)^{2}}{6xyz}$.
Giả sử đẳng thức xảy ra tại $x=x_{0},y=y_{0},z=z_{0}$.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho $\frac{x}{x_{0}},\frac{y}{y_{0}},\frac{z}{z_{0}}$ ta có
$$x+y+z\geq 6\left(\frac{x}{x_{0}}\right)^{\frac{x_{0}}{6}}\left(\frac{y}{y_{0}}\right)^{\frac{y_{0}}{6}}\left(\frac{z}{z_{0}}\right)^{\frac{z_{0}}{6}},$$
$$x+2y+5z\geq S\left(\frac{x}{x_{0}}\right)^{\frac{x_{0}}{S}}\left(\frac{y}{y_{0}}\right)^{\frac{2y_{0}}{S}}\left(\frac{z}{z_{0}}\right)^{\frac{5z_{0}}{S}},$$
với $S=x_{0}+2y_{0}+5z_{0}$.
Như vậy ta có $$(x+y+z)(x+2y+5z)^{2}\geq 6S^{2}\left(\frac{x}{x_{0}}\right)^{\frac{x_{0}}{6}+\frac{2x_{0}}{S}}\left(\frac{y}{y_{0}}\right)^{\frac{y_{0}}{6}+\frac{4y_{0}}{S}}\left(\frac{z}{z_{0}}\right)^{\frac{z_{0}}{6}+\frac{10z_{0}}{S}}.$$
Ta cần chọn $x_{0},y_{0},z_{0}$ sao cho $x_{0}+y_{0}+z_{0}=6$ và
$$\frac{x_{0}}{6}+\frac{2x_{0}}{S}=\frac{y_{0}}{6}+\frac{4y_{0}}{S}=\frac{z_{0}}{6}+\frac{10z_{0}}{S}=1.$$
Từ đây giải hệ tìm được $x_{0}=3,y_{0}=2,z_{0}=1$.
PS: Lâu rồi cũng không dùng lại phương pháp này. Bây giờ bọn anh hay dùng nhân tử Lagrange hơn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 06-02-2022 - 21:53
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh