Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm giá trị nhỏ nhất của: $\frac{a}{bc}+\frac{2b}{ca}+\frac{5c}{ab}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cho $a,b,c$ thực dương và $a^2+b^2+c^2=6$

Tìm giá trị nhỏ nhất của: $\frac{a}{bc}+\frac{2b}{ca}+\frac{5c}{ab}$

Bài này em có lời giải rồi nhưng cân bằng hệ số như thế nào vậy ạ? :ohmy: 


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#2
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

Cho $a,b,c$ thực dương và $a^2+b^2+c^2=6$

Tìm giá trị nhỏ nhất của: $\frac{a}{bc}+\frac{2b}{ca}+\frac{5c}{ab}$

Bài này em có lời giải rồi nhưng cân bằng hệ số như thế nào vậy ạ? :ohmy: 

Bình phương lên, đặt ẩn phụ bình phương để giảm bậc rồi dùng AM-GM suy rộng.



#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Bình phương lên, đặt ẩn phụ bình phương để giảm bậc rồi dùng AM-GM suy rộng.

Dạ em yếu nên cần sự hướng dẫn chứ không phải là sự gợi ý ạ!  :mellow: 


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#4
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

Cho $a,b,c$ thực dương và $a^2+b^2+c^2=6$

Tìm giá trị nhỏ nhất của: $\frac{a}{bc}+\frac{2b}{ca}+\frac{5c}{ab}$

Bài này em có lời giải rồi nhưng cân bằng hệ số như thế nào vậy ạ? :ohmy: 

Đặt $P=\frac{a}{bc}+\frac{2b}{ca}+\frac{5c}{ab}=\frac{a^{2}+2b^{2}+5c^{2}}{abc}$.

Đặt $a^{2}=x,b^{2}=y,c^{2}=z$. Khi đó $x+y+z=6$ và $P^{2}=\frac{(x+2y+5z)^{2}}{xyz}=\frac{(x+y+z)(x+2y+5z)^{2}}{6xyz}$.

Giả sử đẳng thức xảy ra tại $x=x_{0},y=y_{0},z=z_{0}$.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho $\frac{x}{x_{0}},\frac{y}{y_{0}},\frac{z}{z_{0}}$ ta có

$$x+y+z\geq 6\left(\frac{x}{x_{0}}\right)^{\frac{x_{0}}{6}}\left(\frac{y}{y_{0}}\right)^{\frac{y_{0}}{6}}\left(\frac{z}{z_{0}}\right)^{\frac{z_{0}}{6}},$$

$$x+2y+5z\geq S\left(\frac{x}{x_{0}}\right)^{\frac{x_{0}}{S}}\left(\frac{y}{y_{0}}\right)^{\frac{2y_{0}}{S}}\left(\frac{z}{z_{0}}\right)^{\frac{5z_{0}}{S}},$$

với $S=x_{0}+2y_{0}+5z_{0}$.

Như vậy ta có $$(x+y+z)(x+2y+5z)^{2}\geq 6S^{2}\left(\frac{x}{x_{0}}\right)^{\frac{x_{0}}{6}+\frac{2x_{0}}{S}}\left(\frac{y}{y_{0}}\right)^{\frac{y_{0}}{6}+\frac{4y_{0}}{S}}\left(\frac{z}{z_{0}}\right)^{\frac{z_{0}}{6}+\frac{10z_{0}}{S}}.$$

Ta cần chọn $x_{0},y_{0},z_{0}$ sao cho $x_{0}+y_{0}+z_{0}=6$ và

$$\frac{x_{0}}{6}+\frac{2x_{0}}{S}=\frac{y_{0}}{6}+\frac{4y_{0}}{S}=\frac{z_{0}}{6}+\frac{10z_{0}}{S}=1.$$

Từ đây giải hệ tìm được $x_{0}=3,y_{0}=2,z_{0}=1$.

PS: Lâu rồi cũng không dùng lại phương pháp này. Bây giờ bọn anh hay dùng nhân tử Lagrange hơn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 06-02-2022 - 21:53





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh