Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

Tìm phần dư


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 602 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 06-03-2020 - 15:43

Tìm phần dư khi chia $3^{2^{n}}$ cho $2^{n+3}$; trong đó n là số nguyên dương



#2 Pizscontrol9

Pizscontrol9

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:làm việc mình thích

Đã gửi 07-03-2020 - 21:30

Tìm phần dư khi chia $3^{2^{n}}$ cho $2^{n+3}$; trong đó n là số nguyên dương

Bạn có đáp án bài này không bạn, nếu có cho mình xin nha.



#3 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 602 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 07-03-2020 - 21:36

Bạn có đáp án bài này không bạn, nếu có cho mình xin nha.

Mình chưa có nhé bạn, bài này là đề thầy đội tuyển giao cho về làm nhưng mình chưa làm được nên đưa lên đây hỏi.

Mai thầy mình mới đưa đáp án bạn nhé.



#4 Peteroldar

Peteroldar

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 276 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PUBG
  • Sở thích:PUBG, maths, and so on....

Đã gửi 07-03-2020 - 22:06

Tìm phần dư khi chia $3^{2^{n}}$ cho $2^{n+3}$; trong đó n là số nguyên dương

Bài toán hay đấy

Theo mình thì số dư là $2^{n+2}+1$. Bạn có thể CM bằng quy nạp 



#5 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 602 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 08-03-2020 - 09:45

Bài toán hay đấy

Theo mình thì số dư là $2^{n+2}+1$. Bạn có thể CM bằng quy nạp 

Cảm ơn bạn nha; sử dụng quy nạp cũng là 1 cách đúng.

Ta chứng minh quy nạp mệnh đề sau: Với n nguyên dương thì khi chia $3^{2^{n}}$ cho $2^{n+3}$ sẽ có phần dư là $2^{n+2}+1$.

Thật vậy: +)Dễ thấy với n=1 thì mệnh đề đúng.

      +)Giả sử mệnh đề đúng với n=k; k là số nguyên dương.

Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1 tức là $3^{2^{k+1}}$ chia cho $2^{k+4}$ dư $2^{k+3}+1$.

Ta có: $3^{2^{k+1}}=(3^{2^{k}})^{2}=(2^{k+3}.A+2^{k+2}+1)^{2}=2^{2k+6}.A^{2}+2^{2k+4}+1+2.2^{k+3}.A.2^{k+2}+2.2^{k+3}.A+2.2^{k+2}=2^{k+4}(2^{k+2}.A^{2}+2^{k}+2^{k+2}.A+A)+2^{k+3}+1$

 Vì k nguyên dương nên $2^{k+3}+1<2^{k+4}$. Do đó $3^{2^{k+1}}$ chia cho $2^{k+4}$ dư $2^{k+3}+1$ .

Theo nguyên lí quy nạp thì mệnh đề đúng với mọi n nguyên dương.

Vậy...



#6 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 602 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 08-03-2020 - 09:54

Còn đây là cách thầy mình đưa ra ( nghe có vẻ dễ hơn).

Ta có:$3^{2^{n}}=(3^{2^{n}}-1)+1=(3-1).(3+1).(3^{2}+1).(3^{2^{2}}+1)...(3^{2^{n-1}}+1)+1$

Dễ thấy $3^{2^{k}}+1$ chia 4 dư 2 với mọi k nguyên dương.

Do đó $3^{2}+1$; $3^{2^{2}}+1$ ;...; $3^{2^{n-1}}+1$ chia hết cho 2 mà không chia hết cho 4. 

Hay $3^{2^{k}}+1=2.p$ với p là số lẻ. 

=>$(3^{2}+1).(3^{2^{2}}+1)...(3^{2^{n-1}}+1)=2^{n-1}.(2m+1)$ với m nguyên dương

Vậy $3^{2^{n}}=2.4.2^{n-1}(2m+1)+1=m.2^{n+3}+2^{n+2}+1$.

Vì $2^{n+2}+1<2^{n+3}$ nên phần dư khi chia $3^{2^{n}}$ cho $2^{n+3}$ là $2^{n+2}+1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 08-03-2020 - 10:00





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh