Chủ đề này có 1 trả lời

[cuong2255]

Gọi $d_1, d_2,..., d_k$ là tất cả các ước nguyên dương của n và được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ có tính chất sau: $d_5 - d_3 = 40$ và $7d_5 + 8d_7 = 3n$.

[PDF]

Gọi $d_1, d_2,..., d_k$ là tất cả các ước nguyên dương của n và được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ có tính chất sau: $d_5 - d_3 = 40$ và $7d_5 + 8d_7 = 3n$.

Từ giả thiết suy ra $d_{7}\mid 7d_{5}$ nên $9d_{7}\leq 7d_{5}+8d_{7}=3n<15d_{7}$, do đó $3d_{7}\leq n\leq 4d_{7}$.

Xét hai trường hợp

1. $n=3d_{7}$

Ta có $d_{7}=7d_{5}$ nên $n=21d_{5}$. Như vậy ta đã biết được $4$ ước của $n$ là $1,3,7,21$.

Mà $d_{5}>40$ nên $4$ ước trên chính là $4$ ước đầu tiên của $n$, kéo theo $d_{3}=7$, từ đó $d_{5}=47$.

Suy ra $n=21\cdot 45=945$. Thử lại thỏa mãn.

2. $n=4d_{7}$.

Trong trường hợp này, $n=4d_{7}=7d_{5}$. Từ đó $4$ ước đầu tiên của $n$ là $1,2,4,7$. Suy ra $d_{5}=44$, mâu thuẫn vì khi đó $11\mid n$ nên $44$ không phải ước thứ $5$.

Vậy $n=945$ là đáp số duy nhất. $\square$