cho các dố thực dương a,b,c thoả mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{bc+a+\frac{1}{a}}+\frac{1}{ac+b+\frac{1}{b}}+\frac{1}{ab+c+\frac{1}{c}}\leq \frac{27}{31}$
cho các dố thực dương a,b,c thoả mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{bc+a+\frac{1}{a}}+\frac{1}{ac+b+\frac{1}{b}}+\frac{1}{ab+c+\frac{1}{c}}\leq \frac{27}{31}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có
$$\frac{1}{bc+a+\frac{1}{a}}\leq \frac{1}{31^{2}}\left(\frac{8^{2}}{bc+a+\frac{4}{27a}}+\frac{23^{2}}{\frac{23}{27a}}\right).$$
Do đó $$VT\leq \left(\frac{8}{31}\right)^{2}P+\frac{23\cdot 27}{31^{2}},$$
với $$P=\frac{1}{bc+a+\frac{4}{27a}}+\frac{1}{ca+b+\frac{4}{27b}}+\frac{1}{ab+c+\frac{4}{27c}}.$$
Áp dụng BĐT AM-GM cùng giả thiết $a+b+c=1$ ta có
$$P=\frac{1}{(a+b)(a+c)+\frac{4}{27a}}+\frac{1}{(b+c)(b+a)+\frac{4}{27b}}+\frac{1}{(c+a)(c+b)+\frac{4}{27c}}\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}Q,$$
với $Q=\sqrt{\frac{a}{(a+b)(a+c)}}+\sqrt{\frac{b}{(b+c)(b+a)}}+\sqrt{\frac{c}{(c+a)(c+b)}}$.
Lại áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có
$$Q^{2}\leq 3\left[\frac{a}{(a+b)(a+c)}+\frac{b}{(b+c)(b+a)}+\frac{c}{(c+a)(c+b)}\right]=\frac{6(a+b+c)(bc+ca+ab)}{(b+c)(c+a)(a+b)}\leq \frac{27}{4},$$
suy ra $P\leq \frac{27}{8}$, từ đó $VT\leq \left(\frac{8}{31}\right)^{2}\cdot \frac{27}{8}+\frac{23\cdot 27}{31^{2}}=\frac{27}{31}$.
Đẳng thức xảy ra chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$. $\square$
làm sao để biết đc sẽ có đánh giá
$\frac{1}{bc+a+\frac{1}{a}}\leq \frac{1}{31^{2}}\left (\frac{8^{2}}{bc+a+\frac{4}{27a}} + \frac{23^{2}}{\frac{23}{27a}} \right )$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi jesica ly: 19-02-2022 - 21:04
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có
$$\frac{1}{bc+a+\frac{1}{a}}\leq \frac{1}{31^{2}}\left(\frac{8^{2}}{bc+a+\frac{4}{27a}}+\frac{23^{2}}{\frac{23}{27a}}\right).$$
Do đó $$VT\leq \left(\frac{8}{31}\right)^{2}P+\frac{23\cdot 27}{31^{2}},$$
với $$P=\frac{1}{bc+a+\frac{4}{27a}}+\frac{1}{ca+b+\frac{4}{27b}}+\frac{1}{ab+c+\frac{4}{27c}}.$$
Áp dụng BĐT AM-GM cùng giả thiết $a+b+c=1$ ta có
$$P=\frac{1}{(a+b)(a+c)+\frac{4}{27a}}+\frac{1}{(b+c)(b+a)+\frac{4}{27b}}+\frac{1}{(c+a)(c+b)+\frac{4}{27c}}\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}Q,$$
với $Q=\sqrt{\frac{a}{(a+b)(a+c)}}+\sqrt{\frac{b}{(b+c)(b+a)}}+\sqrt{\frac{c}{(c+a)(c+b)}}$.
Lại áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có
$$Q^{2}\leq 3\left[\frac{a}{(a+b)(a+c)}+\frac{b}{(b+c)(b+a)}+\frac{c}{(c+a)(c+b)}\right]=\frac{6(a+b+c)(bc+ca+ab)}{(b+c)(c+a)(a+b)}\leq \frac{27}{4},$$
suy ra $P\leq \frac{27}{8}$, từ đó $VT\leq \left(\frac{8}{31}\right)^{2}\cdot \frac{27}{8}+\frac{23\cdot 27}{31^{2}}=\frac{27}{31}$.
Đẳng thức xảy ra chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$. $\square$
làm sao để biết đc sẽ có đánh giá này vậy ạ
$\frac{1}{bc+a+\frac{1}{a}}\leq \frac{1}{31^{2}}\left ( \frac{8^{2}}{bc+a+\frac{4}{27a}}+\frac{23^{2}}{\frac{23}{27a}} \right )$
làm sao để biết đc sẽ có đánh giá này vậy ạ
$\frac{1}{bc+a+\frac{1}{a}}\leq \frac{1}{31^{2}}\left ( \frac{8^{2}}{bc+a+\frac{4}{27a}}+\frac{23^{2}}{\frac{23}{27a}} \right )$
Đoán được $a=b=c=\frac{1}{3}$ là ra.
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh