Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{1}{bc+a+\frac{1}{a}}+\frac{1}{ac+b+\frac{1}{b}}+\frac{1}{ab+c+\frac{1}{c}}\leq \frac{27}{31}$

bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
nanan

nanan

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 12 Bài viết

cho các dố thực dương a,b,c thoả mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{bc+a+\frac{1}{a}}+\frac{1}{ac+b+\frac{1}{b}}+\frac{1}{ab+c+\frac{1}{c}}\leq \frac{27}{31}$



#2
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

cho các dố thực dương a,b,c thoả mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{bc+a+\frac{1}{a}}+\frac{1}{ac+b+\frac{1}{b}}+\frac{1}{ab+c+\frac{1}{c}}\leq \frac{27}{31}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có

$$\frac{1}{bc+a+\frac{1}{a}}\leq \frac{1}{31^{2}}\left(\frac{8^{2}}{bc+a+\frac{4}{27a}}+\frac{23^{2}}{\frac{23}{27a}}\right).$$

Do đó $$VT\leq \left(\frac{8}{31}\right)^{2}P+\frac{23\cdot 27}{31^{2}},$$

với $$P=\frac{1}{bc+a+\frac{4}{27a}}+\frac{1}{ca+b+\frac{4}{27b}}+\frac{1}{ab+c+\frac{4}{27c}}.$$

Áp dụng BĐT AM-GM cùng giả thiết $a+b+c=1$ ta có

$$P=\frac{1}{(a+b)(a+c)+\frac{4}{27a}}+\frac{1}{(b+c)(b+a)+\frac{4}{27b}}+\frac{1}{(c+a)(c+b)+\frac{4}{27c}}\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}Q,$$

với $Q=\sqrt{\frac{a}{(a+b)(a+c)}}+\sqrt{\frac{b}{(b+c)(b+a)}}+\sqrt{\frac{c}{(c+a)(c+b)}}$.

Lại áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có

$$Q^{2}\leq 3\left[\frac{a}{(a+b)(a+c)}+\frac{b}{(b+c)(b+a)}+\frac{c}{(c+a)(c+b)}\right]=\frac{6(a+b+c)(bc+ca+ab)}{(b+c)(c+a)(a+b)}\leq \frac{27}{4},$$

suy ra $P\leq \frac{27}{8}$, từ đó $VT\leq \left(\frac{8}{31}\right)^{2}\cdot \frac{27}{8}+\frac{23\cdot 27}{31^{2}}=\frac{27}{31}$.

Đẳng thức xảy ra chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$. $\square$



#3
jesica ly

jesica ly

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

làm sao để biết đc sẽ có đánh giá 

$\frac{1}{bc+a+\frac{1}{a}}\leq \frac{1}{31^{2}}\left (\frac{8^{2}}{bc+a+\frac{4}{27a}} + \frac{23^{2}}{\frac{23}{27a}} \right )$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi jesica ly: 19-02-2022 - 21:04


#4
jesica ly

jesica ly

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có

$$\frac{1}{bc+a+\frac{1}{a}}\leq \frac{1}{31^{2}}\left(\frac{8^{2}}{bc+a+\frac{4}{27a}}+\frac{23^{2}}{\frac{23}{27a}}\right).$$

Do đó $$VT\leq \left(\frac{8}{31}\right)^{2}P+\frac{23\cdot 27}{31^{2}},$$

với $$P=\frac{1}{bc+a+\frac{4}{27a}}+\frac{1}{ca+b+\frac{4}{27b}}+\frac{1}{ab+c+\frac{4}{27c}}.$$

Áp dụng BĐT AM-GM cùng giả thiết $a+b+c=1$ ta có

$$P=\frac{1}{(a+b)(a+c)+\frac{4}{27a}}+\frac{1}{(b+c)(b+a)+\frac{4}{27b}}+\frac{1}{(c+a)(c+b)+\frac{4}{27c}}\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}Q,$$

với $Q=\sqrt{\frac{a}{(a+b)(a+c)}}+\sqrt{\frac{b}{(b+c)(b+a)}}+\sqrt{\frac{c}{(c+a)(c+b)}}$.

Lại áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có

$$Q^{2}\leq 3\left[\frac{a}{(a+b)(a+c)}+\frac{b}{(b+c)(b+a)}+\frac{c}{(c+a)(c+b)}\right]=\frac{6(a+b+c)(bc+ca+ab)}{(b+c)(c+a)(a+b)}\leq \frac{27}{4},$$

suy ra $P\leq \frac{27}{8}$, từ đó $VT\leq \left(\frac{8}{31}\right)^{2}\cdot \frac{27}{8}+\frac{23\cdot 27}{31^{2}}=\frac{27}{31}$.

Đẳng thức xảy ra chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$. $\square$

làm sao để biết đc sẽ có đánh giá này vậy ạ

$\frac{1}{bc+a+\frac{1}{a}}\leq \frac{1}{31^{2}}\left ( \frac{8^{2}}{bc+a+\frac{4}{27a}}+\frac{23^{2}}{\frac{23}{27a}} \right )$



#5
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

làm sao để biết đc sẽ có đánh giá này vậy ạ

$\frac{1}{bc+a+\frac{1}{a}}\leq \frac{1}{31^{2}}\left ( \frac{8^{2}}{bc+a+\frac{4}{27a}}+\frac{23^{2}}{\frac{23}{27a}} \right )$

Đoán được $a=b=c=\frac{1}{3}$ là ra.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh