Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho a,b,c thỏa mãn điều kiện


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 539 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 07-03-2020 - 22:00

Cho 3 số thực $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện: Với mỗi số nguyên dương n, $a^{n}+b^{n}+c^{n}$ là 1 số nguyên. CMR: tồn tại các số nguyên $p,q,r$ sao cho $a,b,c$ là 3 nghiệm của phương trình $x^{3}+px^{2}+qx+r=0$



#2 Peteroldar

Peteroldar

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PUBG
  • Sở thích:PUBG, maths, and so on....

Đã gửi 07-03-2020 - 22:38

Cho 3 số thực $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện: Với mỗi số nguyên dương n, $a^{n}+b^{n}+c^{n}$ là 1 số nguyên. CMR: tồn tại các số nguyên $p,q,r$ sao cho $a,b,c$ là 3 nghiệm của phương trình $x^{3}+px^{2}+qx+r=0$

Cho mình hỏi điều kiện của $n$?



#3 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 539 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 08-03-2020 - 09:23

Cho mình hỏi điều kiện của $n$?

n là số nguyên dương chốc bạn; trên đề bài có đó; ngay trước an+bn+cn đó



#4 trambau

trambau

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 543 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Học viện báo chí và tuyên truyền

Đã gửi 11-03-2020 - 21:47

Cho 3 số thực $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện: Với mỗi số nguyên dương n, $a^{n}+b^{n}+c^{n}$ là 1 số nguyên. CMR: tồn tại các số nguyên $p,q,r$ sao cho $a,b,c$ là 3 nghiệm của phương trình $x^{3}+px^{2}+qx+r=0$

Đề hsg năm nào đó thì phải 

Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $T_n=a^n+b^n+c^n$. Theo giả thiết: $T_n\in\mathbb{Z} \forall n\geq 1$
Ta sẽ chứng minh các số $p = - (a + b + c)$, $q = ab + bc + ca$ và $r = - abc$ thỏa mãn điều kiện của bài toán.
Thật vậy, theo định lí Vi-et đảo, các số a, b, c là 3 nghiệm của phương trình
 $x^{3}+px^{2}+qx+r=0$
Hơn nữa, do $p = -T_1$ nên $p \in\mathbb{Z}$.
 ta sẽ chứng minh $q, r \in\mathbb{Z}$ .
Dễ thấy, ta có các biểu diễn dưới đây của $T_n$ qua $p, q, r$ :
$T_1=-p$ 
$T_2=p^2-2q$ (1)
$T_3 = -p^3+3pq-3r$ (2)
$T_{n+3}=-pT_{n+2}-qT_{n+1}-rT_n \forall n\geq 1$ (3)
Do $T_2, p \in Z$  nên từ (1) suy ra $2q \in Z$. (4)
Từ (2) suy ra $2pT_3 = - 2p^4+ 6p^2q - 6pr$
Từ đó, với lưu ý tới (4), dễ dàng suy ra $6pr \in Z$. (5)
Ở (3), cho n = 1 ta được: $T_4 = – pT_3 – qT_2 – rT_1 = p^4 - 4p^2q + 4pr + 2q^2$
Suy ra $3T_4 = 3p^4 - 12p^2q + 12pr + 6q^2$
Từ đó, với lưu ý tới (4) và (5), suy ra $6q^2 \in Z$. Kết hợp với (4), ta được $q \in Z$.
Vì thế, từ (2) suy ra $3r \in Z$. Do đó r phải có dạng: $\frac{3}{m}=r$, $m \in Z$. (6)
Mặt khác, từ (3) ta có: $rT_n \in Z$ $\forall n\geq 1$. Kết hợp với (6), ta được $mT_n ≡ 0(mod 3)$ $\forall n\geq 1$. (7)
- Nếu tồn tại n sao cho $(T_n, 3) = 1$ thì từ (7) suy ra $m ≡ 0(mod 3)$. Vì thế $r \in Z$.
- Xét trường hợp $T_n ≡ 0(mod 3)$ $\forall n\geq 1$. Khi đó, do $p = T_1 ≡ 0(mod 3)$ và $T3 ≡ 0(mod 3)$ nên từ (2) dễ
dàng suy ra $r \in Z$.


#5 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 539 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 11-03-2020 - 22:00

 

Đề hsg năm nào đó thì phải 

Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $T_n=a^n+b^n+c^n$. Theo giả thiết: $T_n\in\mathbb{Z} \forall n\geq 1$
Ta sẽ chứng minh các số $p = - (a + b + c)$, $q = ab + bc + ca$ và $r = - abc$ thỏa mãn điều kiện của bài toán.
Thật vậy, theo định lí Vi-et đảo, các số a, b, c là 3 nghiệm của phương trình
 $x^{3}+px^{2}+qx+r=0$
Hơn nữa, do $p = -T_1$ nên $p \in\mathbb{Z}$.
 ta sẽ chứng minh $q, r \in\mathbb{Z}$ .
Dễ thấy, ta có các biểu diễn dưới đây của $T_n$ qua $p, q, r$ :
$T_1=-p$ 
$T_2=p^2-2q$ (1)
$T_3 = -p^3+3pq-3r$ (2)
$T_{n+3}=-pT_{n+2}-qT_{n+1}-rT_n \forall n\geq 1$ (3)
Do $T_2, p \in Z$  nên từ (1) suy ra $2q \in Z$. (4)
Từ (2) suy ra $2pT_3 = - 2p^4+ 6p^2q - 6pr$
Từ đó, với lưu ý tới (4), dễ dàng suy ra $6pr \in Z$. (5)
Ở (3), cho n = 1 ta được: $T_4 = – pT_3 – qT_2 – rT_1 = p^4 - 4p^2q + 4pr + 2q^2$
Suy ra $3T_4 = 3p^4 - 12p^2q + 12pr + 6q^2$
Từ đó, với lưu ý tới (4) và (5), suy ra $6q^2 \in Z$. Kết hợp với (4), ta được $q \in Z$.
Vì thế, từ (2) suy ra $3r \in Z$. Do đó r phải có dạng: $\frac{3}{m}=r$, $m \in Z$. (6)
Mặt khác, từ (3) ta có: $rT_n \in Z$ $\forall n\geq 1$. Kết hợp với (6), ta được $mT_n ≡ 0(mod 3)$ $\forall n\geq 1$. (7)
- Nếu tồn tại n sao cho $(T_n, 3) = 1$ thì từ (7) suy ra $m ≡ 0(mod 3)$. Vì thế $r \in Z$.
- Xét trường hợp $T_n ≡ 0(mod 3)$ $\forall n\geq 1$. Khi đó, do $p = T_1 ≡ 0(mod 3)$ và $T3 ≡ 0(mod 3)$ nên từ (2) dễ
dàng suy ra $r \in Z$.

 

 đề này thầy em giao cho em về làm, thầy bảo hình như là đề thi chon HSGQG lớp 12 năm 2009 thì phải chị ạ. Mà lạ thật, em mới học lớp 9 mà thầy đã giao cho bài của lớp 12 thì sao làm nổi






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh