Cho $a,b,c>0$. Chứng minh: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{(a+b+c)^2}\geq \frac{7}{25}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a+b+c})^2$.
$\sum \frac{1}{a^2}+\frac{1}{(a+b+c)^2}\geq \frac{7}{25}(\sum \frac{1}{a}+\frac{1}{a+b+c})^2$
Bắt đầu bởi Math04, 01-03-2022 - 12:33
#2
Đã gửi 06-03-2022 - 19:26
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$\left [ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{(a+b+c)^2} \right ](1+1+1+\frac{1}{9})\geqslant (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{3(a+b+c)})^2$
Như vậy, ta quy về chứng minh:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{3(a+b+c)}\geqslant \frac{14}{15}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a+b+c})$
$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{9}{a+b+c}$
Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
