Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

BĐT


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Do Hong Quan

Do Hong Quan

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 41 Bài viết

Đã gửi 10-03-2020 - 20:53

Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng  :

 $\frac{a}{\sqrt{5a^{2}+(b+c)^{2}}}$ +  $\frac{b}{\sqrt{5b^{2}+(c+a)^{2}}}$ +  $\frac{c}{\sqrt{5c^{2}+(a+b)^{2}}}$   1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Do Hong Quan: 10-03-2020 - 20:58


#2 EstarossaHT

EstarossaHT

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh

Đã gửi 10-03-2020 - 21:45

Bài này bạn Bunhia xong cái mẫu là 5a^2+ (b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2a^2+bc + 2a^2+bc

tiếp tục dùng svac ngược và đưa về cm sigma a^2/2a^2+bc <= 1

Cosi ngược dấu là dc



#3 Do Hong Quan

Do Hong Quan

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 41 Bài viết

Đã gửi 11-03-2020 - 13:50

Bài này bạn Bunhia xong cái mẫu là 5a^2+ (b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2a^2+bc + 2a^2+bc

tiếp tục dùng svac ngược và đưa về cm sigma a^2/2a^2+bc <= 1

Cosi ngược dấu là

bạn nói rõ hơn được ko ?



#4 leo1905

leo1905

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 37 Bài viết

Đã gửi 11-03-2020 - 22:42

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: $[5a^{2}+(b+c)^{2}](5+2^2)\geq [5a+2(b+c)]^2$

$\Leftrightarrow \frac{a}{\sqrt{5a^{2}+(b+c)^2}}\leq \frac{3a}{5a+2(b+c)}$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại ta được: $A\leq \sum \frac{3a}{5a+2(b+c)}$

Ta sẽ chứng minh $\sum \frac{3a}{5a+2(b+c)}$$\leq 1$ $\Leftrightarrow \sum \frac{b+c}{5a+2(b+c)}\geq \frac{2}{3}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có $\sum \frac{b+c}{5a+2(b+c)}=\sum \frac{(b+c)^2}{5a(b+c)+2(b+c)^2}\geq \frac{4(a+b+c)^2}{14(ab+bc+ca)+4(a^2+b^2+c^2)}$$=\frac{2(a+b+c)^2}{7(ab+bc+ca)+2(a^2+b^2+c^2)}$. Ta có $\frac{2(a+b+c)^2}{7(ab+bc+ca)+2(a^2+b^2+c^2)}$ $\geq \frac{2}{3}\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$ (Hiển nhiên đúng).

Vậy: Bài toán được CM






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh