Chủ đề này có 1 trả lời

[thanhng2k7]

Cho hình vuông ABCD có tâm O.Đường thẳng d qua C cắt AB và tia đối của tia AD tại E,F.I là trung điểm BE

a,CM đường thẳng FI luôn tiếp xúc với 1 đường tròn cố định khi d thay đổi qua C

b,CMR FI,DE cắt nhau tại 1 điểm trên (O;OA)

[vkhoa]

a)
Lấy $J$ trên đoạn $AD$ sao cho $AJ = BI$
$\Rightarrow \triangle OAJ = \triangle OBI$ (c, g, c)
$\Rightarrow OJ = OI$ (1)
Đặt $AE = x, AB = a$
Có $AI = AE + EI = x + \frac12EB = x + \frac12(a - x) = \frac{a + x}2$
Có $\frac{FA}{FD} = \frac{AE}{DC} = \frac xa$
$\Leftrightarrow \frac{FA}{FD - FA} = \frac x{a - x}$
$\Leftrightarrow FA = \frac {ax}{a - x}$
Có $FI^2 = FA^2 + AI^2$
$= \frac{a^2x^2}{(a - x)^2} + \frac{(a + x)^2}4$
$= \frac{4a^2x^2 + (a^2 - x^2)^2}{4(a - x)^2}$
$= \frac{(a^2 + x^2)^2}{4(a - x)^2}$
$\Leftrightarrow FI = \frac{a^2 + x^2}{2(a - x)}$ (2)
Có $FJ = FA + AI = \frac{ax}{a - x} + \frac{a - x}2$
$= \frac{2ax + (a - x)^2}{2(a - x)} = \frac{a^2 + x^2}{2(a - x)}$ (3)
(2, 3) $\Rightarrow FI = FJ$ (4)
(1, 4) $\Rightarrow \triangle OFJ = \triangle OFI$ (c, c, c)
$\Rightarrow \widehat{OFJ} = \widehat{OFI}$
$\Rightarrow O$ cách đều $FD, FI$
$\Rightarrow FI$ luôn tiếp xúc đường tròn nội tiếp $ABCD$
b)
Gọi tia $FI$ là tia $Fx$, cắt $DE$ tại $G$
theo a), $O$ cách đều $BA, Fx$
$\Rightarrow \widehat{OIA} = \widehat{OIx}$
$\Leftrightarrow \widehat{IEG} = \widehat{IGE}$
$\Rightarrow IE = IG = IB$
$\Rightarrow \widehat{DGB} = 90^\circ = \widehat{DAB}$
Vậy, $G$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp $ABCD$ (đpcm)