Chủ đề này có 2 trả lời

[PDF]

Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi $a,b,c$ không âm

$$(a+b+c)^{6}\geq 729a^{2}b^{2}c^{2}+108(b-c)^{2}(c-a)^{2}(a-b)^{2}.$$

PS: Bài này tôi từng thấy trên diễn đàn, nhưng hình như chưa có ai giải.

Gợi ý

Đây là một bài tập tốt để giới thiệu về kỹ thuật dồn biến toàn miền.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 21-03-2022 - 21:40

[Hoang72]

Bất đẳng thức tương đương với $[(a+b+c)^3-27abc][(a+b+c)^3+27abc]\geq 108(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2$

$\Leftrightarrow \sum\frac{(7a+b+c)(b-c)^2}{2}[(a+b+c)^3+27abc] \geq 108(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2$. (*)

Giả sử $c=\min\{a,b,c\}$. 

Nhận thấy nếu giảm $a,b,c$ cùng một lượng $k$ sao cho $a,b,c$ vẫn không âm thì $|a-b|,|b-c|,|c-a|$ không đổi nên $VT$ của $(*)$ bị giảm còn $VP$ của $(*)$ giữ nguyên.

Do đó ta có thể giả sử $c=0$. Khi đó ta cần chứng minh $(a+b)^6\geq 108a^2b^2(a-b)^2$, tuy nhiên bất đẳng thức này luôn đúng theo AM - GM: $4a^2b^2(a-b)^2=2ab.2ab.(a-b)^2\leq \frac{((a-b)^2+2ab+2ab)^3}{27}=\frac{(a+b)^6}{27}$.

Ta có điều phải chứng minh.

[PDF]

Bất đẳng thức tương đương với $[(a+b+c)^3-27abc][(a+b+c)^3+27abc]\geq 108(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2$

$\Leftrightarrow \sum\frac{(7a+b+c)(b-c)^2}{2}[(a+b+c)^3+27abc] \geq 108(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2$. (*)

Giả sử $c=\min\{a,b,c\}$. 

Nhận thấy nếu giảm $a,b,c$ cùng một lượng $k$ sao cho $a,b,c$ vẫn không âm thì $|a-b|,|b-c|,|c-a|$ không đổi nên $VT$ của $(*)$ bị giảm còn $VP$ của $(*)$ giữ nguyên.

Do đó ta có thể giả sử $c=0$. Khi đó ta cần chứng minh $(a+b)^6\geq 108a^2b^2(a-b)^2$, tuy nhiên bất đẳng thức này luôn đúng theo AM - GM: $4a^2b^2(a-b)^2=2ab.2ab.(a-b)^2\leq \frac{((a-b)^2+2ab+2ab)^3}{27}=\frac{(a+b)^6}{27}$.

Ta có điều phải chứng minh.

Đây là cách tiếp cận có thể nói là tự nhiên nhất trong các cách.

Có cách phân tích bình phương, nhưng thiếu tự nhiên.