Giải pt: sqrt(x3+2x2+27x+12)-sqrt(1+x3)=sqrt(x+2)

xin mọi ng help bài này, xin cảm ơn
#1
Đã gửi 18-03-2020 - 10:22
#2
Đã gửi 18-03-2020 - 13:56
$\sqrt{x^3+2x^2+27x+12} - \sqrt{1+x^3} = \sqrt{x+2}$ (ĐKXĐ: $x^3+2x^2+27x+12 \geq 0, 1+x^3 \geq 0, x+2 \geq 0$).
$\leftrightarrow \sqrt{x^3+2x^2+27x+12} = \sqrt{x+2} + \sqrt{1+x^3}$
$\leftrightarrow x^3+2x^2+27x+12=(\sqrt{x+2}+\sqrt{1+x^3})^2$
$\leftrightarrow x^3+2x^2+27x+12=x+2+1+x^3+2\sqrt{(x+2)(1+x^3)}$
$\leftrightarrow 2x^2+26x+9=2\sqrt{(x+2)(x+1)(x^2-x+1)}$
$\leftrightarrow 2x^2+26x+9=2\sqrt{(x^2+3x+2)(x^2-x+1)}$ (*)
Đặt $a = \sqrt{x^2+3x+2}, b = \sqrt{x^2-x+1}$ $(a \geq 0, b > 0$ do $x^2-x+1=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}>0$ $\forall x \in \mathbb{R})$, ta có $a^2-b^2=x^2+3x+2+x^2-x+1=4x+1 \rightarrow 2x^2+26x+9=x^2+3x+2+x^2-x+1+24x+6=(x^2+3x+2)+(x^2-x+1)+6(4x+1)=a^2+b^2+6(a^2-b^2)=7a^2-5b^2$.
Vậy (*) $\leftrightarrow 7a^2-5b^2=2ab \leftrightarrow 7a^2-7ab+5ab-5b^2=0 \leftrightarrow 7a(a-b)+5b(a-b)=0 \leftrightarrow (a-b)(7a+5b) = 0.$
Do $7a + 5b > 0$ $\forall a \geq 0, b > 0$ nên ta suy ra a - b = 0 $\rightarrow a = b \leftrightarrow \sqrt{x^2+3x+2}=\sqrt{x^2-x+1} \leftrightarrow x^2+3x=2=x^2-x+1 \rightarrow x = -\frac{1}{4}.$
Đối chiếu với điều kiện xác định, ta suy ra x = $-\frac{1}{4}$. Vậy S = {$-\frac{1}{4}$}
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DrGenius: 18-03-2020 - 13:58
- spirit1234, ngoc tram1802 và noname112358 thích
#3
Đã gửi 20-03-2020 - 09:29
cảm ơn mọi ng nhé
$\sqrt{x^3+2x^2+27x+12} - \sqrt{1+x^3} = \sqrt{x+2}$ (ĐKXĐ: $x^3+2x^2+27x+12 \geq 0, 1+x^3 \geq 0, x+2 \geq 0$).
$\leftrightarrow \sqrt{x^3+2x^2+27x+12} = \sqrt{x+2} + \sqrt{1+x^3}$
$\leftrightarrow x^3+2x^2+27x+12=(\sqrt{x+2}+\sqrt{1+x^3})^2$
$\leftrightarrow x^3+2x^2+27x+12=x+2+1+x^3+2\sqrt{(x+2)(1+x^3)}$
$\leftrightarrow 2x^2+26x+9=2\sqrt{(x+2)(x+1)(x^2-x+1)}$
$\leftrightarrow 2x^2+26x+9=2\sqrt{(x^2+3x+2)(x^2-x+1)}$ (*)
Đặt $a = \sqrt{x^2+3x+2}, b = \sqrt{x^2-x+1}$ $(a \geq 0, b > 0$ do $x^2-x+1=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}>0$ $\forall x \in \mathbb{R})$, ta có $a^2-b^2=x^2+3x+2+x^2-x+1=4x+1 \rightarrow 2x^2+26x+9=x^2+3x+2+x^2-x+1+24x+6=(x^2+3x+2)+(x^2-x+1)+6(4x+1)=a^2+b^2+6(a^2-b^2)=7a^2-5b^2$.
Vậy (*) $\leftrightarrow 7a^2-5b^2=2ab \leftrightarrow 7a^2-7ab+5ab-5b^2=0 \leftrightarrow 7a(a-b)+5b(a-b)=0 \leftrightarrow (a-b)(7a+5b) = 0.$
Do $7a + 5b > 0$ $\forall a \geq 0, b > 0$ nên ta suy ra a - b = 0 $\rightarrow a = b \leftrightarrow \sqrt{x^2+3x+2}=\sqrt{x^2-x+1} \leftrightarrow x^2+3x=2=x^2-x+1 \rightarrow x = -\frac{1}{4}.$
Đối chiếu với điều kiện xác định, ta suy ra x = $-\frac{1}{4}$. Vậy S = {$-\frac{1}{4}$}
cảm ơn mọi ng nhé
#4
Đã gửi 20-03-2020 - 09:33
xin help mình bài này nhé mọi ng
Giải hệ pt x2+y2+8xy/(x+y)=16 và 2x2-5x+2sqrt(x+y)-sqrt(3x-2)=0
#5
Đã gửi 20-03-2020 - 16:59
$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+\frac{8xy}{x+y}=16\\ 2x^2-5x+2\sqrt{x+y}-\sqrt{3x-2}=0 \end{matrix}\right.$ (FTFY)
#6
Đã gửi 20-03-2020 - 18:06
ĐK $\left\{\begin{matrix} x+y>0\\ x\ge \frac{2}{3} \end{matrix}\right.$
Từ phương trình đầu, quy đồng rồi phân tich nhân tử ta đc $$(x+y-4)(x^2+y^2+4x+4y)=0\Rightarrow x+y=4$$
Thay vào pt thứ 2 ta đc $2x^2-5x+4-\sqrt{3x-2}=0$
$\Leftrightarrow 2(x^2-3x+2)-(\sqrt{3x-2}-x)=0\Leftrightarrow (x^2-3x+2)\left (2+\frac{1}{\sqrt{3x-2}+x}\right)=0$
Nên pt có 2 nghiệm là $x=1$ và $x=2$ từ đó tính đc $y$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Peteroldar: 20-03-2020 - 18:27
- phan duy quang lh, BlackZither, ngoc tram1802 và 1 người khác yêu thích
#7
Đã gửi 20-03-2020 - 21:13
ĐK $\left\{\begin{matrix} x+y>0\\ x\ge \frac{2}{3} \end{matrix}\right.$
Từ phương trình đầu, quy đồng rồi phân tich nhân tử ta đc $$(x+y-4)(x^2+y^2+4x+4y)=0\Rightarrow x+y=4$$
Thay vào pt thứ 2 ta đc $2x^2-5x+4-\sqrt{3x-2}=0$
$\Leftrightarrow 2(x^2-3x+2)-(\sqrt{3x-2}-x)=0\Leftrightarrow (x^2-3x+2)\left (2+\frac{1}{\sqrt{3x-2}+x}\right)=0$
Nên pt có 2 nghiệm là $x=1$ và $x=2$ từ đó tính đc $y$
cảm ơn mọi ng nhiều nhé
#8
Đã gửi 20-03-2020 - 21:22
Xin help mình bài giải hệ pt này nhé mọi người
(x-y+1)2=3-y-y2 và x2+2xy-5y2-14x+7y+9=0
#9
Đã gửi 08-04-2020 - 21:33
xin help dùm bài này mọi ng ơi: tìm nghiệm nguyên
x2y2(x+y)+x=2-y+xy
#10
Đã gửi 08-04-2020 - 22:10
Đặt $S=x+y$ và $P=xy$ thì $S,P\in \mathbb{Z}$
Ta có $SP^2+S=2+P\implies S=\frac{P+2}{P^2+1}\implies P+2\vdots P^2+1$
$\implies (P-2)(P+2)\vdots P^2+1\implies P^2-4\vdots P^2+1\implies -5\vdots P^2+1$
Mà $P^2+1>0\implies P^2+1\in 5;1\implies P=0$ do $P\in \mathbb{Z}$ từ đó ta tìm đc $S$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Peteroldar: 13-04-2020 - 21:30
- ngoc tram1802 yêu thích
#11
Đã gửi 12-04-2020 - 10:54
Xin help mình bài giải hệ pt này nhé mọi người
(x-y+1)2=3-y-y2 và x2+2xy-5y2-14x+7y+9=0
Ta có: $\left\{\begin{matrix} (x-y+1)^{2}=3-y-y^{2}\\ x^{2}+2xy-5y^{2}-14x+7y+9=0 \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix} x^{2}+2y^{2}-2-2xy+2x-y=0 (1)\\ x^{2}-5y^{2}+9+2xy-14x+7y=0 (2) \end{matrix}\right.$
3*(1)+(2) <=> $4x^{2}+y^{2}+3-4xy-8x+4y=0
<=> (2x-y-2)^{2}=1$
Tính được y theo x rồi thay vào hệ là xong
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Molecules: 12-04-2020 - 10:55
#12
Đã gửi 13-04-2020 - 21:22
Đặt $S=x+y$ và $P=xy$ thì $S,P\in \mathbb{Z}$
Ta có $SP^2+S=2+P\implies S=\frac{P+2}{P^2+1}\implies P+2\vdots P^2+1$
$\implies (P-2)(P+2)\vdots P^2+1\implies P^2-4\vdots P^2+1\implies -3\vdots P^2+1$
Mà $P^2+1>0\implies P^2+1\in 3;1\implies P=0$ do $P\in \mathbb{Z}$ từ đó ta tìm đc $S$
cho mình hỏi tại sao p2 - 4 chia hết cho p2 + 1 thì -3 chia hết cho p2 + 1 vậy bạn
#13
Đã gửi 13-04-2020 - 21:32
Sorry bạn nha mình bị nhầm $-5$ ko phải $-3$ nha
$P^2-4\vdots P^2+1\implies P^2-4-(P^2+1)\vdots P^2+1\implies -5\vdots P^2+1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Peteroldar: 13-04-2020 - 21:32
#14
Đã gửi 01-12-2020 - 19:36
xin moi ng giup minh bai nay nhe !
sqrt(x2-3x+6)=x2-5x+6
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh