Chủ đề này có 1 trả lời

[supermember]

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ thỏa mãn điều kiện: Tồn tại một số nguyên lẻ $n$ và  một đa thức hệ số nguyên $Q(x)$ sao cho đa thức $ 1 + pn^2 + \prod_{i=1}^{2p-2} Q( x^{i})$ có ít nhất một nghiệm nguyên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 11-04-2022 - 17:56

[nhungvienkimcuong]

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ thỏa mãn điều kiện: Tồn tại một số nguyên lẻ $n$ và  một đa thức hệ số nguyên $Q(x)$ sao cho đa thức $ 1 + pn^2 + \prod_{i=1}^{2p-2} Q( x^{i})$ có ít nhất một nghiệm nguyên.

Giả sử tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại $n,Q$ thỏa đề. Gọi nghiệm nguyên của $1+pn^2+\prod_{i=1}^{2p-2}Q(x^i)$ là $a$, khi đó

\begin{equation}1+pn^2+\prod_{i=1}^{2p-2}Q(a^i)=0.\end{equation}

$\bullet$ Chứng minh $p=2$.

Biết rằng với mọi $i\in \{1,2,\dots,p-1\}$ thì $a^i\equiv a^{i+p-1}\pmod{p}$, do đó

$$Q(a^i)\equiv Q(a^{i+p-1})\pmod{p}\implies \prod_{i=1}^{2p-2}Q(a^i)\equiv \left(\prod_{i=1}^{p-1}Q(a^i) \right )^2\pmod{p}.$$

Kết hợp với $(1)$ suy ra

\begin{equation}\left(\prod_{i=1}^{p-1}Q(a^i) \right )^2\equiv -1\pmod{p}.\end{equation}

- Nếu $\gcd(a,p)=1$, khi đó tập hợp $\{Q(a),Q(a^2),\dots,Q(a^{p-1})\}$ lập thành hệ thặng dư thu gọn theo modulo $p$. Dẫn tới

$$\prod_{i=1}^{p-1}Q(a^i)\equiv (p-1)!\equiv -1\pmod{p}.$$

Kết hợp với $(2)$ có được $p=2$.

- Nếu $p\mid a$, gọi $b$ là hệ số tự do của đa thức $Q$. Khi đó $\prod_{i=1}^{p-1}Q(a^i)\equiv b^{p-1}\pmod{p}$, từ $(2)$ suy ra $\gcd(b,p)=1$. Do vậy

$$\prod_{i=1}^{p-1}Q(a^i)\equiv b^{p-1}\equiv 1\pmod{p}.$$

Kết hợp với $(2)$ có được $p=2$.

$\bullet$ Chọn $n,Q$ thỏa đề.

Với $n=5$ và $Q(x)=x+1$ thì đa thức

$$1+pn^2+\prod_{i=1}^{2p-2}Q(x^i)=51+(x+1)(x^2+1)$$

có nghiệm nguyên $-4$.